A. Zaborski, Belki na podło u spr ystym - metoda Bleicha

Metoda Bleicha

Równanie ró niczkowe ugi belki na podło u spr ystym wymaga wyznaczenia, w ka dym

przedziale charakterystycznym dla q(x), całki szczególnej oraz 4 stałych. Ju dla paru

przedziałów zadanie staje si rachunkowo uci liwe.

Metoda Bleicha polega na zast pieniu belki o sko czonej długo ci belk niesko czenie dług ,

obci on identycznie w obszarze belki sko czonej, a poza tym obszarem tak obci on , aby

uzyska zgodno statycznych warunków brzegowych z belk rzeczywist .

Zgodno statycznych warunków brzegowych zapewniamy przykładaj c z ka dej strony

belki po dwie siły w takiej odległo ci, aby upro ci obliczenia poprzez zerowanie si w

przekrojach skrajnych niektórych funkcji wpływu.

π/4

R

4

R

1

R

2

R

3

π/4 π/4

ξ

π/4

Wykorzystuj c zasad superpozycji oraz funkcje wpływu, zapisujemy:

równanie momentów zginaj cych:

(

)

( )

( )

(

)

m

w

j

j

j

j

i

i

i

q

M

P

M

ξ

η

ξ

η

α

ξ

ξ

ξ

ξ

η

ξ

ξ

η

α

ξ

4

4

2

3

2

4

1

2

1

4

1

)

(

−

+

−

−

−

=

równanie sił poprzecznych:

(

)

( )

( )

(

)

w

m

j

i

j

i

j

j

i

q

M

P

Q

ξ

η

ξ

η

α

ξ

ξ

η

α

ξ

ξ

ξ

ξ

η

ξ

2

2

1

3

4

2

2

1

)

(

−

±

−

−

−

−

±

=

równanie odporu podło a:

(

)

( )

( )

(

)

w

m

j

j

j

j

i

i

i

q

M

P

r

ξ

η

ξ

η

ξ

ξ

ξ

ξ

η

α

ξ

ξ

η

α

ξ

3

3

4

2

1

2

2

)

(

−

+

−

−

−

=

gdzie P

i

skierowana w dół jest dodatnia a dodatni M

j

jest skierowany zgodnie ze

wskazówkami zegara. Górne znaki obowi zuj dla obci enia znajduj cego si z prawej
strony przekroju

ξ

(tzn.

ξ

i

>

ξ

).

ξ

w

(

ξ

m

) - wi ksza (mniejsza) z odległo ci od przekroju

ξ

do

pocz tku (ko ca) obci enia ci głego. Wszystkie funkcje

η

maj argumenty dodatnie.

Z warunków brzegowych na ko cach belki wyznaczamy R

1

, ..., R

4

. Je li długo belki

(bezwymiarowa) jest wi ksza od 5, to mo na przyj , e oddziaływanie sił z jednej strony

belki na jej drugim ko cu jest pomijalnie małe i układ równa rozprz ga si (mo emy

powiedzie , e belka jest „długa”, tzn. obci enie na jednym jej ko cu nie ma ju wpływu na

rozwi zanie na przeciwległym ko cu).

Jak wida , o tym ,czy belka jest „długa” czy „krótka” decyduje nie tylko rzeczywista jej

długo , lecz po rednio i wzajemny stosunek sztywno ci zginania belki i współczynnika

odporu podło a. Belka o du ej sztywno ci jest „krótsza” ni o mniejszej sztywno ci. Belka

jest te „krótsza” je li współczynnik odporu jest mniejszy.

Przykład obliczeniowy

R

4

R

3

0.3 MNm

R

1

R

2

1 MN

0.08 MN/m

9 m

9 m

A. Zaborski, Belki na podło u spr ystym - metoda Bleicha

b

× h = 1.6 × 0.8 m, E = 24 GPa, c = 60 MPa/m.

Obliczenia:

Pa

10

96

,

348

.

0

4

6

m

1

4

⋅

=

=

=

=

bc

k

EJ

bc

α

statyczne warunki brzegowe (zgodno ci):
M

A

= M = 0.3 MNm, dla

ξ

= 0

+

, (alternatywnie M

A

= 0 dla

ξ

= 0

-

)

Q

A

= -P = -1 MN, dla

ξ

= 0

+

, (alternatywnie Q

A

= 0 dla

ξ

= 0

-

)

M

B

= 0 dla

ξ

= 7.882,

Q

B

= 0 dla

ξ

= 7.882.

Z rozwi zania układu równa otrzymujemy: R

1

= 3.806 MN, R

2

= 2.762 MN, R

3

= 0.384 MN,

R

4

= 0.005 MN. Wykresy ugi , momentów zginaj cych oraz sił poprzecznych przedstawiaj

poni sza tabela i wykresy.

x, m

0.0

3.0

6.0

9.0

12.0

15.0

18.0

w, mm

6.45

1.35

-0.24

0.133

0.70

0.88

0.90

M, MNm

0.3

-0.75

-0.35

-0.014

0.08

0.026

0.0

Q, MN

-1.0

0.05

0.14

0.10

-0.01

-0.02

0.0

w

M

Q

Wykres odporu podło a jest proporcjonalny do wykresu ugi . Belka musi pozostawa w

równowadze, tzn. e obci enie zewn trzne musi by równowa one odporem podło a.