Metody Probabilistyczne

Materiały pomocnicze 2

dr hab. Henryk Gacki

II rok ETI 2008/9

Warunki ciągłości prawdopodobieństwa

5

p

. Jeżeli



A

n



∞

n=1

jest rodziną wstępujących zbiorów z F , czyli A

n

⊂ A

n+1

dla n = 1, 2, · · · , oraz

(1)

∞

[

n=1

A

n

= A

to

Pr(A) = lim

n→∞

Pr(A

n

)

6

p

. Jeżeli



A

n



∞

n=1

jest rodziną zstępującą zbiorów z F , czyli A

n

⊃ A

n+1

dla

n = 1, 2, · · · , oraz

(2)

∞

\

n=1

A

n

= A

to

Pr(A) = lim

n→∞

Pr(A

n

)

Wzór na prawdopodobiństwo całkowite

Niech A

i

, i = 1, 2, . . . b¸edzie takim ci¸

agiem zdarzeń , że Pr



A

i



> 0, i =

1, 2, . . ., oraz

Ω = A

1

∪ A

2

∪ . . . ∪ A

n

...

oraz

A

i

∩ A

j

= ∅

dla

i 6= j, i, j = 1, . . . .

wtedy dla dowolnego zdarzenia A ∈ F

Pr



A



=

∞

X

i=1

Pr



A|A

i



Pr



A

i



oraz

Pr



A

i

|A



=

Pr



A|A

i



Pr



A

i



P

∞
i=1

Pr



A|A

i



Pr



A

i



Zadanie 1. Informacje przekazuje si¸

e za pomoc¸

a telegrafu, nadaj¸

ac sygna-

ły kropka i kreska. Statystyczne właściwości przeszkód s¸

a takie, że śred-

nio

2
5

sygnałów kropka i

1
3

sygnałów kreska zostaje zniekształconych.

Wiadomo, że wśród przekazywanych sygnałów kropka i kreska wyst¸

epuj¸

a w

stosunku 5 : 3. Obliczyć prawdopodobieństwo, że odebrane sygnały kropka i
kreska w rzeczywistości były też nadane odpowiednio jako kropka i kreska.

Niech

Ω =

n

ω

1

= (., −), ω

2

= (−, .), ω

3

= (., .), ω

4

= (−, −)

o

,

1

gdzie pierwsze miejsce zajmuje sygnał nadany a drugie miejsce zajmuje sy-
gnał odebrany. Oznaczmy przez A zdarzenie odebrano sygnał kropka, a
zdarzenie B - odebrano sygnał kreska.
A

1

- oznacza, że nadano sygnał kropka i

A

2

- że, nadano sygnał kreska.
Zgodnie z warunkami zadania

Pr



A

1



: Pr



A

2



= 5 : 3, oraz Pr



A

1



+ Pr



A

2



= 1

A wi¸ec otrzymujemy

Pr



A

1



=

5

8

,

Pr



A

2



=

3

8

Wiadomo, że

Pr



A|A

1



=

3

5

,

Pr



A|A

2



=

1

3

,

Pr



B|A

1



=

2

5

,

Pr



B|A

2



=

2

3

.

Zatem

Pr



A



=

5

8

∗

3

5

+

3

8

∗

1

3

=

1

2

,

Pr



B



=

5

8

∗

2

5

+

3

8

∗

2

3

=

1

2

,

Pozostałe prawdopodobieństwa obliczamy ze wzoru Bayesa

Pr



A

1

|A



=

Pr



A|A

1



Pr



A

1



Pr



A



=

5
8

∗

3
5

1
2

=

3

4

,

Pr



A

2

|B



=

Pr



B|A

2



Pr



A

2



Pr



B



=

3
8

∗

2
3

1
2

=

1

2

Zadanie 2. W czasie lotu rakiety kosmicznej w jej aparatur¸

e wpada r-cz¸

astek

elementarnych z prawdopodobieństwem

Pr(r, λ) =

λ

r

r!

e

−λ

,

gdzie

, λ > 0, r = 0, 1, . . . .

• Dla każdej z nich prawdopodobieństwo trafienia w czuły na cz¸

astki ele-

mentarne blok jest równe p.

• Znaleźć prawdopodobieństwo trafienia w blok dokładnie k-cz¸

astek.

2

Ω

1

=

n

0, 1, 2, . . .

o

opisuje ilość cz¸

astek wpadaj¸

acych w blok rakiety.

