Metody Probabilistyczne
Materiały pomocnicze 2
dr hab. Henryk Gacki
II rok ETI 2008/9
Warunki ciągłości prawdopodobieństwa
5
p
. Jeżeli
A
n
∞
n=1
jest rodziną wstępujących zbiorów z F , czyli A
n
⊂ A
n+1
dla n = 1, 2, · · · , oraz
(1)
∞
[
n=1
A
n
= A
to
Pr(A) = lim
n→∞
Pr(A
n
)
6
p
. Jeżeli
A
n
∞
n=1
jest rodziną zstępującą zbiorów z F , czyli A
n
⊃ A
n+1
dla
n = 1, 2, · · · , oraz
(2)
∞
\
n=1
A
n
= A
to
Pr(A) = lim
n→∞
Pr(A
n
)
Wzór na prawdopodobiństwo całkowite
Niech A
i
, i = 1, 2, . . . b¸edzie takim ci¸
agiem zdarzeń , że Pr
A
i
> 0, i =
1, 2, . . ., oraz
Ω = A
1
∪ A
2
∪ . . . ∪ A
n
...
oraz
A
i
∩ A
j
= ∅
dla
i 6= j, i, j = 1, . . . .
wtedy dla dowolnego zdarzenia A ∈ F
Pr
A
=
∞
X
i=1
Pr
A|A
i
Pr
A
i
oraz
Pr
A
i
|A
=
Pr
A|A
i
Pr
A
i
P
∞
i=1
Pr
A|A
i
Pr
A
i
Zadanie 1. Informacje przekazuje si¸
e za pomoc¸
a telegrafu, nadaj¸
ac sygna-
ły kropka i kreska. Statystyczne właściwości przeszkód s¸
a takie, że śred-
nio
2
5
sygnałów kropka i
1
3
sygnałów kreska zostaje zniekształconych.
Wiadomo, że wśród przekazywanych sygnałów kropka i kreska wyst¸
epuj¸
a w
stosunku 5 : 3. Obliczyć prawdopodobieństwo, że odebrane sygnały kropka i
kreska w rzeczywistości były też nadane odpowiednio jako kropka i kreska.
Niech
Ω =
n
ω
1
= (., −), ω
2
= (−, .), ω
3
= (., .), ω
4
= (−, −)
o
,
1
gdzie pierwsze miejsce zajmuje sygnał nadany a drugie miejsce zajmuje sy-
gnał odebrany. Oznaczmy przez A zdarzenie odebrano sygnał kropka, a
zdarzenie B - odebrano sygnał kreska.
A
1
- oznacza, że nadano sygnał kropka i
A
2
- że, nadano sygnał kreska.
Zgodnie z warunkami zadania
Pr
A
1
: Pr
A
2
= 5 : 3, oraz Pr
A
1
+ Pr
A
2
= 1
A wi¸ec otrzymujemy
Pr
A
1
=
5
8
,
Pr
A
2
=
3
8
Wiadomo, że
Pr
A|A
1
=
3
5
,
Pr
A|A
2
=
1
3
,
Pr
B|A
1
=
2
5
,
Pr
B|A
2
=
2
3
.
Zatem
Pr
A
=
5
8
∗
3
5
+
3
8
∗
1
3
=
1
2
,
Pr
B
=
5
8
∗
2
5
+
3
8
∗
2
3
=
1
2
,
Pozostałe prawdopodobieństwa obliczamy ze wzoru Bayesa
Pr
A
1
|A
=
Pr
A|A
1
Pr
A
1
Pr
A
=
5
8
∗
3
5
1
2
=
3
4
,
Pr
A
2
|B
=
Pr
B|A
2
Pr
A
2
Pr
B
=
3
8
∗
2
3
1
2
=
1
2
Zadanie 2. W czasie lotu rakiety kosmicznej w jej aparatur¸
e wpada r-cz¸
astek
elementarnych z prawdopodobieństwem
Pr(r, λ) =
λ
r
r!
e
−λ
,
gdzie
, λ > 0, r = 0, 1, . . . .
• Dla każdej z nich prawdopodobieństwo trafienia w czuły na cz¸
astki ele-
mentarne blok jest równe p.
• Znaleźć prawdopodobieństwo trafienia w blok dokładnie k-cz¸
astek.
2
Ω
1
=
n
0, 1, 2, . . .
o
opisuje ilość cz¸
astek wpadaj¸
acych w blok rakiety.
