dr Krzysztof Kisiel
Granica funkcji.
Definicja 1. Niech
X
,
Y
oznaczaj ˛
a dwa dowolne zbiory. Je´sli ka˙zdemu ele-
mentowi
x
zbioru
X
przyporz ˛
adkowujemy jednoznacznie element
y
zbioru
Y
,
to mówimy, ˙ze została okre´slona funkcja odwzorowuj ˛
aca zbiór
X
w zbiór
Y
i
zapisujemy:
f : X → Y,
a fakt przyporz ˛
adkowania elementowi
x
elementu
y
zapisujemy:
x → y = f (x) dla x ∈ X,
co znaczy, ˙ze
f (x)
oznacza element
y
zbioru
Y
, który został przyporz ˛
adkowany
elementowi
x
.
?
Definicj˛e powy˙zsz ˛
a mo˙zna wyrazi´c krócej nast˛epuj ˛
aco:
∀
x∈X
∃
y∈Y
! y = f (x).
?
Okre´slaj ˛
ac funkcje wyznaczamy jednocze´snie zbiór
X
argumentów (albo
zmiennych niezale˙znych)
x
funkcji tj. zbiór tych elementów dla których funk-
cja została zdefiniowana. Zbiór ten nazywamy dziedzin ˛
a albo polem funkcji
f
.
?
Zbiór
Y
0
⊂ Y
elementów
y = f (x)
warto´sci funkcji (albo zmiennych za-
le˙znych) nazywamy zbiorem warto´sci lub zakresem funkcji i zapisujemy :
f (X) = Y
0
.
?
Funkcje, których dziedzin ˛
a i przeciwdziedzin ˛
a s ˛
a podzbiory zbioru liczb rze-
czywistych nazywamy funkcjami rzeczywistymi zmiennej rzeczywistej.
?
Pojecia zbiór warto´sci funkcji i przciwdziedzina nie s ˛
a sobie równowa˙zne
Definicja granicy funkcji w sensie Heinego
Definicja 2. Niech
x
0
∈ R
,
n ∈ N
oraz niech funkcja
f
b˛edzie okre´slona
przynajmniej na s ˛
asiedztwie
S(x
0
)
. Liczba
g
jest granic ˛
a funkcji
f
w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy:
∀
{x
n
}⊂S(x
0
)
"
lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = g
#
,
co zapisujemy:
lim
x→x
0
f (x) = g.
Je´sli w podanych wy˙zej definicjach ograniczymy si˛e tylko do lewo- czy prawo-
stronnego s ˛
asiedztwa punktu
x
0
, to otrzymamy okre´slenie granicy jednostron-
nej funkcji w punkcie
x
0
.
Definicja granicy lewostronnej funkcji w punkcie w sensie Heinego
Definicja 3. Niech
x
0
∈ R
,
n ∈ N
oraz niech funkcja
f
b˛edzie okre´slona
przynajmniej na s ˛
asiedztwie
S(x
−
0
)
. Liczba
g
jest granic ˛
a lewostronn ˛
a funkcji
f
w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy:
∀
{x
n
}⊂S(x
−
0
)
"
lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = g
#
,
co zapisujemy:
lim
x→x
−
0
f (x) = g.
Definicja granicy prawostronnej funkcji w punkcie w sensie Heinego
Definicja 4. Niech
x
0
∈ R
,
n ∈ N
oraz niech funkcja
f
b˛edzie okre´slona
przynajmniej na s ˛
asiedztwie
S(x
+
0
)
. Liczba
g
jest granic ˛
a lewostronn ˛
a funkcji
f
w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy:
∀
{x
n
}⊂S(x
+
0
)
"
lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = g
#
,
co zapisujemy:
lim
x→x
+
0
f (x) = g.
Definicja granicy niewła´sciwej funkcji w punkcie w sensie Heinego
Definicja 5. Niech
x
0
∈ R
,
n ∈ N
oraz niech funkcja
f
b˛edzie okre´slona
przynajmniej na s ˛
asiedztwie
S(x
0
)
. Funkcji
f
ma granic˛e niewła´sciw ˛
a
∞
w
punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy:
∀
{x
n
}⊂S(x
0
)
"
lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = ∞
#
,
co zapisujemy:
lim
x→x
0
f (x) = ∞.