Pr

1

=

∞

X

r=1

λ

r

r!

e

−λ

δ

r

,

gdzie

δ

r

=







0

jeżeli wpada

s 6= r − cz¸

astek

1

jeżeli wpada

r − cz¸

astek.

Rozwiązanie:
Para



Ω

1

, Pr

1



jest przestrzeni¸

a probabilistyczn¸

a dobrze opisuj¸

ac¸

a pierw-

szy etap doświadczenia. Niech Ω

2

=

n

0, 1, 2, . . .

o

oraz

Pr

2|n

=

n

X

r=0

n

r

!

p

r

(1 − p)

n−r

δ

r

Niech A

k

- oznacza, że w blok trafi dokładnie k- cz¸

astek. Zdarzenie to możemy

zapisać w postaci:

A

k

= ∪

∞
s=k

(s, k)

Zgodnie z konstrukcj¸

a modelu statystycznego dla doświadczenia dwuetapo-

wego



Ω

2

, Pr

2



Pr

(2)



A

k



= Pr

(2)



∪

∞
s=k

(s, k)



=

∞

X

s=k

Pr

(2)



(s, k)



=

∞

X

s=k

Pr

1



s)



Pr

2|s



k



=

∞

X

s=k

λ

s

s!

e

−λ

s

k

!

p

k

(1 − p)

s−k

=

p

k

e

−λ

k!

∞

X

s=k

λ

s

(1 − p)

s−k

(s − k)!

=

p

k

e

−λ

λ

k

k!

∞

X

s=k

λ

s−k

(1 − p)

s−k

(s − k)!

=

(pλ)

k

e

−λ

k!

∞

X

n=0

λ

n

(1 − p)

n

n!

=

(pλ)

k

e

−λ

k!

∞

X

n=0



λ(1 − p)



n

n!

=

(pλ)

k

e

−λ

k!

e

λ(1−p)

=

(pλ)

k

k!

e

−λp

.

Doświadczenia niezalezne o nieskończenie wielu etapach

Przypuśćmy, że mamy nieskończony ci¸

ag przestrzeni zdarzeń ele-

mentarnych

Ω

k

=

n

ω

k

1

, ω

k

2

, . . .

o

,

dla

k = 1, 2, . . . .

W pierwszym etapie wykonujemy doświadczenie, którego modelem staty-

stycznym jest para



Ω

1

, Pr

1



. Dalej post¸epujemy jak w modelu skończonym

(n-etapowym), z t¸

a różnic¸

a, że post¸epowanie nasze nigdy się nie kończy .

3

Jeżeli k-pierwszych etapów zakończy si¸e kolejno wynikami ω

(1)

i

1

, ω

(2)

i

2

, ..., ω

(k)

i

k

,

to w (k + 1)- szym etapie wykonujemy doświadczenie o modelu



Ω

k+1

, Pr

k+1|i

1

,i

2

,...,i

k



,

k = 1, 2, . . . .

Uwaga 1. W nieskończonym iloczynie kartezjańskim Ω

(∞)

= Ω

1

× Ω

2

×

. . . , istnieje dokładnie jeden rozkład prawdopodobieństwa Pr

(∞)

taki, że dla

dowolnej liczby naturalnej n i dowolnych A

k

⊂ Ω

k

, k = 1, 2, . . . , n, spełniony

jest wzór

Pr

(∞)



A

1

× . . . × A

n

× Ω

n+1

× Ω

n+2

× . . .



= Pr

(n)



A

1

× . . . × A

n



Jest zrozumiałym, że para



Ω

(∞)

, Pr

(∞)



stanowi odpowiedni model staty-

styczny opisanego doświadczenia losowego o nieskończenie wielu etapach.
Posiadane przez nas informacje o tym modelu nie pozwalaj¸

a na obliczenie

prawdopodobieństwa każdego zdarzenia A ⊂ Ω

(∞)

ale umożliwiaj¸

a obliczenie

prawdopodobieństwa każdego zdarzenia odnosz¸

acego si¸

e do skończonej liczby

etapów naszego doświadczenia, co w pewnych przypadkach jest wystarczaj¸

ace.

Uwaga 2. Szczególnym przykładem doświadczenia wieloetapowego jest tzw.łańcuch
Markowa.

W ogólnym schemacie doświadczeń wieloetapowych doświadczenie wyko-

nywane w danym etapie zależało od wyników wszystkich etapów poprzednich.

Z kolei w łańcuchu Markowa doświadczenie wykonywane w (k+1)-

etapie zależy tylko od wyniku poprzedniego, k-tego etapu.