Pr
1
=
∞
X
r=1
λ
r
r!
e
−λ
δ
r
,
gdzie
δ
r
=
0
jeżeli wpada
s 6= r − cz¸
astek
1
jeżeli wpada
r − cz¸
astek.
Rozwiązanie:
Para
Ω
1
, Pr
1
jest przestrzeni¸
a probabilistyczn¸
a dobrze opisuj¸
ac¸
a pierw-
szy etap doświadczenia. Niech Ω
2
=
n
0, 1, 2, . . .
o
oraz
Pr
2|n
=
n
X
r=0
n
r
!
p
r
(1 − p)
n−r
δ
r
Niech A
k
- oznacza, że w blok trafi dokładnie k- cz¸
astek. Zdarzenie to możemy
zapisać w postaci:
A
k
= ∪
∞
s=k
(s, k)
Zgodnie z konstrukcj¸
a modelu statystycznego dla doświadczenia dwuetapo-
wego
Ω
2
, Pr
2
Pr
(2)
A
k
= Pr
(2)
∪
∞
s=k
(s, k)
=
∞
X
s=k
Pr
(2)
(s, k)
=
∞
X
s=k
Pr
1
s)
Pr
2|s
k
=
∞
X
s=k
λ
s
s!
e
−λ
s
k
!
p
k
(1 − p)
s−k
=
p
k
e
−λ
k!
∞
X
s=k
λ
s
(1 − p)
s−k
(s − k)!
=
p
k
e
−λ
λ
k
k!
∞
X
s=k
λ
s−k
(1 − p)
s−k
(s − k)!
=
(pλ)
k
e
−λ
k!
∞
X
n=0
λ
n
(1 − p)
n
n!
=
(pλ)
k
e
−λ
k!
∞
X
n=0
λ(1 − p)
n
n!
=
(pλ)
k
e
−λ
k!
e
λ(1−p)
=
(pλ)
k
k!
e
−λp
.
Doświadczenia niezalezne o nieskończenie wielu etapach
Przypuśćmy, że mamy nieskończony ci¸
ag przestrzeni zdarzeń ele-
mentarnych
Ω
k
=
n
ω
k
1
, ω
k
2
, . . .
o
,
dla
k = 1, 2, . . . .
W pierwszym etapie wykonujemy doświadczenie, którego modelem staty-
stycznym jest para
Ω
1
, Pr
1
. Dalej post¸epujemy jak w modelu skończonym
(n-etapowym), z t¸
a różnic¸
a, że post¸epowanie nasze nigdy się nie kończy .
3
Jeżeli k-pierwszych etapów zakończy si¸e kolejno wynikami ω
(1)
i
1
, ω
(2)
i
2
, ..., ω
(k)
i
k
,
to w (k + 1)- szym etapie wykonujemy doświadczenie o modelu
Ω
k+1
, Pr
k+1|i
1
,i
2
,...,i
k
,
k = 1, 2, . . . .
Uwaga 1. W nieskończonym iloczynie kartezjańskim Ω
(∞)
= Ω
1
× Ω
2
×
. . . , istnieje dokładnie jeden rozkład prawdopodobieństwa Pr
(∞)
taki, że dla
dowolnej liczby naturalnej n i dowolnych A
k
⊂ Ω
k
, k = 1, 2, . . . , n, spełniony
jest wzór
Pr
(∞)
A
1
× . . . × A
n
× Ω
n+1
× Ω
n+2
× . . .
= Pr
(n)
A
1
× . . . × A
n
Jest zrozumiałym, że para
Ω
(∞)
, Pr
(∞)
stanowi odpowiedni model staty-
styczny opisanego doświadczenia losowego o nieskończenie wielu etapach.
Posiadane przez nas informacje o tym modelu nie pozwalaj¸
a na obliczenie
prawdopodobieństwa każdego zdarzenia A ⊂ Ω
(∞)
ale umożliwiaj¸
a obliczenie
prawdopodobieństwa każdego zdarzenia odnosz¸
acego si¸
e do skończonej liczby
etapów naszego doświadczenia, co w pewnych przypadkach jest wystarczaj¸
ace.
Uwaga 2. Szczególnym przykładem doświadczenia wieloetapowego jest tzw.łańcuch
Markowa.
W ogólnym schemacie doświadczeń wieloetapowych doświadczenie wyko-
nywane w danym etapie zależało od wyników wszystkich etapów poprzednich.
Z kolei w łańcuchu Markowa doświadczenie wykonywane w (k+1)-
etapie zależy tylko od wyniku poprzedniego, k-tego etapu.
