Ćwiczenia nr 5: Niezawodność systemów cz.1
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
1
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
Elementy teorii niezawodności
Ć
wiczenia nr 5: Niezawodność systemów cz. 1
Rozpatrujemy systemy o elementach
dwustanowych w sensie niezawodności
uszkadzających
się
niezaleŜnie
(podejście
klasyczne).
Zatem
strukturalna funkcja niezawodnościowa
systemu ma postać:
{ } { }
1
,
0
1
,
0
:
)
(
f
(n)
→
n
x
{
}
n
i
e
e
e
e
e
E
,...,
,...,
,
,
3
2
1
=
zbiór elementów struktury niezawodnościowej
{ }
1
,
0
Y
,
X
,
Y
,
X
=
i
i
zbiory stanów niezawodnościowych elementów i
systemu
Y
X
...
X
:
)
(
f
R
n
1
(n)
→
×
×
≡
x
Dla wyraŜeń bulowskich:
a
a
ab
a
b
a
a
a
a
a
a
a
a
=
+
=
+
=
⋅
=
+
,
)
(
,
,
Minimalną formułą alternatywną (mfa) funkcji monotonicznej nazywamy formułę alternatywną o najmniejszej
liczbie składników sumy (nieredukowalną)
(mfa)
x
x
x
x
x
(x)
f
4
3
4
1
2
(4)
+
+
=
Minimalną formułą koniunkcyjną (mfk) funkcji monotonicznej nazywamy formułę koniunkcyjną o najmniejszej
liczbie czynników (sum)
(mfk)
)
x
x
)(
x
x
(x
(x)
f
4
2
3
2
1
(4)
+
+
+
=
1.
Struktury dualne
Dla kaŜdej struktury monotonicznej (koherentnej) określonej przez f
(n)
(x) istnieje dualna struktura koherentna
określona przez funkcję monotoniczna f
(n)
D
(x). WyraŜenie bulowskie, określające funkcję dualną otrzymujemy w ten
sposób, Ŝe w wyraŜeniu bulowskim, określającym f
(n)
(x), zamieniamy wszystkie znaki alternatywy na znaki
koniunkcji, a znaki koniunkcji na znaki alternatywy.
Dla funkcji:
4
3
1
2
3
2
1
(4)
x
)
x
x
(
x
x
x
x
(x)
f
+
+
+
=
Funkcja dualna ma postać
)
x
x
x
)(
x
)(
x
x
(x
(x)
f
4
3
1
2
3
2
1
(4)
D
+
+
+
=
Z definicji wynika, Ŝe mfa funkcji f
(n)
D
(x) otrzymujemy bezpośrednio z mfk funkcji f
(n)
(x), a mfk funkcji f
(n)
D
(x)
bezpośrednio z mfa f
(n)
(x).
Ćwiczenia nr 5: Niezawodność systemów cz.1
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
2
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
2.
Minimalna ścieŜka zdatności
Podzbiór W
⊂
E elementów systemu nazywa się ścieŜką zdatności, jeśli przy zdatności wszystkich elementów
naleŜących do W system jest w stanie zdatności niezaleŜnie od stanu pozostałych elementów systemu.
Ś
cieŜka zdatności jest minimalną, jeśli nie zawiera Ŝadnej innej ścieŜki zdatności.
Minimalna formuła alternatywna (mfa) określa jednoznacznie zbiór wszystkich minimalnych ścieŜek zdatności
- kaŜdemu składnikowi sumy (iloczynowi) odpowiada wzajemnie jednoznacznie minimalna ścieŜka zdatności.
3.
Minimalne cięcie systemu
Podzbiór C
⊂
E elementów systemu nazywa się cięciem (przekrojem), jeśli przy niezdatności wszystkich elementów
naleŜących do C system jest w stanie niezdatności niezaleŜnie od stanu pozostałych elementów systemu.
Cięcie jest minimalne, jeśli nie zawiera Ŝadnych innych cięć.
