Przykład 1.1. Wyznaczanie równań ruchu, prędkości, przyśpieszenia oraz

toru punktu

rys. 1. A

Pręt AB o długości 3l pokazany na rysunku
1.A porusza się w ten sposób, że koniec B
przesuwa się wzdłuż prostej pionowej,

a koniec A wzdłuż prostej poziomej. Prędkość
punktu A jest stała i równa Vo.

Po jakim torze porusza się punkt M pręta ?
Jaka jest jego prędkość i przyśpieszenie ?
Położenie początkowe przedstawiono na
rysunku 1.A.

ROZWIĄZANIE

1. Wyznaczenie równań ruchu i toru punktu M

Przyjmując układ osi xy jak na rysunku 1.B, możemy określić odległość punktu A od

początku układu jako:

OA

= AB

( )

cos

ϕ

t

( )

= 3l

t

cos

ϕ

.

Współrzędna x

M

w dowolnej chwili wynosi:

( )

( )

( )

( )

x

OA

AM

t

l

t

l

t

l

t

M

=

−

=

−

=

cos

cos

cos

cos

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

3

2

,

natomiast współrzędna y

M

(wyznaczona analogicznie jak x

M

) wynosi

( )

( )

y

AM

t

l

M

=

=

sin

sin

ϕ

ϕ

t

.

Równania x

M.

i y

M.

stanowią równania ruchu punktu M.

rys. 1. B

Korzystając z zależności trygonometrycznej

, możemy

( )

( )

sin

cos

2

2

1

ϕ

ϕ

+

=

( )

ϕ

t

wyrugować z równań i otrzymać równanie toru.

Przekształćmy równania określające współrzędne punktu M w następujący sposób:

1

( )

( )

x

l

t

y

l

t

M

M

2

=

=

cos

,

sin

ϕ

ϕ

.

Podnosząc równania stronami do kwadratu i dodając do siebie otrzymamy

x

l

y

l

M

M

2

2

2

1







+ 






=

.

rys. 1.C

Torem punktu M jest zatem wycinek elipsy o półosiach równych 2l i l. Jeżeli

założymy, że w chwili początkowej pręt AB znajdował się w pozycji pionowej, a w chwili
końcowej w pozycji poziomej, to punkt M porusza się po wycinku elipsy leżącym w
dodatniej ćwiartce układu współrzędnych. Promień wodzący punktu M obraca się zgodnie ze
wskazówkami zegara, a punkt M rozpoczyna swój ruch z położenia określonego
współrzędnymi

co przestawia rys. 1.C.

(

2l

o

l

o

cos

, sin

ϕ

ϕ

)

2. Wyznaczenie prędkości punktu M

Otrzymane równania ruchu punktu M przedstawione są w funkcji kąta

ϕ(t). Oznacza

to, że obliczenie składowych wektora prędkości z równań:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

V

dx

dt

dx

d

d t

dt

V

dy

dt

dy

d

d t

dt

Mx

M

M

My

M

M

=

=

⋅

=

=

⋅

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

,

,

wymaga znalezienia

.

( )

ϕ

t

•

rys. 1.D

2

Rozważmy ponownie odległość OA określoną przez kąt

ϕ związkiem

OA = 3lcosϕ(t).

Jednocześnie (porównaj rysunek 1.D) równanie ruchu punktu A ma postać

x

OA V

A

A

=

=

t

⋅

.

Z porównania obydwu zapisów odcinka

OA

_

uzyskujemy

( )

cos

ϕ

t

V

l

t

A

=

⋅

3

,

i po zróżniczkowaniu po czasie , możemy obliczyć, że

( )

( )

ϕ

ϕ

•

= −

t

V

l

t

A

3 sin

,

ponieważ

( )

( )

( )

d

dt

t

t

(cos

)

sin

ϕ

ϕ

ϕ

= −

•

t

=

V

l

A

3

.

Teraz możemy już obliczyć składowe wektora prędkości punktu M

( )

[

]

( )

[

]

( ) ( )

( )

V

d

dt

l

t

V

V

d

dt

l

t

l

t

t

V ctg

Mx

A

My

A

=

=

=

=

= −

•

2

2

3

1
3

cos

sin

cos

.

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

t

ϕ

Długość wektora prędkości wynosi:

( )

( )

V

V

V

V

V ctg t

V

ctg

t

M

Mx

My

A

A

A

=

+

= 






+ 






=

=

+

2

2

2

2

2

2
3

1
3

1
3

4

ϕ

ϕ

Wektor prędkości punktu M przedstawia rysunek 1.E.

rys. 1.E

3. Wyznaczenie przyśpieszenia punktu M

Podobnie jak przy wyznaczeniu prędkości, składowe wektora przyśpieszenia możemy

określić z zależności różniczkowych

3

( )

( )

( )

( )

( )

( )

a

dV

dt

dV

d

d t

dt

a

dV

dt

dV

d

d t

dt

Mx

Mx

Mx

My

My

My

=

=

⋅

=

=

⋅

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

,

.

Dla punktu M uzyskujemy:

( )

( )

a

d

dt

V

a

d

dt

V ctg t

V

l

t

Mx

A

My

A

A

=









=

=









= −

2

3

0

1
3

9

2

3

,

sin

.

ϕ

ϕ

Stąd dwa wnioski:

•

wektor przyśpieszenia punktu M ma stały kierunek, prostopadły do osi x,

•

długość wektora przyśpieszenia wynosi:

( )

a

a

V

l

t

M

My

A

=

=

2

3

9 sin

.

ϕ

Ilustrację tych wniosków przedstawia rysunek 1.F.

M

a

M

rys. 1.F

4