Ćwiczenia nr 1: Obiekty proste nieodnawialne
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
1
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
Elementy teorii niezawodności
Ćwiczenia nr 1: Obiekty proste nieodnawialne
Jedynym
istotnym
zdarzeniem
w
eksploatacji
obiektu
prostego
nieodnawialnego
jest
chwila
jego
uszkodzenia. Wtedy traci on własność
realizacji przewidzianych funkcji (zadań).
Przyjmujemy rozkład czasu T do uszkodzenia: wykładniczy z parametrem
[1/h].
Dlaczego rozkład wykładniczy jest „ahistoryczny”, „bez pamięci” ?
Wyznaczmy wartości prawdopodobieństw:
|
|
1 1 1
|
|
|
są takie same i nie zależą od
i
!
.
Niestarzenie się elementu oznacza, że prawdopodobieństwo awarii w danym przedziale czasu nie zależy od wieku
elementu. Określamy tę własność jako brak pamięci rozkładu wykładniczego.
Miary funkcyjne niezawodności
1.
Dystrybuanta
" #$
Własności dystrybuanty:
ciągła, niemalejąca,
% ∞ 0 ,% ∞ 1
% (
0
1
)*+ , 0
)*+
0
-
% 0 1
./
0 ; % ∞ 1
.1
1
Czy funkcja jest stale rosnąca:
)%
)
2 3 3
Wartość dystrybuanty
" określa prawdopodobieństwo, że czas awarii jest mniejszy niż . Czyli, że obiekt się
popsuje do chwili
.
•
Zadanie 1: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe uszkodzenie wystąpi do chwili
%
Ćwiczenia nr 1: Obiekty proste nieodnawialne
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
2
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
2.
Funkcja niezawodności
4 " #$
5 0
./
1 ; 5 ∞
.1
0
6
0: 5
% 1
Wartość funkcji niezawodności
4 określa prawdopodobieństwo, że czas awarii będzie większy niż . Czyli, że
obiekt się nie popsuje do chwili
.
•
Zadanie 2: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe uszkodzenie wystąpi po chwili
,
1 %
5
3.
Gęstość rozkładu zmiennej losowej T,
8
9
)%
)
2 3 3
: 9 )
1
1
:
)%
) )
1
/
;% <
/
1
1 0 1
Wartość funkcji gęstości
8 określa rozłożenie masy prawdopodobieństwa na wszystkich możliwych chwilach
awarii. Czyli, prawdopodobieństwo, że obiekt się popsuje w chwili
.
•
Zadanie 3: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe uszkodzenie wystąpi w przedziale
=
,
?
=
, ,
?
%
?
%
=
: 9 )
@
A
4.
Funkcja intensywności uszkodzeń,
3
9
5
3
3
funkcja stała, czyli obiekt się nie starzeje, a rozkład
ahistoryczny
Ćwiczenia nr 1: Obiekty proste nieodnawialne
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
3
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
5.
Funkcja wiodąca,
B
Λ : 3 D )D : 3)D 3 : D )D
/
/
/
3;D<
/
3
funkcja ma sens resursu czasu życia wykorzystanego
przez obiekt,
np.:
Λ 10
E
10
F
. 10
E
0,001 - dla 100000
godzin wykorzystana została dopiero tysięczna część
resursu do awarii.
•
Zadanie 4: Wyznaczyć wykorzystanie resursu Ŝycia obiektu do chwili
E
Λ
E
Wyznaczyć kiedy obiekt wykorzysta połowę resursu Ŝycia
Λ
G
1
2I
6.
Warunkowe prawdopodobieństwo braku awarii w przedziale czasu,
4
J
5
K
5
K
5
L
L
L
Widać, że obiekt jest „bez pamięci”, ponieważ chwila t
nie wpływa na wartość prawdopodobieństwa.
•
Zadanie 5: Wyznaczyć prawdopodobieństwo, Ŝe obiekt nie popsuje się w przedziale czasu
M
,
M
K jeŜeli do
chwili
M
był sprawny
5
N
K
L
7.
Bezwarunkowe prawdopodobieństwo braku awarii w przedziale czasu,
# ,
J
,
K 1 : 9 D )D
L
1 ;5 5
K < 1 O
L
P 1
1
L
;5 5
K < ;%
K % <
•
Zadanie 6: Wyznaczyć prawdopodobieństwo, Ŝe obiekt nie popsuje się w przedziale czasu
Q
,
Q
K
Q
,
Q
K 1
R
1
L
Miary liczbowe niezawodności
8.
Wartość oczekiwana czasu do awarii,
S$ T
U V : 9 )
1
/
: 3
) : 5 ) :
)
1
/
1
/
1
/
W
1
3
X
/
1
1
3
9.
Wariancja czasu do awarii,
Y$
Z :; U <
9 )
1
/
1
3
Ćwiczenia nr 1: Obiekty proste nieodnawialne
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
4
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
10.
Odchylenie standardowe czasu do awarii,
[$
\ ]Z ^:; U <
9 )
1
/
1
3
11.
Kwantyl rzędu p,
_
%
`
a
%
`
1
b
a
b
1 a /*d
3
`
ln 1 a
`
1
3 ln 1 a
•
Zadanie 7: Wyznaczyć czas do którego obiekt popsuje się z prawdopodobieństwem
a
`
1
3 ln 1 a