Można powiedzieć, że łańcuch Markowa to taki schemat doświadczeń
wieloetapowych, że
Pr
k+1|i
1
,i
2
,...,i
k−1
,i
k
= Pr
k+1|j
1
,j
2
,...,j
k−1
,i
k
.
dla każdego k = 1, 2, . . . oraz wszelkich
i
1
, i
2
, . . . , i
k
, j
1
, j
2
, . . . , j
k−1
= 1, 2, . . . .
Łańcuchy Markowa są dobrymi modelami probabilistycznymi pewnych
układów fizycznych mogących zmieniać swój stan co jednostkę czasu. Jest
ogólnie przyjęte stosowanie terminologii fizycznej do wszelkich łańcuchów
Markowa. W związku z tym ograniczymy nasze rozważania do przypadku,
gdy zbiory zdarzeń elementarnych doświadczeń wykonywanych w kolejnych
etapach są identyczne:
Ω
1
= Ω
2
= . . . = Ω =
n
ω
1
, ω
2
, . . .
o
.
4
W związku z tym możliwe wyniki doświadczeń z każdego etapu będzie-
my dalej nazywać stanami układu. Jeżeli doświadczenie z
k-tego
etapu
skończyło się wynikiem ω
i
, to powiemy, że układ w chwili
k
znalazł się w
stanie ω
i
(lub w stanie i).
Przypuśćmy teraz, że doświadczenie wykonywane w k-tym etapie (k =
2, 3, . . .) nie zależy od k, a tylko od wyniku doświadczenia z poprzedniego,
(k − 1)-szego etapu, tzn. że
Pr
2|i
= Pr
3|i
= Pr
4|i
= . . . (i = 1, 2, . . .)
Wówczas łańcuch Markowa nazywamy jednorodnym. Ze względu na
fakt, że dalej będziemy zajmować się jednorodnymi łańcuchami Mar-
kowa przyjmujemy oznaczenia:
Pr
1
(ω
i
) = p
(1)
i
, Pr
|i
(ω
j
) = p
ij
, Pr
(n)
(ω
i
) = p
(n)
i
,
gdzie
p
(1)
i
jest to prawdopodobieństwo początkowe znalezienia się układu w
stanie i.
p
ij
jest to prawdopodobieństwo przejścia układu ze stanu i do sta-
nu j.
p
(n)
i
jest to prawdopodobieństwo znalezienia się układu w chwili
n w stanie i.
Prawdopodobieństwa przejścia wygodnie jest ustawić w tzw. macierz przej-
ścia:
p
11
p
12
p
13
. . .
p
21
p
22
p
23
. . .
p
31
p
32
p
33
. . .
. . .
. . .
. . . . . .
.
Część rozwiazania-łańcuch ergodyczny
Aby wyznaczyć rozkład P
(n+1)
w chwili (n + 1) wystarczy wyznaczyć
elementy macierzy M
n
. Otóż mamy
M
2
=
"
(1 − a)
2
+ ab
(1 − a)a + (1 − b)a
(1 − a)b + (1 − b)b
ab + (1 − b)
2
#
Niech (1 − a − b) = c. Łatwo sprawdzić, że macierz M
2
można zapisać nastę-
pująco:
"
c
2
+
b
a+b
[1 − c
2
]
a
a+b
[1 − c
2
]
b
a+b
[1 − c
2
]
c
2
+
a
a+b
[1 − c
2
]
#
5
Indukcyjnie można udowodnić
M
n
=
"
c
n
+
b
a+b
[1 − c
n
]
a
a+b
[1 − c
n
]
b
a+b
[1 − c
n
]
c
n
+
a
a+b
[1 − c
n
]
#
Ostatecznie więc rozkład P
(n+1)
w chwili (n + 1) jest postaci
(3)
p
(n+1)
1
= p
(1)
1
p
(n)
11
+ p
(1)
2
p
(n)
21
oraz
(4)
p
(n+1)
2
= p
(1)
1
p
(n)
12
+ p
(1)
2
p
(n)
22
.
Łatwo zauważyć, że
lim
n→∞
M
n
=
"
b
a+b
a
a+b
b
a+b
a
a+b
#
,
czyli
lim
n→∞
p
(n)
i1
=
b
a + b
, lim
n→∞
p
(n)
i2
=
a
a + b
Ze wzorów (3), (4) otrzymujemy
lim
n→∞
p
(n)
1
=
b
a + b
, lim
n→∞
p
(n)
2
=
a
a + b
bez względu na to jaki jest rozkład początkowy P
1
. Granica ta stanowi
rozkład prawdopodobieństwa zwany rozkładem granicznym.
6