etn cwiczenia nr 2

background image

Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

1

Michał Kapałka

mkapalka@wat.edu.pl

Elementy teorii niezawodności

Ć

wiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z

zerowym czasem odnowy

Jedynymi

istotnymi

zdarzeniami

w

eksploatacji obiektu prostego odnawialnego
z zerowa odnow
ą są chwile uszkodzeń, które
przy zerowej odnowie, s
ą jednocześnie
chwilami odnów.

Przyjmujemy rozkład czasu T do uszkodzenia: wykładniczy z parametrem

  



[1/h].

Strumienie odnów

Proste

Wszystkie zmienne losowe





, 

, … mają identyczne

rozkłady określone:

dystrybuantą

,

gęstością

 ,

transformatą Laplace’a





,

wartością oczekiwaną

,

odchyleniem standardowym

.

Ogólne

Wszystkie zmienne losowe oprócz





mają identyczne

rozkłady jak w strumieniu prostym,





ma inny rozkład

określony:

dystrybuantą



,

gęstością





,

transformatą Laplace’a







,

wartością oczekiwaną





,

odchyleniem standardowym





.

Miary niezawodnościowe

1.

Czas do r-tej odnowy









 



 

 



   



- zmienna losowa dla której:

Dystrybuanta:





  











Gęstość :



  












Dla strumienia prostego





  !



"









 









 



 !



"



Transformata Laplace’a funkcji

$ %:

&



  ' & ()

(

*(

∞


Dla strumienia ogólnego





  





!



"









 









 



 





!



"




Dla

+ , ∞ zmienna losowa 



dąży do rozkładu normalnego

-!. · 0, 1 · √."

background image

Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

2

Michał Kapałka

mkapalka@wat.edu.pl

Zadanie 1: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że 7-me uszkodzenie wystąpi po chwili

+



3

4

5 +



  1 7 8

4

+





8

4



9 

1

9 :

;

;  9<

4

Zadanie 2: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że do chwili

+

będzie co najmniej 5 napraw

3

=

> +

  8

=

+



8

=



9 

1

9 :

;

;  9<

=

2.

Proces stochastyczny

?  - liczba odnowień do chwili t

3- + > .  3



@ +

3- +  .  8



+ 7 8

A

+

3- + > .  3



@ +  1 7 8



+

3- + @ .  3

A

> +  8

A

+

3- +  .  3- + @ .  3- + > .  1

Dla

+ , ∞ proces - + dąży do

- B

+

0 ,

!1 · √+"

0



C

Zadanie 3: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że do chwili

+



będzie dokładnie 8 uszkodzeń

3- +



  8  8

E

+



 7 8

F

+





8

E



9 

1

9 :

;

;  9<

E

; 8

F



9 

1

9 :

;

;  9<

F


3.

Funkcja odnowy

H  - oczekiwana liczba odnowień do chwili t

H   I? 

Równanie odnowy:

H



 





  H



 · 





Dla strumienia prostego

J



9 

1

9

K



9

1 7 K



9

Dla strumienia ogólnego

J



9 

1

9

K





9

1 7 K



9

4.

Gęstość odnowy

L 

M + 

NJ +

N+

Dla strumienia prostego

J



9 

K



9

1 7 K



9

Dla strumienia ogólnego

J



9 

K





9

1 7 K



9

background image

Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

3

Michał Kapałka

mkapalka@wat.edu.pl

Zadanie 4: Wyznaczyć oczekiwaną liczbę napraw do chwili

+

O

2

*

*

*

4

1

1

1

1

1

)

(

1

)

(

1

)

(

?,

)

(

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

f

s

f

s

s

H

t

H

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

=

=

=

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

Można pokazać, że jeśli

J



9 



P

Q

, to korzystając z formuły na transformatę Laplace’a

(

)

1

!

)

(

+

+

=

n

at

n

a

s

n

e

t

L

mamy:

J +

O

  ;+

O

,bo n=1 i a=0

Zadanie 5: Wyznaczyć oczekiwaną liczbę uszkodzeń w przedziale czasu

+

=

, +

R



J +

R

 7 J +

=

  ;+

R

7 ;+

=

5.

