Ćwiczenia 2

Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia

Ćwiczenia nr 2. Redundancja układowa, pasywna

1. Redundancja układowa

Redundancja nazywana jest inaczej rezerwowaniem lub nadmiarem. W systemach oznacza to istnienie dodatkowych zdolności funkcjonalnych ponad te, które są wymagane dla prawidłowego funkcjonowania systemu. Redundancję wprowadza się do systemu w celu zwiększenia jego niezawodności. Jednak wiadomo, że nie każdy nadmiar zwiększa niezawodność systemów.

Nadmiar układowy (strukturalny) – w tym przypadku system posiada dodatkowe elementy, które w razie awarii elementów podstawowych mogą pełnić ich rolę w systemie.

2. Klasyfikacja rezerwowania układowego

Klasyfikację sposobów włączania elementów rezerwowych, czyli klasyfikację rezerwowania układowego przedstawia poniższy schemat.

Rezerwowanie ogólne – polega na rezerwowaniu całego systemu identycznymi systemami (na przykład zapasowymi).

Rezerwowanie rozdzielcze - ma miejsce wtedy, gdy oddzielnie każdy element jest rezerwowany pewną liczbą elementów.

Rezerwowanie mieszane - występuje wtedy, gdy dla część i systemu stosujemy ogólną rezerwę układową, a dla części rezerwowanie rozdzielcze.

Rezerwowane przesuwające - się może być stosowane wtedy, gdy element rezerwowy może być włączany zamiast dowolnego elementu podstawowego.

Ze względu na sposób włączenia w układ elementów stanowiących rezerwę: Rezerwowanie pasywne – elementy rezerwowe są na stałe włączone do systemu wraz z elementami podstawowymi.

Rezerwowanie aktywne – elementy rezerwowe są włączane do systemu dopiero w przypadku awarii elementów podstawowych (przełącznik: idealny, rzeczywisty).

Arkadiusz Wrzosk

1

[e-mail]

Ćwiczenia 2

Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia

Ze względu na warunki w jakich przebywają elementy stanowiące rezerwę: Rezerwa gorąca – oznacza obciążenie całkowite elementu stanowiącego rezerwę Rezerwa ciepła – oznacza obciążenie częściowe elementu stanowiącego rezerwę Rezerwa zimna – oznacza obciążenie zerowe elementu stanowiącego rezerwę 3. Charakterystyka rozmiarów rezerwowania

Krotność rezerwowania κ charakteryzuje rozmiar rezerwowania. Jest to stosunek liczby nr elementów rezerwowych do liczby np elementów rezerwowanych: nr

κ =

np

4. Miara redundancji

Aby móc ocenić zysk wynikający z zastosowanej redundancji układowej trzeba mieć możliwość porównania niezawodności systemu z redundancją z niezawodnością systemu podstawowego (bez elementów rezerwowych).

Wprowadza się pojęcie miary redundancji strukturalnej (zysk z rezerwowania), która to miara jest ściśle związana ze wskaźnikiem niezawodności, jaki jest w danym momencie rozważany:

*

w ( t)

η

=

w( t )

(

w t)

Gdzie,

• w(t) - rozważany wskaźnik niezawodności,

przy czym

• w(t) – jest rozważanym wskaźnikiem dla systemu z jego podstawowymi elementami (bez nadmiarowych),

• w*(t) – jest rozważanym wskaźnikiem dla systemu z uwzględnieniem elementów nadmiarowych.

Jako wskaźnik niezawodności może służyć, np. funkcja niezawodności R( t).

Arkadiusz Wrzosk

2

[e-mail]

Ćwiczenia 2

Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia

Zadanie 1

Rozpatrujemy strukturę niezawodnościową z redundancją układową, pasywną, ogólną złożoną z elementów identycznych, nieodnawialnych o wykładniczym rozkładzie czasu do uszkodzenia z parametrem a. Schemat blokowy struktury niezawodnościowej przedstawiony jest na rysunku.

Elementy 4 i 5 stanowią redundancję pasywną dla elementów 1 i 2.

Zatem

− at

F t

( ) = F t

( ) = 1 − e

i

− at

R t

( ) = R t

( ) = e

i

Wyznaczyć zysk z redundancji dla wskaźników R( t) i {

E T}.

Miara redundancji strukturalnej dla wskaźnika R(t) jest postaci

*

R ( t)

η

( t)

S

=

R ( t )

R ( t)

S

W świetle teorii niezawodności systemów istnienie redundancji układowej zmienia strukturę niezawodnościową w odniesieniu do struktury niezawodnościowej systemu podstawowego (bez redundancji). Jest oczywiste, że struktura niezawodnościowa systemu z redundancją jest nieredukowalna i koherentna, ponieważ elementy rezerwowe nie mogą być pasywne. Wobec tego wszystkie metody badania niezawodności systemów, omawiane do tej pory, nadają się do badania niezawodności systemów zawierających elementy rezerwowe.

