Ćwiczenia nr 4: Obiekty proste odnawialne z niezerowym czasem odnowy
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
1
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
Elementy teorii niezawodności
Ć
wiczenia nr 4: Obiekty proste odnawialne z
niezerowym czasem odnowy
Jedynymi istotnymi zdarzeniami w
eksploatacji
obiektu
prostego
odnawialnego z niezerowa odnową są
chwile uszkodzeń i chwile odnowień,
które przy niezerowej odnowie, są
chwilami róŜnymi.
Przyjmujemy rozkłady czasów
, :
– rozkład czasów poprawnej pracy wykładniczy z parametrem :
,
,
,
,
;
1
,
,
– rozkład czasów odnowy Erlanga 2 rzędu z parametrem :
,
,
,
,
( )
( )
2
*
1
0
i
1
-
n
0
i
)
(
,
1
!
t
1
!
t
1
(t)
+
=
−
−
=
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
∑
∑
s
s
g
te
e
e
i
e
i
G
t
t
t
i
t
i
β
β
β
β
β
β
β
λ
β
Miary niezawodnościowe
1.
Zmienna losowa
!
!
"
"
"
Zmienne
#
$
mają identyczne rozkłady o dystrybuancie:
{
}
∫
−
=
<
=
Φ
t
r
dx
x
g
x
t
F
t
P
t
0
)
(
)
(
)
(
τ
i gęstości
∫
−
=
Φ
=
t
dx
x
g
x
t
f
t
dt
d
t
0
)
(
)
(
)
(
)
(
ϕ
)
(
)
(
)
(
s
g
s
f
s
∗
∗
∗
⋅
=
ϕ
Ćwiczenia nr 4: Obiekty proste odnawialne z niezerowym czasem odnowy
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
2
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
2.
Czas do r-tego uszkodzenia
"
′
$
′
%
&
#
'
( #
$
- zmienna losowa dla której:
Dystrybuanta:
)
"
*
+)
"
,
Gęstość :
-
"
*
+-
"
,
Transformata Laplace’a funkcji
./
:
0 1
2
1
31
∞
∞
-
"
4
·
6
"
)
"
-
"
4
·
6
"
Dla
7 ∞ zmienna losowa
8
$
dąŜy do rozkładu normalnego
(
)
(
)
(
)
r
,
r
2
2
2
1
2
1
⋅
+
+
⋅
σ
σ
θ
θ
N
3.
Czas do r-tej odnowy
"
′′
$
′′
#
&
#
'
( #
$
- zmienna losowa dla której:
Dystrybuanta:
9
"
*
+9
"
,
Gęstość :
:
"
*
+:
"
,
9
"
:
"
4
·
6
"
:
"
4:
6
"
4
·
6
"
Dla
7 ∞ zmienna losowa
88
$
dąŜy do rozkładu normalnego
(
)
(
)
(
)
r
,
r
2
2
2
1
2
1
⋅
+
+
⋅
σ
σ
θ
θ
N
•
Zadanie 1: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe 7-me uszkodzenie wystąpi po chwili
&
(
)
=
+
+
+
=
=
Ψ
Ψ
−
=
≥
6
2
6
*
*
*
*
1
7
1
'
7
1
)
(
)
(
)
(
1
)
(
),
(
1
)
(
7
s
s
s
s
s
g
s
f
s
f
s
s
t
t
t
P
β
β
λ
λ
λ
λ
12
7
1
+
+
=
s
s
s
β
β
λ
λ
•
Zadanie 2: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe do chwili
'
będzie co najmniej 5 napraw
(
)
4
2
5
*
*
*
2
5
2
"
5
1
)
(
)
(
1
)
(
),
(
)
(
5
+
+
=
=
Φ
Φ
=
<
s
s
s
s
g
s
f
s
s
t
t
t
P
β
β
λ
λ
4.
Procesy stochastyczne
;
, ;
- liczba uszkodzeń, odnowień do chwili t
( )
{
}
)
(
)
(
1
r
1
t
t
r
t
N
P
r
+
Ψ
−
Ψ
=
=
,
( )
{
}
)
(
)
(
1
r
2
t
t
r
t
N
P
r
+
Φ
−
Φ
=
=
Dla
7 ∞ procesy <
&
, <
'
dąŜą do
(
)
(
)
t
,
2
3
2
1
2
2
2
1
2
1
+
⋅
+
+
θ
θ
σ
σ
θ
θ
t
N
•
Zadanie 3: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe do chwili
=
będzie dokładnie 8 uszkodzeń
14
8
7
2
*
3
9
3
8
3
1
1
1
)
(
),
(
)
(
)
8
)
(
(
8
+
+
=
+
+
+
=
Ψ
Ψ
−
Ψ
=
=
s
s
s
s
s
s
s
s
t
t
t
N
P
β
β
λ
λ
β
β
λ
λ
λ
λ
16
9
8
2
*
1
1
)
(
9
+
+
=
+
+
+
=
Ψ
s
s
s
s
s
s
s
s
β
β
λ
λ
β
β
λ
λ
λ
λ
Ćwiczenia nr 4: Obiekty proste odnawialne z niezerowym czasem odnowy
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
3
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
5.
