Przykład 1.1. Wyznaczanie równań ruchu, prędkości, przyśpieszenia oraz
toru punktu
rys. 1. A
Pręt AB o długości 3l pokazany na rysunku
1.A porusza się w ten sposób, że koniec B
przesuwa się wzdłuż prostej pionowej,
a koniec A wzdłuż prostej poziomej. Prędkość
punktu A jest stała i równa Vo.
Po jakim torze porusza się punkt M pręta ?
Jaka jest jego prędkość i przyśpieszenie ?
Położenie początkowe przedstawiono na
rysunku 1.A.
ROZWIĄZANIE
1. Wyznaczenie równań ruchu i toru punktu M
Przyjmując układ osi xy jak na rysunku 1.B, możemy określić odległość punktu A od
początku układu jako:
OA
= AB
( )
cos
ϕ
t
( )
= 3l
t
cos
ϕ
.
Współrzędna x
M
w dowolnej chwili wynosi:
( )
( )
( )
( )
x
OA
AM
t
l
t
l
t
l
t
M
=
−
=
−
=
cos
cos
cos
cos
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
3
2
,
natomiast współrzędna y
M
(wyznaczona analogicznie jak x
M
) wynosi
( )
( )
y
AM
t
l
M
=
=
sin
sin
ϕ
ϕ
t
.
Równania x
M.
i y
M.
stanowią równania ruchu punktu M.
rys. 1. B
Korzystając z zależności trygonometrycznej
, możemy
( )
( )
sin
cos
2
2
1
ϕ
ϕ
+
=
( )
ϕ
t
wyrugować z równań i otrzymać równanie toru.
Przekształćmy równania określające współrzędne punktu M w następujący sposób:
1
( )
( )
x
l
t
y
l
t
M
M
2
=
=
cos
,
sin
ϕ
ϕ
.
Podnosząc równania stronami do kwadratu i dodając do siebie otrzymamy
x
l
y
l
M
M
2
2
2
1
+
=
.
rys. 1.C
Torem punktu M jest zatem wycinek elipsy o półosiach równych 2l i l. Jeżeli
założymy, że w chwili początkowej pręt AB znajdował się w pozycji pionowej, a w chwili
końcowej w pozycji poziomej, to punkt M porusza się po wycinku elipsy leżącym w
dodatniej ćwiartce układu współrzędnych. Promień wodzący punktu M obraca się zgodnie ze
wskazówkami zegara, a punkt M rozpoczyna swój ruch z położenia określonego
współrzędnymi
co przestawia rys. 1.C.
(
2l
o
l
o
cos
, sin
ϕ
ϕ
)
2. Wyznaczenie prędkości punktu M
Otrzymane równania ruchu punktu M przedstawione są w funkcji kąta
ϕ(t). Oznacza
to, że obliczenie składowych wektora prędkości z równań:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
V
dx
dt
dx
d
d t
dt
V
dy
dt
dy
d
d t
dt
Mx
M
M
My
M
M
=
=
⋅
=
=
⋅
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
,
,
wymaga znalezienia
.
( )
ϕ
t
•
rys. 1.D
2
Rozważmy ponownie odległość OA określoną przez kąt
ϕ związkiem
OA = 3lcosϕ(t).
Jednocześnie (porównaj rysunek 1.D) równanie ruchu punktu A ma postać
x
OA V
A
A
=
=
t
⋅
.
Z porównania obydwu zapisów odcinka
OA
_
uzyskujemy
( )
cos
ϕ
t
V
l
t
A
=
⋅
3
,
i po zróżniczkowaniu po czasie , możemy obliczyć, że
( )
( )
ϕ
ϕ
•
= −
t
V
l
t
A
3 sin
,
ponieważ
( )
( )
( )
d
dt
t
t
(cos
)
sin
ϕ
ϕ
ϕ
= −
•
t
=
V
l
A
3
.
Teraz możemy już obliczyć składowe wektora prędkości punktu M
( )
[
]
( )
[
]
( ) ( )
( )
V
d
dt
l
t
V
V
d
dt
l
t
l
t
t
V ctg
Mx
A
My
A
=
=
=
=
= −
•
2
2
3
1
3
cos
sin
cos
.
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
t
ϕ
Długość wektora prędkości wynosi:
( )
( )
V
V
V
V
V ctg t
V
ctg
t
M
Mx
My
A
A
A
=
+
=
+
=
=
+
2
2
2
2
2
2
3
1
3
1
3
4
ϕ
ϕ
Wektor prędkości punktu M przedstawia rysunek 1.E.
rys. 1.E
3. Wyznaczenie przyśpieszenia punktu M
Podobnie jak przy wyznaczeniu prędkości, składowe wektora przyśpieszenia możemy
określić z zależności różniczkowych
3
( )
( )
( )
( )
( )
( )
a
dV
dt
dV
d
d t
dt
a
dV
dt
dV
d
d t
dt
Mx
Mx
Mx
My
My
My
=
=
⋅
=
=
⋅
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
,
.
Dla punktu M uzyskujemy:
( )
( )
a
d
dt
V
a
d
dt
V ctg t
V
l
t
Mx
A
My
A
A
=
=
=
= −
2
3
0
1
3
9
2
3
,
sin
.
ϕ
ϕ
Stąd dwa wnioski:
•
wektor przyśpieszenia punktu M ma stały kierunek, prostopadły do osi x,
•
długość wektora przyśpieszenia wynosi:
( )
a
a
V
l
t
M
My
A
=
=
2
3
9 sin
.
ϕ
Ilustrację tych wniosków przedstawia rysunek 1.F.
M
a
M
rys. 1.F
4