Zadanie 4

Wyznacz opis stanowy obwodu przedstawionego na rys.4.1.

L

i

L

i

R

Rys.4.1

Rozwiązanie

Opis stanowy układu liniowego ma postać:

(4.1)

gdzie:

(4.2)

jest macierzą stanu,

(4.3)

jest wektorem stanu, jego składowe

n

,

i

x

i

K

1

;

=

to zmienne stanu, n jest rzędem obwodu a

(4.4)

to wektor źródłowy. Wektor

(4.5)

jest wektorem pochodnych zmiennych stanu. Zależność (4.1) przedstawia n równań
następującej postaci :

( )

( )

( )

t

b

x

a

x

a

x

a

t

x

t

b

x

a

x

a

x

a

t

x

t

b

x

a

x

a

x

a

t

x

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

K

M

K

K

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

2

1

1

2

12

1

11

1

d

d

d

d

d

d

(4.6)

Cechą charakterystyczną równań (4.6) jest to, że po lewej stronie każdego równania
występuje pochodna zmiennej stanu, w każdym równaniu innej, po prawej stronie mogą

C

e

u

C

i

C

R

2

R

1

( )

t

t

b

Ax

x

+

=

d

d

[ ]

n

n

ij

a

×

=

A

[

]

T

1

n

x

x K

=

x

( )

( )

[

]

T

1

t

b

t

b

n

K

=

b

T

1

d

d

d

d

d

d









=

t

x

t

x

t

n

K

x

2

występować wszystkie zmienne stanu z odpowiednimi współczynnikami oraz elementy
wektora źródłowego.
Obwód z rys.4.1 jest układem drugiego rzędu. Jako zmienne stanu przyjęte zostają: napięcie
na kondensatorze

( )

t

C

u

oraz prąd płynący przez cewkę

( )

t

i

L

. W przypadku prostych

obwodów, takich jak przedstawiony na rys.4.1, równania stanu można sformułować
posługując się prawami Kirchhoffa oraz zależnościami elementarnymi.
Prądowe prawo Kirchoffa dla każdego z dwóch węzłów obwodu ma postać:

0

=

+

+

L

C

R

i

i

i

Wielkość

( )

t

i

L

jest zmienną stanu,

( )

t

C

i

- pochodną zmiennej stanu. Z równania należy

zatem wyeliminować tylko prąd

( )

t

i

R

zastępując go wyrażeniem zależnym wyłącznie od

zmiennych stanu oraz ewentualnie prądu

( )

t

i

C

. Podstawiając:

2

R

u

i

C

R

=

otrzymuje się zależność, która nie zawiera żadnych wielkości obwodowych poza zmiennymi
stanu oraz pochodną jednej z nich. Jest to zatem równanie stanu w nieuporządkowanej jeszcze
formie.

0

d

d

0

2

=

+

+

⇒

=

+

+

L

C

C

L

C

R

i

t

u

C

R

u

i

i

i

Wynikiem uporządkowania ostatniego równania zgodnie z formatem zależności (4.6) jest
pierwsze z równań stanu:

C

i

CR

u

t

u

L

C

C

−

−

=

2

d

d

W celu wyznaczenia drugiego równania stanu sformułowane zostaje napięciowe prawo
Kirchhoffa dla prawego oczka obwodu z rys.4.1.

0

d

d

1

=

−

−

−

R

i

e

t

i

L

u

L

L

C

Jest to równanie stanu, które wymaga uporządkowania zgodnie z zależnością (4.6).

L

e

i

L

R

L

u

t

i

L

C

L

−

−

=

1

d

d

Poszukiwany opis stanowy to:

L

e

i

L

R

L

u

t

i

C

i

CR

u

t

u

L

C

L

L

C

C

−

−

=

−

−

=

1

2

d

d

d

d

lub w postaci macierzowej:

3

Zadanie 5

rzedstawiony jest obwód dynamiczny zawierający cewki i kondensatory.

Rozwiązanie

jest najmniejszą liczbą warunków początkowych niezbędnych do

Rys.5.1

Dla obwodów zawierających niezależne źr

ęciowe i prądowe oraz elementy R, L i C

(5.1)

dzie: n jest rzędem obwodu, n

L

ie, n

C

– liczbą kondensatoró

ierwszym przybliżeniem rzędu

Na rys.5.1 p
Wyznacz rząd tego obwodu.