Funkcja odnowy
>
- oczekiwana liczba uszkodzeń do chwili t
>
?+;
,
(s)
)
(
1
(s)
1
)
(
1
∗
∗
∗
∗
⋅
−
⋅
=
g
s
f
f
s
s
H
(s)
)
(
1
(s)
)
(
1
∗
∗
∗
∗
⋅
−
=
g
s
f
f
s
h
6.
Funkcja odnowy
>
- oczekiwana liczba odnowień do chwili t
>
?+;
,
(s)
)
(
1
(s)
(s)
1
)
(
2
∗
∗
∗
∗
∗
⋅
−
⋅
⋅
=
g
s
f
g
f
s
s
H
(s)
)
(
1
(s)
(s)
)
(
2
∗
∗
∗
∗
∗
⋅
−
⋅
=
g
s
f
g
f
s
h
•
Zadanie 4: Wyznaczyć oczekiwaną liczbę napraw do chwili
@
2
2
*
*
*
*
*
2
4
2
1
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
?,
)
(
+
+
−
+
+
=
−
=
=
s
s
s
s
s
s
g
s
f
s
g
s
f
s
s
H
t
H
β
β
λ
λ
β
β
λ
λ
•
Zadanie 5: Wyznaczyć oczekiwaną liczbę uszkodzeń w przedziale czasu
A
,
B
?
)
(
)
(
5
1
6
1
=
−
t
H
t
H
Jak w poprzednim punkcie.
2
*
*
*
*
1
5
1
6
1
1
1
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
?,
)
(
)
(
+
+
−
+
=
−
=
=
−
s
s
s
s
s
g
s
f
s
f
s
s
H
t
H
t
H
β
β
λ
λ
λ
λ
7.
Miary graniczne dla
7 ∞
lim
7G
H
&
1
I
&
I
'
; KLM KNżPQR : H
&
I
&
I
'
Tw. Blackwella
STU
7G
V> !
>
W
!
I
&
I
'
•
Zadanie 6: Wyznaczyć oczekiwaną graniczną liczbę uszkodzeń w przedziale
X
,
Y
M
Y
X
,
Θ
Z%
2
λ
\. Z\LM^.M
(
)
(
)
7
8
7
8
2
1
7
1
8
1
2
2
1
)
(
)
(
lim
7
t
t
t
t
a
t
H
t
H
t
−
+
=
+
−
=
Θ
+
Θ
=
−
→∞
λ
β
λβ
β
λ
•
Zadanie 7: Wyznaczyć oczekiwaną graniczną liczbę napraw do chwili
_
2
1
2
)
(
lim
Θ
+
Θ
=
→∞
t
t
H
t
9
9
9
2
2
1
)
(
t
t
t
H
λ
β
λβ
β
λ
+
=
+
=
Ćwiczenia nr 4: Obiekty proste odnawialne z niezerowym czasem odnowy
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
4
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
•
Zadanie 8: Wyznaczyć rozkład granicznej liczby uszkodzeń w chwili
&`
),
'
,
(
)
(
1
σ
m
N
t
N
t
→∞
→
gdzie
Θ
=
t
m
,
2
3
'
Θ
=
t
σ
σ
, pamiętamy, Ŝe dla rozkładu Erlanga
σ
√'
λ
zatem N
1
(t
10
) dąŜy do rozkładu
(
)
(
)
+
+
+
=
Θ
+
Θ
+
Θ
+
Θ
2
3
10
2
2
10
2
3
2
1
10
2
2
2
1
2
1
10
2
1
2
1
,
2
1
,
β
λ
β
λ
β
λ
σ
σ
t
t
N
t
t
N
•
Zadanie 9: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, Ŝe do chwili
&&
będzie co najmniej 50
uszkodzeń
)
(
)
(
)
(
11
11
50
11
'
50
t
t
t
t
P
normalny
F
≅
Ψ
=
<
),
'
,
(
'
50
σ
m
N
t
t
∞
→
→
(
)
(
)
(
)
+
+
=
+
Θ
+
Θ
=
50
2
1
),
2
1
(
50
50
),
(
50
'
,
2
2
2
2
2
1
2
1
β
λ
β
λ
σ
σ
σ
N
N
m
N
•
Zadanie 10: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, Ŝe do chwili
&'
będzie mniej niŜ 100 napraw
)
(
F
1
)
(
1
)
(
12
normalny
12
100
12
"
50
t
t
t
t
P
−
≅
Φ
−
=
≥
),
'
,
(
"
50
σ
m
N
t
t
∞
→
→
(
)
(
)
(
)
+
+
=
+
Θ
+
Θ
=
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
10
),
2
1
(
100
100
),
(
100
'
,
β
λ
β
λ
σ
σ
σ
N
N
m
N
8.