Schemat blokowy struktury niezawodnościowej systemu podstawowego

Funkcja niezawodności systemu podstawowego o szeregowej strukturze niezawodnościowej wyraża się następująco

− at

− at

− at

3

− at

R t

( ) = R t

( ) R t

( ) R t

( ) = e

⋅ e

⋅ e

= e

S

1

2

3

Sprawdzamy czy nie popełniliśmy błędu w obliczeniach

R (0)

0

= e = 1

S

Schemat blokowy struktury niezawodnościowej systemu z redundancją W celu ułatwienia obliczeń wyznaczamy podsystemy.

Arkadiusz Wrzosk

3

[e-mail]

Ćwiczenia 2

Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia

*

− at

2

− at

4

− at

3

− at

5

− at

R t

( ) = R t

( ) R t

( ) = e

( e

2

− e

) = e

2

− e

S

3

I

2

− at

2

− at

2

− at

4

− at

F t

( ) = F t

( ) F

t

( ) = 1

( − e

) 1

( − e

) = 1 − e

2

+ e

I

II

III

2

− at

R t

( ) = R t

( ) R t

( ) = e

II

1

2

2

− at

R

t

( ) = R t

( ) R t

( ) = e

III

4

5

Sprawdzamy czy nie popełniliśmy błędu w obliczeniach

R ( )

0 = 2 0

0

e − e = 2 − 1 = 1

S

A więc zysk z redundancji dla wskaźnika R( t) wynosi

*

3

− at

5

− at

R t

( )

e

2

− e

S

−2 at

η

t

( ) =

=

= 2 − e

R( t )

−3 at

R t

( )

e

S

Wartość miary redundancji strukturalnej w chwili t=0 przyjmuje wartość 1 (η

( )

0 = 1).

R( t )

Możemy w prosty sposób sprawdzić, czy nie popełniliśmy błędu w obliczeniach.

Wiadomo, że − ⋅0

0

e λ = e = 1, więc

η

( )

0 = 2

0

− e = 2 −1 = 1

R( t )

Natomiast dla t → ∞ otrzymujemy

η

(∞) = 2 − −∞

e

= 2 − 0 = 2

R( t )

Wniosek. Zatem mamy podwójny wzrost wartości wskaźnika niezawodności R(t) dla dostatecznie dużych t.

Miara redundancji strukturalnej dla wskaźnika E{T} jest postaci E {

* T }

S

η

=

E{ T }

{

E T }

S

Wartość oczekiwana czasu zdatności dla systemu bez redundancji

∞

∞

−3

1

E T

{ } = ∫ R t() dt =∫ e atdt =

s

s

a

3

0

0

Wartość oczekiwana czasu zdatności dla systemu z redundancją

∞

∞

∞

∞

−

−

−

−

−

*

*

3

5

3

5

2

1

10 3

7

E T

{ } = ∫ R t

( ) dt =∫ ( e at

2

− e at ) dt = 2∫ e atdt − ∫ e atdt =

+

=

=

s

S

a

3

a

5

1 a

5

1 a

5

0

0

0

0

A więc zysk z redundancji dla wskaźnika E{T} wynosi

7

*

E { T }

7 3 a

7

S

15

η

=

=

a =

=

E{ T }

{

E T }

1

15 a 1

5

S

3 a

Wniosek. Zatem mamy 1,4 wzrost wartości wskaźnika niezawodności E{T} dla dostatecznie dużych t. Poprawa nie jest już tak wielka, jak w przypadku wskaźnika R(t).

Arkadiusz Wrzosk

4

[e-mail]

Ćwiczenia 2

Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia

Zadanie 2

Rozpatrujemy strukturę niezawodnościową z redundancją układową, pasywną złożoną z elementów identycznych, odnawialnych. Schemat blokowy struktury niezawodnościowej przedstawiony jest na rysunku.

Elementy 4 i 5 stanowią redundancję pasywną dla elementów 1 i 2.

