Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
1
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
Elementy teorii niezawodności
Ć
wiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z
zerowym czasem odnowy
Jedynymi
istotnymi
zdarzeniami
w
eksploatacji obiektu prostego odnawialnego
z zerowa odnową są chwile uszkodzeń, które
przy zerowej odnowie, są jednocześnie
chwilami odnów.
Przyjmujemy rozkład czasu T do uszkodzenia: wykładniczy z parametrem
[1/h].
Strumienie odnów
Proste
Wszystkie zmienne losowe
,
, … mają identyczne
rozkłady określone:
•
dystrybuantą
,
•
gęstością
,
•
transformatą Laplace’a
,
•
wartością oczekiwaną
,
•
odchyleniem standardowym
.
Ogólne
Wszystkie zmienne losowe oprócz
mają identyczne
rozkłady jak w strumieniu prostym,
ma inny rozkład
określony:
•
dystrybuantą
,
•
gęstością
,
•
transformatą Laplace’a
,
•
wartością oczekiwaną
,
•
odchyleniem standardowym
.
Miary niezawodnościowe
1.
Czas do r-tej odnowy
- zmienna losowa dla której:
Dystrybuanta:
Gęstość :
Dla strumienia prostego
!
"
!
"
Transformata Laplace’a funkcji
$
%:
&
' &
()
(
*(
∞
∞
Dla strumienia ogólnego
!
"
!
"
Dla
+ , ∞ zmienna losowa
dąŜy do rozkładu normalnego
-!. · 0, 1 · √."
Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
2
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
•
Zadanie 1: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe 7-me uszkodzenie wystąpi po chwili
+
3
4
5 +
1 7 8
4
+
8
4
9
1
9 :
;
; 9<
4
•
Zadanie 2: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe do chwili
+
będzie co najmniej 5 napraw
3
=
> +
8
=
+
8
=
9
1
9 :
;
; 9<
=
2.
Proces stochastyczny
?
- liczba odnowień do chwili t
3 -
+ > . 3
@ +
3 -
+ . 8
+ 7 8
A
+
3 -
+ > . 3
@ + 1 7 8
+
3 -
+ @ . 3
A
> + 8
A
+
3 -
+ . 3 -
+ @ . 3 -
+ > . 1
Dla
+ , ∞ proces -
+ dąŜy do
- B
+
0 ,
!1 · √+"
0
C
•
Zadanie 3: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe do chwili
+
będzie dokładnie 8 uszkodzeń
3 -
+
8 8
E
+
7 8
F
+
8
E
9
1
9 :
;
; 9<
E
; 8
F
9
1
9 :
;
; 9<
F
3.
Funkcja odnowy
H
- oczekiwana liczba odnowień do chwili t
H
I ?
Równanie odnowy:
H
H
·
Dla strumienia prostego
J
9
1
9
K
9
1 7 K
9
Dla strumienia ogólnego
J
9
1
9
K
9
1 7 K
9
4.
Gęstość odnowy
L
M
+
NJ
+
N+
Dla strumienia prostego
J
9
K
9
1 7 K
9
Dla strumienia ogólnego
J
9
K
9
1 7 K
9
Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
3
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
•
Zadanie 4: Wyznaczyć oczekiwaną liczbę napraw do chwili
+
O
2
*
*
*
4
1
1
1
1
1
)
(
1
)
(
1
)
(
?,
)
(
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
f
s
f
s
s
H
t
H
=
+
−
+
+
=
+
−
+
+
=
+
−
+
=
−
=
=
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
MoŜna pokazać, Ŝe jeśli
J
9
P
Q
, to korzystając z formuły na transformatę Laplace’a
(
)
1
!
)
(
+
−
+
=
n
at
n
a
s
n
e
t
L
mamy:
J
+
O
;+
O
,bo n=1 i a=0
•
Zadanie 5: Wyznaczyć oczekiwaną liczbę uszkodzeń w przedziale czasu
+
=
, +
R
J
+
R
7 J
+
=
;+
R
7 ;+
=
5.