Minimalna formuła koniunkcyjna (mfk) określa jednoznacznie zbiór wszystkich minimalnych cięć - kaŜdemu
czynnikowi (sumie) odpowiada wzajemnie jednoznacznie minimalne cięcie.
Zadanie 1:
ZałóŜmy, Ŝe strukturalna funkcja niezawodnościowa dla systemu złoŜonego z 5-ciu elementów ma postać:
(
)(
)
(
)
5
4
3
1
5
4
3
1
4
2
1
)
5
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
+
+
+
+
+
=
•
Wyznaczyć wszystkie minimalne ścieŜki zdatności
5
3
1
4
3
1
5
3
4
3
5
1
4
1
4
2
1
)
5
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
+
+
+
+
+
+
=
5
3
4
3
5
1
4
1
)
5
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
+
+
+
=
(mfa)
Jest to minimalna formuła alternatywna, zatem nie moŜna juŜ jej skrócić.
Wniosek 1
:
element numer 2 nie ma wpływu na niezawodność systemu.
Minimalnymi ścieŜkami zdatności są więc 4 ciągi elementów: 1-4, 1-5, 3-4 oraz 3-5.
•
Wyznaczyć wszystkie minimalne cięcia systemu,
Wcześniej trzeba utworzyć dualną strukturalną funkcję niezawodnościową:
(
)(
)
(
)
5
4
3
1
5
4
3
1
4
2
1
)
5
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
+
+
+
+
+
=
(
)(
)(
)
5
4
3
1
5
4
3
1
4
2
1
)
(
)
5
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
D
+
+
+
+
+
=
(
)(
)
5
4
3
1
5
4
4
3
1
5
4
2
3
2
1
5
4
1
3
1
)
(
)
5
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
D
+
+
+
+
+
+
+
=
(
)(
)
=
+
+
+
=
5
4
3
1
5
4
3
1
)
(
)
5
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
D
(
)
5
4
5
4
3
5
4
1
5
4
3
1
3
1
3
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
(
)
5
4
3
1
)
(
)
5
(
x
x
x
x
x
f
D
+
=
(mfa)
Jest to minimalna formuła alternatywna, z której odczytujemy wszystkie minimalne cięcia systemu:
1-3, 4-5, co moŜna łatwo zilustrować w schemacie niezawodnościowym (linie przerywane).
•
Dokonać analizy wraŜliwości systemu rozumianej jako zbadanie wpływu niezawodności poszczególnych
elementów na niezawodność całego systemu.
Wniosek 2: widać, Ŝe niezawodność wszystkich elementów: 1,3,4 i 5 ma jednakowy wpływ na niezawodność
systemu.
1
4
3
5
4.
Elementarne struktury niezawodno
Niezdatność dowolnego elementu struktury powoduje niezdatno
=
(n)
(x)
f
Niech oznacza czas zdatności elementu i
{
} {
min
P
T
P
(t)
R
s
s
=
≥
=
t
Dla struktury szeregowej system będzie sprawny gdy wszystkie elementy b
{
}
{
} {
T
P
t
T
,...,
T
,
T
min
P
n
2
1
=
≥
5.
Elementarne struktury niezawodno
Zdatność dowolnego
=
(n)
(x)
f
Niech oznacza czas zdatności elementu i
{ } {
max
P
T
P
(t)
F
s
s
=
〈
=
t
Dla struktury równoległej system będzie
{
}
{
} {
T
P
t
T
,...,
T
,
T
max
P
n
2
1
=
〈
Ćwiczenia nr 5: Niezawodność systemów cz.1
Elementy teorii niezawodności
Elementarne struktury niezawodnościowe – s. szeregowa (elementy nieodnawia
dowolnego elementu struktury powoduje niezdatność całego systemu
∏
=
=
n
1
i
x
i
∑
=
=
n
1
i
i
(n)
D
x
(x)
f
oznacza czas zdatności elementu i-tego, natomiast oznacza czas zdatności systemu. Wtedy mamy
{
} }
t
T
,...,
T
,
T
min
n
2
1
≥
ędzie sprawny gdy wszystkie elementy będą sprawne.