Definicja granicy funkcji w punkcie niewła´sciwym w sensie Heinego
Definicja 6. Niech funkcja
f
b˛edzie okre´slona przynajmniej na s ˛
asiedztwie
S(∞)
,
n ∈ N
. Liczba
g
jest granic ˛
a funkcji
f
w
∞
wtedy i tylko wtedy, gdy:
∀
{x
n
}⊂S(∞)
"
lim
n→∞
x
n
= ∞
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = g
#
,
co zapisujemy:
lim
x→∞
f (x) = g.
Definicja granicy funkcji w punkcie niewła´sciwym w sensie Heinego
Definicja 7. Niech funkcja
f
b˛edzie okre´slona przynajmniej na s ˛
asiedztwie
S(−∞)
,
n ∈ N
. Liczba
g
jest granic ˛
a funkcji
f
w
−∞
wtedy i tylko wtedy, gdy:
∀
{x
n
}⊂S(−∞)
"
lim
n→∞
x
n
= −∞
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = g
#
,
co zapisujemy:
lim
x→−∞
f (x) = g.
Definicja granicy niewła´sciwej funkcji w punkcie niewła´sciwym w sensie
Heinego
Definicja 8. Niech funkcja
f
b˛edzie okre´slona przynajmniej na s ˛
asiedztwie
S(∞)
,
n ∈ N
. Funkcja
f
ma w
∞
granic˛e niewła´sciw ˛
a
∞
, wtedy i tylko wtedy, gdy:
∀
{x
n
}⊂S(x
∞
)
"
lim
n→∞
x
n
= ∞
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = ∞
#
,
co zapisujemy:
lim
x→∞
f (x) = ∞.
Definicja granicy niewła´sciwej funkcji w punkcie w sensie Heinego
Definicja 9. Niech
x
0
∈ R
,
n ∈ N
oraz niech funkcja
f
b˛edzie okre´slona
przynajmniej na s ˛
asiedztwie
S(x
0
)
. Funkcji
f
ma granic˛e niewła´sciw ˛
a
−∞
w
punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy:
∀
{x
n
}⊂S(x
0
)
"
lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = −∞
#
,
co zapisujemy:
lim
x→x
0
f (x) = −∞.
Twierdzenia o granicach funkcji
Twierdzenie 10. Funkcja
f
posiada w punkcie
x
0
granic˛e
g
wtedy i tylko wte-
dy, gdy jednocze´snie posiada w tym punkcie granice lewo- i prawostronne rów-
ne liczbie
g
, tzn.
lim
x→x
0
f (x) = g ⇔ ( lim
x→x
+
0
f (x) = lim
x→x
−
0
f (x) = g).
Arytmetyka granic funkcji
Twierdzenie 11. Jesli funkcje
f
i
g
maj ˛
a granice wła´sciwe w punkcie
x
0
, to
1.
lim
x→x
0
(f (x) + g(x)) = lim
x→x
0
f (x) + lim
x→x
0
g(x),
2.
lim
x→x
0
(f (x) − g(x)) = lim
x→x
0
f (x) − lim
x→x
0
g(x),
3.
lim
x→x
0
(f (x) · g(x)) = ( lim
x→x
0
f (x)) · ( lim
x→x
0
g(x)),
4.
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
=
lim
x→x
0
f (x)
lim
x→x
0
g(x)
,
o ile
lim
x→x
0
g(x) 6= 0,
5.
lim
x→x
0
(c · f (x)) = c · lim
x→x
0
f (x),
Twierdzenie o trzech granicach
Twierdzenie 12. Je˙zeli funkcje
f
,
g
,
h
spełniaj ˛
a dwa nast˛epuj ˛
ace warunki:
1. istnieje takie s ˛
asiedztwo punktu
x
0
:
S(x
0
, δ)
, ˙ze
∀
x∈S(x
0
,δ)
f (x) ≤ h(x) ≤ g(x)
2.
lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
g(x) = g,
to
lim
x→x
0
h(x) = g.
Twierdzenie 13.
lim
x→0
sin(x)
x
= 1.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wyklad 4a
4a
4a Ideologia
4a Zespo y i korytarze
RASFF odrzucenia na granicy
14 Nośnośc Graniczna Przekroju Poprzecznego
F19 fale na granicy o rodk w
Dla wyjeźdżających za granice
Zestaw graniceciagow
2 5 Granice jednostronne
Language Test 4A
02 4a Magelis KATPO15000id 3559 (2)
0 sfp 4a kon
14 Offe, Nowe ruchy społeczne Przekraczanie granic polityki instytucjonalnej
więcej podobnych podstron