A. Zaborski, Belki na podło u spr ystym - metoda Bleicha
Metoda Bleicha
Równanie ró niczkowe ugi belki na podło u spr ystym wymaga wyznaczenia, w ka dym
przedziale charakterystycznym dla q(x), całki szczególnej oraz 4 stałych. Ju dla paru
przedziałów zadanie staje si rachunkowo uci liwe.
Metoda Bleicha polega na zast pieniu belki o sko czonej długo ci belk niesko czenie dług ,
obci on identycznie w obszarze belki sko czonej, a poza tym obszarem tak obci on , aby
uzyska zgodno statycznych warunków brzegowych z belk rzeczywist .
Zgodno statycznych warunków brzegowych zapewniamy przykładaj c z ka dej strony
belki po dwie siły w takiej odległo ci, aby upro ci obliczenia poprzez zerowanie si w
przekrojach skrajnych niektórych funkcji wpływu.
π/4
R
4
R
1
R
2
R
3
π/4 π/4
ξ
π/4
Wykorzystuj c zasad superpozycji oraz funkcje wpływu, zapisujemy:
równanie momentów zginaj cych:
(
)
( )
( )
(
)
m
w
j
j
j
j
i
i
i
q
M
P
M
ξ
η
ξ
η
α
ξ
ξ
ξ
ξ
η
ξ
ξ
η
α
ξ
4
4
2
3
2
4
1
2
1
4
1
)
(
−
+
−
−
−
=
równanie sił poprzecznych:
(
)
( )
( )
(
)
w
m
j
i
j
i
j
j
i
q
M
P
Q
ξ
η
ξ
η
α
ξ
ξ
η
α
ξ
ξ
ξ
ξ
η
ξ
2
2
1
3
4
2
2
1
)
(
−
±
−
−
−
−
±
=
równanie odporu podło a:
(
)
( )
( )
(
)
w
m
j
j
j
j
i
i
i
q
M
P
r
ξ
η
ξ
η
ξ
ξ
ξ
ξ
η
α
ξ
ξ
η
α
ξ
3
3
4
2
1
2
2
)
(
−
+
−
−
−
=
gdzie P
i
skierowana w dół jest dodatnia a dodatni M
j
jest skierowany zgodnie ze
wskazówkami zegara. Górne znaki obowi zuj dla obci enia znajduj cego si z prawej
strony przekroju
ξ
(tzn.
ξ
i
>
ξ
).
ξ
w
(
ξ
m
) - wi ksza (mniejsza) z odległo ci od przekroju
ξ
do
pocz tku (ko ca) obci enia ci głego. Wszystkie funkcje
η
maj argumenty dodatnie.
Z warunków brzegowych na ko cach belki wyznaczamy R
1
, ..., R
4
. Je li długo belki
(bezwymiarowa) jest wi ksza od 5, to mo na przyj , e oddziaływanie sił z jednej strony
belki na jej drugim ko cu jest pomijalnie małe i układ równa rozprz ga si (mo emy
powiedzie , e belka jest „długa”, tzn. obci enie na jednym jej ko cu nie ma ju wpływu na
rozwi zanie na przeciwległym ko cu).
Jak wida , o tym ,czy belka jest „długa” czy „krótka” decyduje nie tylko rzeczywista jej
długo , lecz po rednio i wzajemny stosunek sztywno ci zginania belki i współczynnika
odporu podło a. Belka o du ej sztywno ci jest „krótsza” ni o mniejszej sztywno ci. Belka
jest te „krótsza” je li współczynnik odporu jest mniejszy.
Przykład obliczeniowy
R
4
R
3
0.3 MNm
R
1
R
2
1 MN
0.08 MN/m
9 m
9 m