}
{
}
t
T
P
t
T
t,...,
T
t,
T
n
1
i
i
n
2
1
≥
=
≥
≥
≥
∏
=
Elementarne struktury niezawodnościowe – s. równoległa (elementy nieodnawialne proste)
dowolnego elementu struktury powoduje zdatność całego systemu
∑
=
=
n
1
i
i
x
∏
=
=
n
i 1
i
(n)
D
x
(x)
f
oznacza czas zdatności elementu i-tego, natomiast oznacza czas zdatności systemu. Wtedy mamy
{
} }
t
T
,...,
T
,
T
max
n
2
1
〈
ędzie niesprawnysprawny gdy wszystkie elementy b
{
}
{ }
t
T
P
t
T
t,...,
T
t,
T
n
1
i
i
n
2
1
=
〈
=
〈
〈
〈
∏
∏
=
Ćwiczenia nr 5: Niezawodność systemów cz.1
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
3
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
(elementy nieodnawialne proste)
całego systemu.
oznacza czas zdatności systemu. Wtedy mamy
sprawne.
}
(t)
R
(t)
R
S
n
1
i
i
=
=
∏
=
równoległa (elementy nieodnawialne proste)
całego systemu.
oznacza czas zdatności systemu. Wtedy mamy
sprawny gdy wszystkie elementy będą niesprawne.
(t)
F
(t)
F
S
n
1
i
i
=
∏
=
Ćwiczenia nr 5: Niezawodność systemów cz.1
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
4
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
Zadanie 2:
Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, Ŝe w chwili t system jest w stanie zdatności. Elementy systemu są
identyczne, nieodnawialne o rozkładzie czasu do uszkodzenia wykładniczym z parametrem a.
Struktura niezawodnościowa systemu złoŜonego z 7-miu elementów ma postać:
Zatem:
0
,
1
)
(
)
(
≥
−
=
=
−
t
e
t
F
t
F
at
i
oraz
0
,
)
(
)
(
≥
=
=
−
t
e
t
R
t
R
at
i
System jest nieodnawialny, poniewaŜ:
•
system jest nieodnawialny, jeśli istnieje chociaŜby jedno minimalne cięcie złoŜone z elementów nieodnawialnych,
•
system jest odnawialny, jeśli istnieje chociaŜby jedna minimalna ścieŜka zdatności złoŜona z elementów
odnawialnych.
Szukamy zatem R
s
(t)=?
Pamiętając o załoŜeniu o wykładniczych czasach do uszkodzenia się elementu obliczmy równania od ostatniego do
pierwszego:
(
)(
) (
)
at
at
at
at
at
V
e
e
e
e
e
t
F
t
F
t
F
2
2
4
3
2
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
−
−
−
−
−
+
−
=
−
=
−
−
=
⋅
=
(
)(
) (
)
at
at
at
at
at
IV
e
e
e
e
e
t
F
t
F
t
F
2
2
2
1
2
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
−
−
−
−
−
+
−
=
−
=
−
−
=
⋅
=
(
)(
) (
)
at
at
at
at
at
at
at
at
at
V
IV
II
e
e
e
e
e
e
e
e
e
t
R
t
R
t
R
4
3
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
)
(
)
(
)
(
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
=
−
=
−
−
=
⋅
=
1
3
2
4
5
6
7
Ćwiczenia nr 5: Niezawodność systemów cz.1
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
5
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
at
at
at
III
e
e
e
t
R
t
R
t
R
2
6
5
)
(
)
(
)
(
−
−
−
=
⋅
=
⋅
=
(
)(
)
=
−
−
+
−
=
⋅
=
−
−
−
−
at
at
at
at
III
II
I
e
e
e
e
t
F
t
F
t
F
2
4
3
2
1
4
4
1
)
(
)
(
)
(
=
+
−
+
−
−
+
−
=
−
−
−
−
−
−
−
at
at
at
at
at
at
at
e
e
e
e
e
e
e
6
5
4
2
4
3
2
4
4
4
4
1
at
at
at
at
at
e
e
e
e
e
6
5
4
3
2
4
3
4
5
1
−
−
−
−
−
+
−
+
+
−
=
(
)
=
−
+
−
−
⋅
=
⋅
=
−
−
−
−
−
−
at
at
at
at
at
at
I
s
e
e
e
e
e
e
t
R
t
R
t
R
6
5
4
3
2
7
4
3
4
5
)
(
)
(
)
(
at
at
at
at
at
e
e
e
e
e
7
6
5
4
3
4
3
4
5
−
−
−
−
−
−
+
−
−
=
Otrzymaliśmy postać funkcji R
s
(t):
at
at
at
at
at
s
e
e
e
e
e
t
R
7
6
5
4
3
4
3
4
5
)
(
−
−
−
−
−
−
+
−
−
=
Jak sprawdzić, czy nie popełniliśmy pomyłki w obliczeniach? To proste zadanie.