Rząd obwodu
jednoznacznego określenia stanu obwodu w dowolnej chwili.

ódła napi

(bez źródeł sterowanych) rząd obwodu jest równy liczbie cewek i kondensatorów obecnych w
obwodzie pomniejszonej o liczbę pętli CE (pętli zawierających wyłącznie kondensatory oraz
idealne źródła napięciowe) oraz liczbę przekrojów LJ (przekrojów zawierających wyłącznie
gałęzie z cewkami oraz idealnymi źródłami prądowymi).

g

w w

– liczbą cewek w obwodz

CE

LJ

C

L















−

+

































−

−

−

=

















L

e

i

u

L

R

L

C

CR

t

i

t

L

C

L

C

0

1

d

d

d

1

2







 u

1

1

d

n

n

n

n

n

L

7

−

−

+

=

u

j

9

C

i

7

L

5

3

e

8

R

2

C

4

L

6

u

3

i

i

6

5

4

R

1

obwodzie, n

LJ

– liczbą przekrojów LJ a n

CE

– liczbą pętli CE.

Przedstawiony obwód zawiera 2 kondensatory oraz 3 cewki. P
obwodu jest liczba 5 (suma cewek i kondensatorów. Rząd obwodu ulega jednak obniżeniu o
liczbę pętli CE oraz liczbę przekrojów LJ. Na rys.5.2 przedstawione zostały znalezione pętle
CE oraz przekroje LJ.

4

u

j

C

e

L

R

R

C

L

L

u

i

i

i

1

7

6

7

6

9

8

3

4

3

2

5

4

5

Rys.5.2. Znalezione w obwodzie pętle CE oraz przekroje LJ.

W obwodzie jest jedna pętla CE, oznaczona kolorem czerwonym na rys.5.2 oraz jeden

oraz dla przekroju LJ – prą

Pierwsze równanie pozwala na wyznaczen

ęć na kondensatorach u

3

lub u

4

adanie 6

rzedstawiony jest obwód dynamiczny zawierający cewki i kondensatory.

przekrój LJ oznaczony na niebiesko na rys.5.2. Można sformułować zatem dwa równania. Dla
pętli CE – napięciowe prawo Kirchhoffa:

dowe prawo Kirchhoffa

4

8

3

0

ie jednego z napi

7

6

9

5

=

−

+

u

e

u

0

=

+

+

+

i

i

j

i

jeżeli znamy wartość drugiego. Jeden z warunków początkowych dla napięć na
kondensatorach staje się zbyteczny a rząd obwodu obniża się o 1. Drugie równanie pozwala
na obliczenie jednego z prądów cewek: i

5,

i

6

lub i

7

gdy znamy wartości dwóch pozostałych.

Jeden z warunków początkowych dla prądów staje się niepotrzebny a rząd obwodu ulega
obniżeniu o 1. Rząd obwodu wynosi zatem 3.

Z

Na rys.6.1 p
Wyznacz opis stanowy tego obwodu. Jako zmienne stanu przyjmij prąd cewki

L

i

oraz

napięcia na kondensatorach:

1

C

u i

2

C

u

.

5

Rys.6.1

Rozwiązanie

problemu zostanie zastosowana następująca koncepcja wyznaczania opisu

a o wartościach napięć źródłowych

2.

sposób obwodu rezystancyjnego względem prądów

3.

ależności:

(6.1)

4. podzielenie równań przez C lub odpowiednio L, co kończy formułowanie równań

Realizacja punktu 1 polega na zastąpieniu kondensatorów C

1

oraz C

2

idealnymi źródłami

j

C

C

L

u

i

R

R

R

R

R

Do rozwiązania
stanowego. Kolejność postępowania jest następująca:

1. zastąpienie kondensatorów źródłami napięci

równych napięciom na kondensatorach (są to zmienne stanu) oraz zastąpieniu cewek
źródłami prądu o wartościach prądów źródłowych równych prądom płynącym przez
cewki (są to też zmienne stanu)
rozwiązanie otrzymanego w ten
kondensatorów oraz napięć na cewkach
wprowadzenie do otrzymanych równań z

stanu

napięciowymi o napięciach źródłowych:

