Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 1

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

Elementy teorii niezawodnoś ci

Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z

zerowym czasem odnowy

Jedynymi

istotnymi

zdarzeniami

w

eksploatacji obiektu prostego odnawialnego z zerowa odnową są chwile uszkodzeń , które przy zerowej odnowie, są jednocześ nie chwilami odnów.

Przyjmujemy rozkład czasu T do uszkodzenia: wykładniczy z parametrem [1/h].

Strumienie odnów

Proste

Ogólne

Wszystkie zmienne losowe , , … mają identyczne

Wszystkie zmienne losowe oprócz mają identyczne rozkłady określone:

rozkłady jak w strumieniu prostym, ma inny rozkład

• dystrybuantą ,

określony:

• gęstością ,

• dystrybuantą ,

• transformatą Laplace’a ,

• gęstością ,

•

wartością oczekiwaną ,

• transformatą Laplace’a ,

• odchyleniem standardowym .

• wartością oczekiwaną ,

• odchyleniem standardowym .

Miary niezawodnościowe

1. Czas do r-tej odnowy

- zmienna losowa dla której:

Dystrybuanta:

Transformata Laplace’a funkcji $ %:

∞

Gęstość :

& ' & ()(*(

∞

Dla strumienia prostego

Dla strumienia ogólnego

! "

! "

! "

! "

Dla + , ∞ zmienna losowa dąży do rozkładu normalnego -!. · 0, 1 · √."

Michał Kapałka

[e-mail]

Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 2

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

• Zadanie 1: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że 7-me uszkodzenie wystąpi po chwili +

34 5 + 1 7 84 +

1

; 4

84 9 9 :; 9<

• Zadanie 2: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że do chwili + będzie co najmniej 5 napraw

3= > + 8= +

1

; =

8= 9 9 :; 9<

2. Proces stochastyczny ? - liczba odnowień do chwili t

3- + > . 3 @ +

3- + > . 3 @ + 1 7 8 +

3- + . 8 + 7 8A +

3- + @ . 3A > + 8A +

3- + . 3- + @ . 3- + > . 1

Dla + , ∞ proces - + dąży do

+ !1 ·

- B

√+"

0 ,

C

0

• Zadanie 3: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że do chwili + będzie dokładnie 8 uszkodzeń 3- + 8 8E + 7 8F +

1

; E

1

; F

8

E 9 9 :; 9< ; 8F 9 9 :; 9<

3. Funkcja odnowy H - oczekiwana liczba odnowień do chwili t H I?

Równanie odnowy:

H H ·

Dla strumienia prostego

Dla strumienia ogólnego

1 K 9

1 K 9

J 9

9 1 7 K 9

J 9 9 1 7 K 9

4. Gęstość odnowy L

NJ +

M + N+

Dla strumienia prostego

Dla strumienia ogólnego

K 9

K 9

J 9

1 7 K 9

J 9 1 7 K 9

Michał Kapałka

[e-mail]

Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 3

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

• Zadanie 4: Wyznaczyć oczekiwaną liczbę napraw do chwili +O

λ

λ

λ

*

1

f ( s)

1

1

1

1

*

λ +

λ +

λ +

H ( t ) = ?, H ( s) s

s

s

=

=

=

=

=

4

*

2

s 1− f ( s)

s

λ

s λ + s − λ

s λ + s − λ

s

1− λ + s

λ + s

λ + s

n

n

− at

!

Można pokazać, że jeśli J 9

L t e

=

PQ, to korzystając z formuły na transformatę Laplace’a (

)

(

s + a) n 1

+

mamy: J +O ;+O ,bo n=1 i a=0

• Zadanie 5: Wyznaczyć oczekiwaną liczbę uszkodzeń w przedziale czasu +=, +R

J +R 7 J += ;+R 7 ;+=

5. Miary graniczne dla , ∞ J + 1

+

lim

W,X + 0 ; NYZ N[ż]^M +: J + 0

d

Tw. Blackwella

àbcH d 7 H e

,X

• Zadanie 6: Wyznaczyć oczekiwaną graniczną liczbę uszkodzeń w przedziale +4, +E

t − t

lim( H ( t ) − H ( t ) =

= λ t − t

8

7 )

8

7

(

)

t →∞

7

1

8

7

λ

Wynik, jak poprzednio, ale tylko dla rozkładu wykładniczego (ahistorycznego)

• Zadanie 7: Wyznaczyć oczekiwaną graniczną liczbę napraw do chwili +F

lim H ( ) = t

t

t→∞

Θ

J +F ;+F

• Zadanie 8: Wyznaczyć rozkład granicznej liczby uszkodzeń w chwili +f σ

N ( t) → N ( m,σ '), gdzie

= t

m

, σ ' =

t , pamiętamy, że dla rozkładu wykładniczego σ=1/λ

3

t→∞

Θ

2

Θ





 t

σ t 

10

10

N

,

= N λ t , λ t

3

( 10 10)

zatem N(t10) dąży do rozkładu

 Θ



2



Θ 

• Zadanie 9: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, że do chwili +będzie co najmniej 50

uszkodzeń

P( S

< t ) = K ( t ) ≅ F

( t )

50

11

50

11

normalny

11





50

50





=f ghi -!50 · 0, 1 · √50" , N ( m,σ ) = N (50Θ,σ 50 ) = N

,

W,X





 λ

λ 

• Zadanie 10: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, że do chwili + będzie mniej niż 100 napraw

P( S

≥ t ) = 1− K ( t ) ≅ 1− F

( t )

100

12

100

12

normalny

12

100 10 

ff ghi -!100 · 0, 1 · √100" N ( , m σ ) = N (100Θ,σ 100 ) = N

,



W,X

 λ

λ 

Michał Kapałka

[e-mail]

Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 4

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

6. Prawdopodobieństwo l , dbraku uszkodzenia w przedziale , d

l , d 7 d 'c 7 d 7 (eL (*(

m

Tw. Smitha

X

àb ' n o 7 pL (*(

,X

' & q*q

m

Prawdopodobieństwo graniczne braku uszkodzenia w przedziale +, + r

X

3 r àb3 +, + r

,X

'c1 7 s ]e *t

d

• Zadanie 11: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że w przedziale (t13,t14) nie będzie uszkodzeń t

P( t , t

1 F ( t )

1 F ( t

τ ) h(τ ) dτ

13

14 )

13

= −

14

+ ∫[ −

14 −

]

0

f *

*

( s)

λ

h(t) wyznaczamy z formuły h

( s) =

= , zatem h(t)=λ, więc

1− f *( s)

s

t 13

t

−λ

−λ

−τ

−λ

−λ

λτ

−

−

P( t ,

t

t

t

t

t

t

t

= e

+ ∫

λ

e

λ dτ = e

+ λ e

e

= e

14

13 )

14

[ (14 )]

14

[ )]13

14

( 14 13)

0

0

• Zadanie 12: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, że w przedziale czasu (t15,t16) nie będzie uszkodzeń

ze wzoru

X

l d 'c1 7 s +e *

d

∞

1

−λ

−

−

mamy P(

t

t

t

t

− t =

∫

λ

e

dt = e

16

15 )

( 16 15 )

θ

−

1

t 6 1

t 5

7. Pozostały czas zdatności u, jeśli od ostatniej odnowy minął czas t 3vW @ r 3 +, + r

u l , d 7

d 'c 7 d 7 (eL (*(

m

Dla dużych t:

X

u 'c1 7 s ]e *t

d

X

0 1

wv ' 3 rNr 2 20

f

Michał Kapałka

[e-mail]