Prawdopodobieństwo
b , !
braku uszkodzenia w przedziale , !
b , !
c !
0V ! 1
Wd
1
31
e
Prawdopodobieństwo graniczne braku uszkodzenia w przedziale
, #
(z Tw. Smitha)
[
]
∫
∞
∞
→
−
+
=
+
=
τ
θ
θ
τ
τ
dy
y
F
t
t
P
P
t
)
(
1
1
)
,
(
lim
)
(
2
1
•
Zadanie 11: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe w przedziale (t
13
,t
14
) nie będzie uszkodzeń
(
)
[
]
∫
−
−
+
−
=
13
0
2
14
14
13
14
)
(
)
(
1
)
(
1
,
t
d
h
t
F
t
F
t
t
P
τ
τ
τ
(
)
∫
∫
−
−
−
−
−
+
=
+
=
13
14
14
13
14
14
0
2
0
2
)
(
13
14
)
(
)
(
,
t
t
t
t
t
t
d
h
e
e
e
d
h
e
e
t
t
P
τ
τ
τ
τ
λτ
λ
λ
τ
λ
λ
gdzie h
2
(t) wyznaczamy jako transformatę odwrotną dla formuły
2
2
*
*
*
*
*
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
+
+
−
+
+
=
−
=
s
s
s
s
s
g
s
f
s
g
s
f
s
h
β
β
λ
λ
β
β
λ
λ
Ćwiczenia nr 4: Obiekty proste odnawialne z niezerowym czasem odnowy
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
5
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
•
Zadanie 12: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, Ŝe w przedziale czasu (t
15
,t
16
) nie będzie
uszkodzeń
ze wzoru
( )
[
]
∫
∞
−
Θ
+
Θ
=
τ
τ
dt
t
F
P
)
(
1
1
2
1
(
)
)
(
15
16
15
16
15
16
15
16
2
2
2
1
1
t
t
t
t
t
t
t
t
e
dt
e
dt
e
t
t
P
−
−
∞
−
−
∞
−
−
+
+
+
=
+
=
−
∫
∫
λ
λ
λ
λ
β
λβ
λ
β
λβ
β
λ
9.
Współczynnik gotowości
f
- prawdopodobieństwo poprawnej pracy w chwili t
[
]
∫
−
−
+
−
=
t
g
du
u
t
F
u
h
t
F
t
k
0
2
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
Przekształcenie Laplace’a:
[
][
]
(s)
)
(
1
(s)
1
1
)
(
1
)
(
1
1
)
(
2
∗
∗
∗
∗
∗
∗
⋅
−
−
⋅
=
−
−
=
g
s
f
f
s
s
h
s
f
s
s
k
g
lub
s
s
H
s
H
s
k
g
1
)
(
)
(
)
(
1
2
+
−
=
∗
∗
∗
Dla dużych t:
[
]
∫
∞
∞
→
−
⋅
+
=
=
0
2
1
)
(
1
1
)
(
lim
du
u
F
t
k
K
g
t
g
θ
θ
[
]
1
0
)
(
1
θ
=
−
∫
∞
du
u
F
2
1
1
θ
θ
θ
+
=
g
K
•
Zadanie 13: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe w chwili
&X
obiekt będzie w stanie zdatności
2
*
*
*
*
17
1
1
1
)
(
)
(
1
)
(
1
1
)
(
?,
)
(
+
+
−
+
−
=
−
−
=
=
s
s
s
s
s
g
s
f
s
f
s
s
k
t
k
g
g
β
β
λ
λ
λ
λ
•
Zadanie 14: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo zdatności obiektu
λ
β
β
β
λ
λ
2
2
1
1
2
1
1
+
=
+
=
Θ
+
Θ
Θ
=
g
K