1

C

u i

2

C

u

oraz zastąpieniu cewki L idealnym

źródłem prądowym o prądzie źródłowym

L

i

.

rowadzi to do otrzymania obwodu

rezystancyjnego przedstawionego na rys.6.2.
Otrzymany obwód zostanie rozwiązany wzglę

P

dem prądów płynących przez źródła napięciowe

zastępujące kondensatory:

1

C

i oraz

2

C

i i napięcia panującego na zaciskach źródła prądowego

zastępującego cewkę

L

u

Zastos

ana będzie metoda superpozycji. Wyniki analiz

poszczególnych obwodów, w których obecne są kolejno różne źródła będą oznaczane
górnymi indeksami.

.

ow

u

t

L

u

t

C

i

L

L

C

C

d

d

=

=

i

u

d

d

1

2

3

L

1

C1

2

C2

4

5

6

i

u

j

u

i

R

R

R

R

R

i

u

C1

C1

C2

2

C2

1

4

L

L

5

3

Rys.6.2. Obwód rezystancyjny otrzymany po wprowadzeniu źródeł

ierwszym analizowanym obwodem będzie przedstawiony na rys.6.3. Powstał on przez

z rys.6.3 prąd płynie tylko przez opornik R

1

. Jest to prąd źródłowy j. Prądy w

(6.2)

Płynący przez opornik R

1

prąd źródła powoduje powstanie napięcia, które jest równe napięciu

(6.3)

zastępujących kondensatory oraz cewkę

P
usunięcie źródeł zastępujących kondensatory i cewkę oraz pozostawienie w obwodzie jedynie
źródła prądowego j. Usunięcie z obwodu źródeł napięciowych związane jest ze zwarciem
zacisków tych źródeł, usunięcie źródła prądowego wymaga pozostawienia jego zacisków
rozwartych.
W obwodzie
obu gałęziach, w których znajdowały się kondensatory są równe 0.

1

1

)

(

)

(

0

0

2

1

=

=

C

C

i

i

na zaciskach usuniętego źródła prądowego. Jego wartość wynika z prawa Ohma.

1)

(

1

R

j

u

L

⋅

−

=

7

i

C2

(1)

u

L

(1)

j

R

2

R

1

i

C1

(1)

R

3

R

4

R

5

Rys.6.3. Pierwszy z analizowanych obwodów zbudowany na mocy zasady superpozycji

W drugim z analizowanych obwodów pozostawione zostanie źródło napięciowe

. Inne

źródła zostają usunięte. Otrzymany w ten sposób obwód przedstawiony jest na rys.6.4.

1

C

u

u

C1

i

C1

(2)

R

1

R

2

R

3

R

4

u

L

(2)

i

C2

(2)

R

5

Rys.6.4. Drugi z analizowanych obwodów zbudowany na mocy zasady superpozycji

W obwodzie z rys.6.4 źródło

wywołuje przepływ prądu przez opornik R

1

C

u

2

. Jego wartość

wynika z prawa Ohma.

2

1

2

1

R

u

i

C

)

(

C

−

=

(6.4)

Drugi z prądów w gałęziach z kondensatorami to

0 (6.5)

2

2

=

)

(

C

i

Ponieważ przez rezystory R

1

oraz R

4

nie płynie prąd, napięcia na ich zaciskach są równe 0.

Napięcie na rozwartych zaciskach źródła prądowego

L

i

jest równe napięciu źródłowemu

.

1

C

u

8

(6.6)

1

2

C

)

(

L

u

u

=

u

C2

i

C1

(3

)

i

C2

(3)

R

2

R

4

R

R

5

R

3

u

L

(3)

Rys.6.5. Trzeci z analizowanych obwodów zbudowany na mocy zasady superpozycji

Trzeci z analizowanych obwodów zawierający jedynie źródło

przedstawiony jest na

rys.6.5. W obwodzie z rys.6.5 źródło

wywołuje przepływ prądu przez oporniki R

2

C

u

2

C

u

4

oraz

R

5

. Jego wartość wynika z prawa Ohma.