R
s
(0)=1 oraz e
-at
= e
0
=1, zatem:
1
1
4
3
4
5
4
3
4
5
4
3
4
5
)
0
(
0
0
0
0
0
7
6
5
4
3
=
−
+
−
−
=
−
+
−
−
=
−
+
−
−
=
=
−
−
−
−
−
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
t
R
at
at
at
at
at
s
Wystarczy
sprawdzić więc, czy suma współczynników jest równa jeden. Gdybyśmy popełnili gdzieś jedną lub więcej pomyłek,
to na pewno wynik nie byłby równy jeden.
Uwaga:
nie widać juŜ we wzorze struktury systemu, moŜna zatem system traktować jako pojedynczy element prosty
nieodnawialny o funkcji niezawodności R
s
(t).
Wiec, na przykład:
•
wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe system (obiekt nieodnawialny prosty) uszkodzi się do chwili t
at
at
at
at
at
s
s
e
e
e
e
e
t
R
t
F
7
6
5
4
3
4
3
4
5
1
)
(
1
)
(
−
−
−
−
−
+
−
+
+
−
=
−
=
•
wyznaczyć oczekiwany czas do uszkodzenia systemu
{ }
[
]
=
−
+
−
−
=
=
∫
∫
∞
−
−
−
−
−
∞
dt
e
e
e
e
e
dt
t
R
T
E
at
at
at
at
at
s
s
0
7
6
5
4
3
0
4
3
4
5
)
(
dt
e
dt
e
dt
e
dt
e
dt
e
at
at
at
at
at
∫
∫
∫
∫
∫
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
−
+
−
−
=
0
7
0
6
0
5
0
4
0
3
4
3
4
5
pamiętamy, Ŝe
na
e
na
e
na
dt
e
nat
nat
1
1
0
1
0
0
0
=
−
−
=
−
=
∞
−
∞
−
∫
wiec otrzymujemy:
{ }
a
a
a
a
a
dt
e
dt
e
dt
e
dt
e
dt
e
T
E
at
at
at
at
at
s
7
1
6
4
5
3
4
4
3
5
4
3
4
5
0
7
0
6
0
5
0
4
0
3
−
+
−
−
=
−
+
−
−
=
∫
∫
∫
∫
∫
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
zatem
{ }
a
a
a
T
E
s
59
,
0
7
1
3
2
5
3
1
3
2
1
1
7
1
6
4
5
3
4
4
3
5
1
≅
−
+
−
−
=
−
+
−
−
=
MoŜna wyliczyć inne charakterystyki typowe dla obiektów prostych nieodnawialnych przyjmując, Ŝe jego funkcja
niezawodności jest równa R
s
(t), na przykład prawdopodobieństwo braku uszkodzenia w przedziale (t,t+
τ
), ale nie
ma na to czasu.
Uwaga:
warto dodać studentom, Ŝe w następnym ćwiczeniu będziemy analizowali ten sam przykład, jednak
załoŜymy, ze pewne elementy będą odnawialne, przez co system stanie się odnawialnym. Powinni więc oni
przykład z tych ćwiczeń dobrze przeanalizować.