Miary graniczne dla
, ∞
lim
W,X
J
+
+
1
0 ; NYZ N[ż]^M +: J
+
+
0
Tw. Blackwella
`ab
,X
cH
d 7 H
e
d
•
Zadanie 6: Wyznaczyć oczekiwaną graniczną liczbę uszkodzeń w przedziale
+
4
, +
E
(
)
)
(
1
)
(
)
(
lim
7
8
7
8
7
8
7
t
t
t
t
t
H
t
H
t
−
=
−
=
−
→∞
λ
λ
Wynik, jak poprzednio, ale tylko dla rozkładu wykładniczego (ahistorycznego)
•
Zadanie 7: Wyznaczyć oczekiwaną graniczną liczbę napraw do chwili
+
F
Θ
=
→∞
t
t
H
t
)
(
lim
J
+
F
;+
F
•
Zadanie 8: Wyznaczyć rozkład granicznej liczby uszkodzeń w chwili
+
f
),
'
,
(
)
(
σ
m
N
t
N
t
→∞
→
gdzie
Θ
=
t
m
,
2
3
'
Θ
=
t
σ
σ
, pamiętamy, Ŝe dla rozkładu wykładniczego
σ
=1/
λ
zatem N(t
10
) dąŜy do rozkładu
(
)
10
10
2
3
10
10
,
,
t
t
N
t
t
N
λ
λ
σ
=
Θ
Θ
•
Zadanie 9: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, Ŝe do chwili
+
będzie co najmniej 50
uszkodzeń
)
(
)
(
)
(
11
11
50
11
50
t
t
K
t
S
P
normalny
F
≅
=
<
=f W,X
ghi -!50 · 0, 1 · √50" ,
(
)
(
)
=
Θ
=
λ
λ
σ
σ
50
,
50
50
,
50
,
N
N
m
N
•
Zadanie 10: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, Ŝe do chwili
+
będzie mniej niŜ 100 napraw
)
(
1
)
(
1
)
(
12
12
100
12
100
t
t
K
t
S
P
normalny
F
−
≅
−
=
≥
ff W,X
ghi -!100 · 0, 1 · √100"
(
)
(
)
=
Θ
=
λ
λ
σ
σ
10
,
100
100
,
100
,
N
N
m
N
Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
4
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
6.
Prawdopodobieństwo
l
, dbraku uszkodzenia w przedziale
, d
l
, d 7
d 'c 7
d 7 (eL
(*(
m
Tw. Smitha
`ab
,X
' n
o 7 pL
(*(
m
' &
q*q
X
Prawdopodobieństwo graniczne braku uszkodzenia w przedziale
+, + r
3
r `ab
,X
3
+, + r
'c1 7 s
]e *t
X
d
•
Zadanie 11: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe w przedziale (t
13
,t
14
) nie będzie uszkodzeń
(
)
[
]
∫
−
−
+
−
=
13
0
14
14
14
13
)
(
)
(
1
)
(
1
,
t
d
h
t
F
t
F
t
t
P
τ
τ
τ
h(t) wyznaczamy z formuły
s
s
f
s
f
s
h
λ
=
−
=
)
(
1
)
(
)
(
*
*
*
, zatem h(t)=
λ
, więc
(
)
[
]
[ ]
(
)
13
14
13
14
14
13
14
14
0
)
0
)
(
13
14
,
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
d
e
e
t
t
P
−
−
−
−
−
−
−
=
+
=
+
=
∫
λ
λτ
λ
λ
τ
λ
λ
λ
τ
λ
•
Zadanie 12: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, Ŝe w przedziale czasu (t
15
,t
16
) nie będzie
uszkodzeń
ze wzoru
l
d
'c1 7 s
+e *
X
d
mamy
(
)
(
)
15
16
15
16
1
15
16
t
t
t
t
t
e
dt
e
t
t
P
−
−
∞
−
−
=
=
−
∫
λ
λ
θ
7.
Pozostały czas zdatności
u
, jeśli od ostatniej odnowy minął czas t
3 v
W
@ r 3
+, + r
u
l
, d 7
d 'c 7
d 7 (eL
(*(
m
Dla duŜych t:
u
'c1 7 s
]e *t
X
d
w v ' 3
rNr
0
2
1
20
X
f