5

4

2

3

2

R

R

u

i

C

)

(

C

+

−

=

(6.7)

Drugi z prądów w gałęziach z kondensatorami to

0 (6.8)

3

1

=

)

(

C

i

Ponieważ przez rezystory R

1

, R

2

oraz R

3

nie płynie prąd, napięcia na ich zaciskach są równe 0.

Napięcie na rozwartych zaciskach źródła prądowego

L

i

jest równe napięciu panującemu na

zaciskach rezystora R

4

. Wynosi ono:

5

4

4

2

4

3

2

3

R

R

R

u

R

i

u

C

)

(

C

)

(

L

+

=

⋅

−

=

(6.9)

Ostatni z analizowanych obwodów zawierający jedynie źródło prądowe

L

i

przedstawiony

jest na rys.6.6. Prąd źródła

L

i

płynie przez rezystor R

3

, połączony szeregowo ze źródłem,

następnie przez równoległe połączenie oporników R

4

oraz R

5

, przez bezoporową zworę

łączącą zaciski rezystora R

2

i przez opornik R

1

. Prądy w gałęziach, w których były

umieszczone kondensatory wynoszą:

(6.10)

L

)

(

C

i

i

−

=

4

1

i na podstawie zależności obowiązującej dla dzielnika prądowego:

5

4

4

4

2

R

R

R

i

i

L

)

(

C

+

−

=

(6.11)

9

i

L

i

C1

(4)

R

1

R

2

R

3

R

4

u

L

(4)

i

C2

(4)

R

5

Rys.6.6. Czwarty z analizowanych obwodów zbudowany na mocy zasady superpozycji

Napięcie na źródle prądowym

L

i

wynosi zgodnie z napięciowym prawem Kirchhoffa:













+

+

+

−

=

1

5

4

5

4

3

4

R

R

R

R

R

R

i

u

L

)

(

L

(6.12)

Podsumowanie otrzymanych wyników analizy czterech układów dla trzech poszukiwanych
wielkości, przedstawionych przez zależności (6.2) ÷ (6.12) prowadzi do następujących
wzorów:













+

+

+

−

+

+

+

⋅

−

=

+

+

+

=

+

−

+

−

+

=

+

+

+

=

−

+

−

=

+

+

+

=

1

5

4

5

4

3

5

4

4

2

1

1

4

3

2

1

5

4

4

5

4

2

4

2

3

2

2

2

1

2

2

2

1

4

1

3

1

2

1

1

1

1

0

0

0

0

R

R

R

R

R

R

i

R

R

R

u

u

R

j

u

u

u

u

u

R

R

R

i

R

R

u

i

i

i

i

i

i

R

u

i

i

i

i

i

L

C

C

)

(

L

)

(

L

)

(

L

)

(

L

L

L

C

)

(

C

)

(

C

)

(

C

)

(

C

C

L

C

)

(

C

)

(

C

)

(

C

)

(

C

C

(6.13)

Uwzględnienie zależności (6.1) prowadzi do równań stanu:

(

)

(

)

(

)

L

R

R

R

R

R

R

i

L

R

R

R

u

L

u

L

R

j

t

i

C

R

R

R

i

C

R

R

u

t

u

C

i

R

C

u

t

u

L

C

C

L

L

C

C

L

C

C

1

1

d

d

d

d

1

d

d

1

5

4

5

4

3

5

4

4

2

1

1

2

5

4

4

2

5

4

2

2

1

2

1

1

1













+

+

+

−

+

+

+

⋅

−

=

+

−

+

−

=

−

−

=

(6.14)

Postać macierzowa tych równań to:

10

(

)

(

)

(

)

























⋅

−

+





















⋅

















































+

+

+

−

+

+

−

+

−

−

−

=

































L

R

j

i

u

u

L

R

R

R

R

R

R

L

R

R

R

L

C

R

R

R

C

R

R

C

R

C

t

i

t

u

t

u

L

C

C

L

C

C

1

2

1

1

5

4

5

4

3

5

4

4

2

5

4

4

2

5

4

1

2

1

2

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

d

d

d

d

d

d

(6.15)

11