Zatem

− at

F t

( ) = F t

( ) = 1 − e

i

− bt

G t

( ) = G t

( ) = 2 − e

i

Wyznaczyć zysk z redundancji dla wskaźników k ( t) i K .

g

g

Miara redundancji strukturalnej dla wskaźnika k ( t) jest postaci g

*

k ( t)

η

( t)

g S

=

k ( t )

g

k ( t)

g S

Schemat blokowy struktury niezawodnościowej systemu podstawowego

Funkcja k ( t) systemu podstawowego o szeregowej strukturze niezawodnościowej wyraża g S

się następująco

k ( t) = k ( t) k ( t) k ( t)

g

g

S

1

g 2

g 3

b

a

wiadomo, że

−( a + b) t

k

t

( ) =

+

e

gi

a + b

a + b

oznaczmy k ( t) = d ( t)

gi

więc k ( t) = k ( t) k ( t) k ( t) = d ( t) ⋅ d ( t) ⋅ d ( t) 3

= d ( t)

g

g

S

1

g 2

g 3

Schemat blokowy struktury niezawodnościowej systemu z redundancją W celu ułatwienia obliczeń wyznaczamy podsystemy.

Arkadiusz Wrzosk

5

[e-mail]

Ćwiczenia 2

Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia

*

k ( t) = k ( t) k ( t) = d ( t)(2 2

d ( t)

4

− d ( t)) = 2 3

d ( t)

5

− d ( t)

g

g

S

3

gI

1 − k ( t) = 1

( − k

( t)) 1

( − k

( t)) = 1

(

2

− d ( t)) 1

(

2

− d ( t)) = 1 − 2 2

d ( t)

4

+ d ( t)

g I

g II

g III

k

( t) = k ( t) k ( t) 2

= d ( t)

g

g

II

1

g 2

k

( t) = k ( t) k ( t) = d ( t) ⋅ d ( t) 2

= d ( t)

g

g

III

4

g 5

A więc zysk z redundancji dla wskaźnika k ( t) wynosi g

*

2

3

5

k ( t)

g

2 d ( t) − d ( t)

 b

a



S

2

−( a + b)

η

( t) =

=

= 2 − d ( t) = 2 − 

+

t

e



k ( t )

g

3

k ( t)

d ( t)

 a + b

a + b



g S

Wartość miary redundancji strukturalnej w chwili t=0 przyjmuje wartość 1 (η

( )

0 = 1).

k ( t )

g

Możemy w prosty sposób sprawdzić, czy nie popełniliśmy błędu w obliczeniach.

Wiadomo, że − ⋅0

0

e λ = e = 1, więc

2

2

 b

a



 b

a



η

( )

0 = 2

−0

− 

+

e  = 2 − 

+

 = 2 −1 = 1

k ( t )

g

 a + b

a + b



 a + b

a + b 

Natomiast dla t → ∞ otrzymujemy

2

2

 b

a



 b 

η

(∞) = 2 − 

+

−∞

e

 = 2 − 



k ( t )

g

 a + b

a + b



 a + b 

Miara redundancji strukturalnej dla wskaźnika K jest postaci g

K * gS

η

=

K g

K gS

Graniczny współczynnik gotowości dla systemu bez redundancji K

= K K K

g

g

S

1

g 2

g 3

b

wiadomo, że

K

=

gi

a + b

oznaczmy K

= d

gi

3

K

= K K K

= d

g

g

S

1

g 2

g 3

Graniczny współczynnik gotowości dla systemu z redundancją

*

2

4

3

5

K

= K K

= d (2 d − d ) = 2 d − d g

g

S

3

gI

2

2

2

4

1 − K

= 1

( − K

) 1

( − K

) = 1

( − d ) 1

( − d ) = 1 − 2 d + d

g I

g II

g III

2

K

= K K

= d

g

g

II

1

g 2

2

K

= K K

= d ⋅ d = d

g

g

III

4

g 5

A więc zysk z redundancji dla wskaźnika K wynosi g

2

3

5

2 d − d

 b 

2

η

=

= 2 − d = 2 − 



K g

3

d

 a + b 

Arkadiusz Wrzosk

6

[e-mail]

Ćwiczenia 2

Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia

Zysk z redundancji uzależniony jest nie tylko od liczby elementów rezerwowych, ale również

od parametrów a i b rozkładów F(t) i G(t)

a >> b

η

( t) ≈ 2 − 1 = 1

η

( t) ≈ 2 − 0 = 2

k ( t )

k ( t )

g

g

Wniosek. Zysk z redundancji rośnie, im obiekty podstawowe są gorsze.

Zadanie 3

Rozpatrujemy strukturę niezawodnościową z redundancją układową, pasywną złożoną z elementów identycznych, nieodnawialnych o wykładniczym rozkładzie czasu do uszkodzenia z parametrem a. Schemat blokowy struktury niezawodnościowej przedstawiony jest na rysunku.

Elementy 4 i 5 stanowią redundancję pasywną, rozdzielczą dla elementów 1 i 2.