Miary graniczne dla

 , ∞

lim

W,X

J +

+ 

1

0 ; NYZ N[ż]^M +: J + 

+

0

Tw. Blackwella

`ab

,X

cH   d 7 H e 

d



Zadanie 6: Wyznaczyć oczekiwaną graniczną liczbę uszkodzeń w przedziale

+

4

, +

E



(

)

)

(

1

)

(

)

(

lim

7

8

7

8

7

8

7

t

t

t

t

t

H

t

H

t

=

=

→∞

λ

λ

Wynik, jak poprzednio, ale tylko dla rozkładu wykładniczego (ahistorycznego)

Zadanie 7: Wyznaczyć oczekiwaną graniczną liczbę napraw do chwili

+

F

Θ

=

→∞

t

t

H

t

)

(

lim

J +

F

  ;+

F

Zadanie 8: Wyznaczyć rozkład granicznej liczby uszkodzeń w chwili

+

f

),

'

,

(

)

(

σ

m

N

t

N

t

→∞

gdzie

Θ

=

t

m

,

2

3

'

Θ

=

t

σ

σ

, pamiętamy, że dla rozkładu wykładniczego

σ

=1/

λ

zatem N(t

10

) dąży do rozkładu

(

)

10

10

2

3

10

10

,

,

t

t

N

t

t

N

λ

λ

σ

=





Θ

Θ

Zadanie 9: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, że do chwili

+



będzie co najmniej 50

uszkodzeń

)

(

)

(

)

(

11

11

50

11

50

t

t

K

t

S

P

normalny

F

=

<



=f W,X

ghi -!50 · 0, 1 · √50" ,

(

)

(

)



=

Θ

=

λ

λ

σ

σ

50

,

50

50

,

50

,

N

N

m

N

Zadanie 10: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, że do chwili

+



będzie mniej niż 100 napraw

)

(

1

)

(

1

)

(

12

12

100

12

100

t

t

K

t

S

P

normalny

F

=



ff W,X

ghi -!100 · 0, 1 · √100"

(

)

(

)

=

Θ

=

λ

λ

σ

σ

10

,

100

100

,

100

,

N

N

m

N

background image

Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

4

Michał Kapałka

mkapalka@wat.edu.pl

6.

Prawdopodobieństwo

l ,   dbraku uszkodzenia w przedziale ,   d

l ,   d   7



  d  'c 7   d 7 (eL (*(



m

Tw. Smitha

`ab

,X

' n o 7 pL (*(



m





 ' & q*q

X



Prawdopodobieństwo graniczne braku uszkodzenia w przedziale

+, +  r

3 r  `ab

,X

3 +, +  r 



 'c1 7 s ]e *t

X

d

Zadanie 11: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że w przedziale (t

13

,t

14

) nie będzie uszkodzeń

(

)

[

]

+

=

13

0

14

14

14

13

)

(

)

(

1

)

(

1

,

t

d

h

t

F

t

F

t

t

P

τ

τ

τ

h(t) wyznaczamy z formuły

s

s

f

s

f

s

h

λ

=

=

)

(

1

)

(

)

(

*

*

*

, zatem h(t)=

λ

, więc

(

)

[

]

[ ]

(

)

13

14

13

14

14

13

14

14

0

)

0

)

(

13

14

,

t

t

t

t

t

t

t

t

e

e

e

e

d

e

e

t

t

P

=

+

=

+

=

λ

λτ

λ

λ

τ

λ

λ

λ

τ

λ

Zadanie 12: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, że w przedziale czasu (t

15

,t

16

) nie będzie

uszkodzeń

ze wzoru

l d 



 'c1 7 s +e *

X

d

mamy

(

)

(

)

15

16

15

16

1

15

16

t

t

t

t

t

e

dt

e

t

t

P

=

=

λ

λ

θ

7.

Pozostały czas zdatności

u



, jeśli od ostatniej odnowy minął czas t

3v

W

@ r  3 +, +  r

u



 l ,   d   7



  d  'c 7   d 7 (eL (*(



m

Dla dużych t:

u





 'c1 7 s ]e *t

X

d

wv  ' 3 rNr 

0

2 

1

20

X

f


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
etn cwiczenia nr 1 zadania
etn cwiczenia nr 1 id 164456
etn cwiczenia nr 6 id 164467
etn cwiczenia nr 3
etn, cwiczenia nr 3
etn, cwiczenia nr 10
etn, cwiczenia nr 7
etn, cwiczenia nr 2
etn, cwiczenia nr 8
etn cwiczenia nr 2,3 zadania
etn cwiczenia nr 4
etn cwiczenia nr 8
etn cwiczenia nr 5 id 164464

więcej podobnych podstron