FUNDAMENTOWANIE II, KB+TK (W.Brząkała): Przykład do wykładu 2

Pal umieszczony w ośrodku sprężys-
tym jest modelowany za pomocą belki
na podłożu Winklera. Zakładamy, że
parametr C = const

1

. Jeżeli pal jest

„bardzo długi” (L > 3

÷

4

⋅

L

W

), to można

przyjąć, że belka jest jednostronnie
nieskończona, tj. 0

≤

ξ

≤

+

∞

.

Należy rozwiązać tę belkę.

Rozwiązanie
Aby rozwiązać belkę wystarczy znaleźć linię ugięcia y(

ξ

) we współrzędnych bezwymiarowych

ξ

= x/L

W

≥

0, ponieważ wynikają stąd wszystkie poszukiwane wielkości statyczne:

r(x) = B

⋅

C

⋅

y(x)

M(x) = -EI

⋅

d

2

y(x)/dx

2

= -EI

⋅

d

2

y(

ξ

)/d

ξ

2

/ (L

W

)

2

Q(x) = -EI

⋅

d

3

y(x)/dx

3

= -EI

⋅

d

3

y(

ξ

)/d

ξ

3

/ (L

W

)

3

.

Należy przyjąć następujące warunki brzegowe dla

ξ

= 0 : M(0+0) = 0, Q(0+0) = -H.

Dla

ξ

→

∞

wszystkie wielkości statyczne muszą być zerowe.

I sposób – na podstawie rozwiązania ogólnego dla nieobciążonej części belki:
Rozwiązanie musi być postaci y(

ξ

) = C

1

⋅

e

-

ξ

⋅

cos

ξ

+ C

2

⋅

e

-

ξ

⋅

sin

ξ

+ C

3

⋅

e

+

ξ

⋅

cos

ξ

+ C

4

⋅

e

+

ξ

⋅

sin

ξ

.

Ze względu na warunek dla

ξ

→

∞

dla belki półnieskończonej jest C

3

= 0 oraz C

4

= 0.

Warunek M(0+0) = 0 daje: d

2

y(

ξ

)/d

ξ

2

= C

1

⋅

2

⋅

e

-

ξ

⋅

sin

ξ

- C

2

⋅

2

⋅

e

-

ξ

⋅

cos

ξ

= 0 dla

ξ

= 0, czyli C

2

= 0

Warunek Q(0+0) = -H daje: d

3

y(

ξ

)/d

ξ

3

= C

1

⋅

(-2)

⋅

e

-

ξ

⋅

sin

ξ

+ C

1

⋅

2

⋅

e

-

ξ

⋅

cos

ξ

= H

⋅

(L

W

)

3

/EI dla

ξ

= 0

Stąd C

1

= H

⋅

(L

W

)

3

/(2

⋅

EI) = 2

⋅⋅⋅⋅

H/(B

⋅⋅⋅⋅

C

⋅⋅⋅⋅

L

W

).

W szczególności, poziome przemieszczenie głowicy pala wynosi y(0) = C

1

= 2

⋅

H/(B

⋅

C

⋅

L

W

).

II sposób – tradycyjna metoda Bleicha:
Dla belki półnieskończonej potrzebne są dwie siły fikcyjne:

siła T

1

w odległości

ξ

1

=

π

/4 na lewo od siły H, która nie zmienia M(0), ale koryguje Q(0),

siła T

2

w odległości

ξ

2

=

π

/2 na lewo od siły H, która nie zmienia Q(0), ale koryguje M(0).

Łączne działanie siły rzeczywistej H oraz sił fikcyjnych T

1

, T

2

daje dwa równania dla przekroju

ξ

= 0

belki dwustronnie nieskończonej:
M(0) = -H

⋅

L

W

/4

⋅

e

-0

(sin0-cos0) – T

1

⋅

L

W

/4

⋅

e

-

π

/4

(sin

π

/4-cos

π

/4) – T

2

⋅

L

W

/4

⋅

e

-

π

/2

(sin

π

/2-cos

π

/2) = 0,

więc T

2

= H

⋅⋅⋅⋅

e

+

ππππ

/2

Q(0+0) = -H/2

⋅

e

-0

cos0 – T

1

/2

⋅

e

-

π

/4

cos

π

/4 – T

2

/2

⋅

e

-

π

/2

cos

π

/2 = -H,

więc T

1

= H

⋅⋅⋅⋅√√√√

2

⋅⋅⋅⋅

e

+

ππππ

/4

.

Stąd: y(

ξ

) = H/(2BCL

W

)

⋅

e

-

ξ

⋅

(cos

ξ

+ sin

ξ

) + H

⋅√

2

⋅

e

+

π

/4

/(2BCL

W

)

⋅

e

-(

ξ

+

π

/4)

⋅

[cos(

ξ

+

π

/4)

+ sin(

ξ

+

π

/4)] +

+ H

⋅

e

+

π

/2

/(2BCL

W

)

⋅

e

-(

ξ

+

π

/2)

⋅

[cos(

ξ

+

π

/2)

+ sin(

ξ

+

π

/2)] = ... = 2

⋅⋅⋅⋅

H/(B

⋅⋅⋅⋅

C

⋅⋅⋅⋅

L

W

)

⋅⋅⋅⋅

e

-

ξξξξ

⋅⋅⋅⋅

cos

ξξξξ

,

jeśli uwzględnić, że cos(

ξ

+

π

/4)

+ sin(

ξ

+

π

/4) =

√

2

⋅

cos

ξ

oraz cos(

ξ

+

π

/2)

+ sin(

ξ

+

π

/2) = -sin

ξ

+ cos

ξ

.

III sposób – odmiana metody Bleicha (dla spostrzegawczych)
Siła H daje w przekroju

ξ

= 0

±

0 belki dwustronnie nieskończonej skok wartości siły poprzecznej

Q(0-0) = H/2, Q(0+0) = -H/2, tj. dokładnie 2 razy za mały. Czyli zamiast siły H należy wziąć w tym
przekroju siłę P = 2H, co da Q(0+0) = -H. Teraz wystarczy skorygować M(0) do zera – nie narusza-
jąc już spełnionego warunku na siłę Q. Można to osiągnąć za pomocą jednej siły fikcyjnej T umie-
szczonej w odległości

ξ

=

π

/2 na lewo od siły P. Z warunku na M(0) otrzymuje się T = 2

⋅⋅⋅⋅

H

⋅⋅⋅⋅

e

+

ππππ

/2

.

Stąd: y(

ξ

) = 2H/(2BCL

W

)

⋅

e

-

ξ

⋅

(cos

ξ

+ sin

ξ

) + 2H

⋅

e

+

π

/2

/(2BCL

W

)

⋅

e

-(

ξ

+

π

/2)

⋅

(cos(

ξ

+

π

/2)

+ sin(

ξ

+

π

/2)) =

= 2

⋅⋅⋅⋅

H/(B

⋅⋅⋅⋅

C

⋅⋅⋅⋅

L

W

)

⋅⋅⋅⋅

e

-

ξξξξ

⋅⋅⋅⋅

cos

ξξξξ

, ponieważ sin(

ξ

+

π

/2) = cos

ξ

, cos(

ξ

+

π

/2)

= -sin

ξ

.

1

Dla gruntów niespoistych zazwyczaj lepszym założeniem jest przyjęcie liniowego wzrostu C z głębokością.

Ten wzrost sztywności z głębokością wynika ze wzrostu naprężeń od ciężaru własnego ośrodka

L

C

y(

ξ

)

H

ξ

→

∞

0