Ćwiczenia nr 3: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
1
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
Elementy teorii niezawodności
Ć
wiczenia nr 3: Obiekty proste odnawialne z
zerowym czasem odnowy
Jedynymi
istotnymi
zdarzeniami
w
eksploatacji obiektu prostego odnawialnego
z zerowa odnową są chwile uszkodzeń, które
przy zerowej odnowie, są jednocześnie
chwilami odnów.
Przyjmujemy rozkład czasu T do uszkodzenia dla strumienia ogólnego:
– rozkład gamma z parametrami a, b
a
t
bx
a
a
t
bx
a
a
s
b
b
s
f
dx
e
x
b
a
dx
e
x
b
a
t
F
+
=
Γ
=
Γ
=
∫
∫
−
−
−
−
)
(
,
)
(
1
)
(
1
)
(
*
1
0
1
0
1
1
, … -rozkład Erlanga 2 rzędu z parametrem
( )
( )
2
*
0
)
(
,
1
!
1
!
1
+
=
−
−
=
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
∑
∑
s
s
f
te
e
e
i
e
i
F
t
t
t
i
t
i
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
t
t
(t)
1
i
1
-
n
0
i
Strumienie odnów
Proste
Wszystkie zmienne losowe
,
, … mają identyczne
rozkłady określone:
•
dystrybuantą
,
•
gęstością
,
•
transformatą Laplace’a
,
•
wartością oczekiwaną
,
•
odchyleniem standardowym
.
Ogólne
Wszystkie zmienne losowe oprócz
mają identyczne
rozkłady jak w strumieniu prostym,
ma inny rozkład
określony:
•
dystrybuantą
,
•
gęstością
,
•
transformatą Laplace’a
,
•
wartością oczekiwaną
,
•
odchyleniem standardowym
.
Ćwiczenia nr 3: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
2
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
Miary niezawodnościowe
1.
Czas do r-tej odnowy
- zmienna losowa dla której:
Dystrybuanta:
Gęstość :
!
!
Dla strumienia prostego
!
"
#
!
"
#
Transformata Laplace’a funkcji
% &:
'
( ' )*
)
+)
∞
∞
Dla strumienia ogólnego
!
"
#
!
"
#
Dla
, - ∞ zmienna losowa
dąŜy do rozkładu normalnego
."/ · 1, 2 · √/#
•
Zadanie 1: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe 7-me uszkodzenie wystąpi po chwili
,
(
)
12
6
2
6
*
*
*
1
7
1
7
1
1
)
(
)
(
1
)
(
),
(
1
)
(
1
7
+
+
=
+
+
=
=
−
=
≥
s
s
b
b
s
s
s
b
b
s
s
f
s
f
s
s
K
t
K
t
S
P
a
a
λ
λ
λ
λ
•
Zadanie 2: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe do chwili
,
będzie co najmniej 5 napraw
(
)
8
4
2
4
*
*
*
2
5
2
5
1
1
)
(
)
(
1
)
(
),
(
)
(
1
5
+
+
=
+
+
=
=
=
<
s
s
b
b
s
s
s
b
b
s
s
f
s
f
s
s
K
t
K
t
S
P
a
a
λ
λ
λ
λ
2.
Proces stochastyczny
4
- liczba odnowień do chwili t
5 . , 6 / 5
7 ,
5 . , / 8
, 9 8
:
,
5 . , 6 / 5
7 , 1 9 8
,
5 . , 7 / 5
:
6 , 8
:
,
5 . , / 5 . , 7 / 5 . , 6 / 1
Dla
, - ∞ proces . , dąŜy do
. <
,
1 ,
"2 · √,#
1
=
•
Zadanie 3: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe do chwili
,
będzie dokładnie 8 uszkodzeń
),
(
)
(
)
8
)
(
(
3
9
3
8
3
t
K
t
K
t
N
P
−
=
=
14
7
2
*
1
1
)
(
8
+
+
=
+
+
=
s
s
b
b
s
s
s
b
b
s
s
K
a
a
λ
λ
λ
λ
16
8
2
*
1
1
)
(
9
+
+
=
+
+
=
s
s
b
b
s
s
s
b
b
s
s
K
a
a
λ
λ
λ
λ
Ćwiczenia nr 3: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
3
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
3.
Funkcja odnowy
>
- oczekiwana liczba odnowień do chwili t
>
? 4
Równanie odnowy:
>
>
·
Dla strumienia prostego
@
A
1
A
B
A
1 9 B
A
Dla strumienia ogólnego
@
A
1
A
B
A
1 9 B
A
4.
Gęstość odnowy
C
D ,
E@ ,
E,
Dla strumienia prostego
@
A
B
A
1 9 B
A
Dla strumienia ogólnego
@
A
B
A
1 9 B
A
•
Zadanie 4: Wyznaczyć oczekiwaną liczbę napraw do chwili
,
F
2
*
*
*
4
1
1
)
(
1
)
(
1
)
(
?,
)
(
1
+
−
+
=
−
=
=
s
s
b
b
s
s
f
s
f
s
s
H
t
H
a
λ
λ
•
Zadanie 5: Wyznaczyć oczekiwaną liczbę uszkodzeń w przedziale czasu
,
G
, ,
H
@ ,
H
9 @ ,
G
?