Można powiedzieć, że łańcuch Markowa to taki schemat doświadczeń

wieloetapowych, że

Pr

k+1|i

1

,i

2

,...,i

k−1

,i

k

= Pr

k+1|j

1

,j

2

,...,j

k−1

,i

k

.

dla każdego k = 1, 2, . . . oraz wszelkich

i

1

, i

2

, . . . , i

k

, j

1

, j

2

, . . . , j

k−1

= 1, 2, . . . .

Łańcuchy Markowa są dobrymi modelami probabilistycznymi pewnych

układów fizycznych mogących zmieniać swój stan co jednostkę czasu. Jest
ogólnie przyjęte stosowanie terminologii fizycznej do wszelkich łańcuchów
Markowa. W związku z tym ograniczymy nasze rozważania do przypadku,
gdy zbiory zdarzeń elementarnych doświadczeń wykonywanych w kolejnych
etapach są identyczne:

Ω

1

= Ω

2

= . . . = Ω =

n

ω

1

, ω

2

, . . .

o

.

4

W związku z tym możliwe wyniki doświadczeń z każdego etapu będzie-

my dalej nazywać stanami układu. Jeżeli doświadczenie z

k-tego

etapu

skończyło się wynikiem ω

i

, to powiemy, że układ w chwili

k

znalazł się w

stanie ω

i

(lub w stanie i).

Przypuśćmy teraz, że doświadczenie wykonywane w k-tym etapie (k =

2, 3, . . .) nie zależy od k, a tylko od wyniku doświadczenia z poprzedniego,
(k − 1)-szego etapu, tzn. że

Pr

2|i

= Pr

3|i

= Pr

4|i

= . . . (i = 1, 2, . . .)

Wówczas łańcuch Markowa nazywamy jednorodnym. Ze względu na
fakt, że dalej będziemy zajmować się jednorodnymi łańcuchami Mar-
kowa przyjmujemy oznaczenia:

Pr

1

(ω

i

) = p

(1)
i

, Pr

|i

(ω

j

) = p

ij

, Pr

(n)

(ω

i

) = p

(n)
i

,

gdzie

p

(1)
i

jest to prawdopodobieństwo początkowe znalezienia się układu w

stanie i.

p

ij

jest to prawdopodobieństwo przejścia układu ze stanu i do sta-

nu j.

p

(n)
i

jest to prawdopodobieństwo znalezienia się układu w chwili

n w stanie i.

Prawdopodobieństwa przejścia wygodnie jest ustawić w tzw. macierz przej-
ścia:








p

11

p

12

p

13

. . .

p

21

p

22

p

23

. . .

p

31

p

32

p

33

. . .

. . .

. . .

. . . . . .








.

Część rozwiazania-łańcuch ergodyczny

Aby wyznaczyć rozkład P

(n+1)

w chwili (n + 1) wystarczy wyznaczyć

elementy macierzy M

n

. Otóż mamy

M

2

=

"

(1 − a)

2

+ ab

(1 − a)a + (1 − b)a

(1 − a)b + (1 − b)b

ab + (1 − b)

2

#

Niech (1 − a − b) = c. Łatwo sprawdzić, że macierz M

2

można zapisać nastę-

pująco:

"

c

2

+

b

a+b

[1 − c

2

]

a

a+b

[1 − c

2

]

b

a+b

[1 − c

2

]

c

2

+

a

a+b

[1 − c

2

]

#

5

Indukcyjnie można udowodnić

M

n

=

"

c

n

+

b

a+b

[1 − c

n

]

a

a+b

[1 − c

n

]

b

a+b

[1 − c

n

]

c

n

+

a

a+b

[1 − c

n

]

#

Ostatecznie więc rozkład P

(n+1)

w chwili (n + 1) jest postaci

(3)

p

(n+1)
1

= p

(1)
1

p

(n)
11

+ p

(1)
2

p

(n)
21

oraz

(4)

p

(n+1)
2

= p

(1)
1

p

(n)
12

+ p

(1)
2

p

(n)
22

.

Łatwo zauważyć, że

lim

n→∞

M

n

=

"

b

a+b

a

a+b

b

a+b

a

a+b

#

,

czyli

lim

n→∞

p

(n)
i1

=

b

a + b

, lim

n→∞

p

(n)
i2

=

a

a + b

Ze wzorów (3), (4) otrzymujemy

lim

n→∞

p

(n)
1

=

b

a + b

, lim

n→∞

p

(n)
2

=

a

a + b

bez względu na to jaki jest rozkład początkowy P

1

. Granica ta stanowi

rozkład prawdopodobieństwa zwany rozkładem granicznym.

6