Zatem

− at

F t

( ) = F t

( ) = 1 − e

i

− at

R t

( ) = R t

( ) = e

i

Wyznaczyć zysk z redundancji dla wskaźników R( t) i {

E T}.

Miara redundancji strukturalnej dla wskaźnika R(t) jest postaci

*

R ( t)

η

( t)

S

=

R ( t )

R ( t)

S

Schemat blokowy struktury niezawodnościowej systemu podstawowego

Funkcja niezawodności systemu podstawowego o szeregowej strukturze niezawodnościowej wyraża się następująco

− at

− at

− at

3

− at

R t

( ) = R t

( ) R t

( ) R t

( ) = e

⋅ e

⋅ e

= e

S

1

2

3

Arkadiusz Wrzosk

7

[e-mail]

Ćwiczenia 2

Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia

Schemat blokowy struktury niezawodnościowej systemu z redundancją W celu ułatwienia obliczeń wyznaczamy podsystemy.

*

R ( t) = R ( t) R ( t) R ( t) = − at

−

e

(2 at

e

− −2 at

−

e

)(2 at

e

− −2 at

e

) =

−

(2 2 at

e

− −3 at

−

e

)(2 at

e

− −2 at

e

) =

S

3

I

II

3

− at

4

− at

4

− at

5

− at

3

− at

4

− at

5

− at

= e

4

− 2 e

− 2 e

+ e

= 4 e

− 4 e

+ e

− at

− at

− at

2

− at

F t

( ) = F t

( ) F t

( ) = 1

( − e

) 1

( − e

) = 1 − e

2

+ e

I

1

4

− at

− at

− at

2

− at

F t

( ) = F t

( ) F t

( ) = 1

( − e

) 1

( − e

) = 1 − e

2

+ e

II

2

5

Sprawdzamy czy nie popełniliśmy błędu w obliczeniach

R (0) = 4 0

e − 4 0

0

e + e = 4 − 4 + 1 = 1

S

A więc zysk z redundancji dla wskaźnika R( t) wynosi

*

3

− at

4

− at

5

− at

R t

( )

e

4

− e

4

+ e

S

− at

−5 at

η

t

( ) =

=

= 4 − e

4

+ e

R( t )

−3 at

R t

( )

e

S

Wartość miary redundancji strukturalnej w chwili t=0 przyjmuje wartość 1 (η

( )

0 = 1).

R( t )

Możemy w prosty sposób sprawdzić, czy nie popełniliśmy błędu w obliczeniach.

Wiadomo, że − ⋅0

0

e λ = e = 1, więc

η

( )

0 = 4 − 4 0

0

e + e = 4 − 4 + 1 = 1

R( t )

Natomiast dla t → ∞ otrzymujemy

η

(∞) == 4 − 4 −∞

e

+ −∞

e

= 4 − 0 + 0 = 4

R( t )

Wniosek. Zatem mamy poczwórny wzrost wartości wskaźnika niezawodności R(t) dla dostatecznie dużych t.

Miara redundancji strukturalnej dla wskaźnika E{T} jest postaci E {

* T }

S

η

=

E{ T }

{

E T }

S

Wartość oczekiwana czasu zdatności dla systemu bez redundancji

∞

∞

−3

1

E T

{ } = ∫ R t() dt =∫ e atdt =

s

s

a

3

0

0

Arkadiusz Wrzosk

8

[e-mail]

Ćwiczenia 2

Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia

Wartość oczekiwana czasu zdatności dla systemu z redundancją

∞

∞

∞

∞

∞

*

E { T } =

s

∫ *

R ( t) dt =

S

∫ −3

(4 e at −

−4

4 e at + −5

e at ) dt = 4∫ −3

e atdt − 4∫ −4

e atdt + ∫ −5

e atdt =

0

0

0

0

0

4

4

1

20 + 3 −15

8

=

−

+

=

=

a

3

4 a

a

5

1 a

5

1 a

5

A więc zysk z redundancji dla wskaźnika E{T} wynosi

8

E {

* T }

8 3 a

8

S

15

η

=

=

a =

=

E{ T }

{

E T }

1

15 a 1

5

S

3 a

Wniosek. Zatem mamy 1,6 wzrost wartości wskaźnika niezawodności R(t) dla dostatecznie dużych t. Poprawa nie jest już tak wielka, jak w przypadku wskaźnika R(t).

Porównując wyniki z zadaniem 1 można zauważyć, że rezerwowanie rozdzielcze jest lepsze od rezerwowania ogólnego. Wynika to z faktu, że struktura niezawodnościowa jest lepsza, im więcej zawiera ścieżek zdatności.

Arkadiusz Wrzosk

9

[e-mail]