Jak w poprzednim punkcie.
5.
Miary graniczne dla
- ∞
lim
N-O
@ ,
,
1
1 ; EQR ESżUVD ,: @ ,
,
1
Tw. Blackwella
XYZ
-O
[>
\ 9 >
]
\
•
Zadanie 6: Wyznaczyć oczekiwaną graniczną liczbę uszkodzeń w przedziale
,
^
, ,
_
(
)
Θ
=
−
∞
→
a
t
H
t
H
t
)
(
)
(
lim
7
8
7
R ,
_
9 ,
^
,
Θ
`
λ
/. `/QRb%R
(
)
)
(
2
2
)
(
)
(
lim
7
8
7
8
7
8
7
t
t
t
t
t
H
t
H
t
−
=
−
=
−
∞
→
λ
λ
•
Zadanie 7: Wyznaczyć oczekiwaną graniczną liczbę napraw do chwili
,
c
Θ
=
→∞
t
t
H
t
)
(
lim
@ ,
c
2 ,
c
Ćwiczenia nr 3: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
4
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
•
Zadanie 8: Wyznaczyć rozkład granicznej liczby uszkodzeń w chwili
,
e
),
'
,
(
)
(
σ
m
N
t
N
t
→∞
→
gdzie
Θ
=
t
m
,
2
3
'
Θ
=
t
σ
σ
, pamiętamy, Ŝe dla rozkładu Erlanga
σ
√
λ
zatem N(t
10
) dąŜy do rozkładu
=
=
Θ
Θ
2
,
2
2
2
,
2
,
10
10
10
2
3
10
2
3
10
10
t
t
N
t
t
N
t
t
N
λ
λ
λ
λ
λ
σ
•
Zadanie 9: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, Ŝe do chwili
,
będzie co najmniej 50
uszkodzeń
)
(
)
(
)
(
11
11
50
11
50
t
t
K
t
S
P
normalny
F
≅
=
<
Ge N-O
fgh ."50 · 1, 2 · √50# ,
(
)
(
)
=
Θ
=
λ
λ
σ
σ
100
,
100
50
,
50
'
,
N
N
m
N
•
Zadanie 10: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, Ŝe do chwili
,
będzie mniej niŜ 100 napraw
)
(
1
)
(
1
)
(
12
12
100
12
100
t
t
K
t
S
P
normalny
F
−
≅
−
=
≥
ee N-O
fgh ."100 · 1, 2 · √100#
(
)
(
)
=
Θ
=
λ
λ
σ
σ
2
10
,
200
100
,
100
'
,
N
N
m
N
6.
Prawdopodobieństwo
k
,
\braku uszkodzenia w przedziale
,
\
k
,
\ 9
\ ([ 9
\ 9 )]C )+)
l
Tw. Smitha
XYZ
-O
( m n 9 oC )+)
l
( ' p+p
O
q
Prawdopodobieństwo graniczne braku uszkodzenia w przedziale
,, , r
5 r XYZ
-O
5 ,, , r
([1 9 s U] +t
O
\
•
Zadanie 11: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe w przedziale (t
13
,t
14
) nie będzie uszkodzeń
(
)
[
]
∫
−
−
+
−
=
13
0
14
14
1
14
13
)
(
)
(
1
)
(
1
,
t
d
h
t
F
t
F
t
t
P
τ
τ
τ
h(t) wyznaczamy z formuły
2
*
1
)
(
+
−
+
=
s
s
b
b
s
h
a
λ
λ
, zatem h(t)=
λ
, więc
(
)
[
]
∫
∫
−
−
−
+
+
Γ
−
=
−
−
−
−
13
)
14
(
14
14
0
14
)
(
0
1
13
14
)
(
)
(
)
(
1
1
,
t
t
t
bx
a
a
d
h
e
t
e
dx
e
x
b
a
t
t
P
t
τ
τ
τ
λ
τ
λ
τ
λ
Ćwiczenia nr 3: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
5
Michał Kapałka
mkapalka@wat.edu.pl
•
Zadanie 12: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, Ŝe w przedziale czasu (t
15
,t
16
) nie będzie
uszkodzeń
ze wzoru
k \
([1 9 s ,] +
O
\
mamy
(
)
∫
∫
∫
∞
−
−
∞
−
−
∞
−
−
−
+
=
+
=
−
15
16
15
16
15
16
2
2
1
2
15
16
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
dt
te
dt
e
dt
te
e
t
t
P
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
θ
Uwaga:
( &
u
v
wx
E&
1
R &
u
v
wx
9
b
R ( &
u
v
wx
E&
7.
Pozostały czas zdatności
y
, jeśli od ostatniej odnowy minął czas t
5 z
N
7 r 5 ,, , r
y
k
,
\ 9
\ ([ 9
\ 9 )]C )+)
l
Dla duŜych t:
y
([1 9 s U] +t
O
\
` z ( 5 rEr
1
2
2
21
O
e