Fizyka i inŜynieria
materiałów
Cz.1
wybrane zagadnienia
fizyki ciała stałego
d
d
r hab. in
r hab. in
Ŝ
Ŝ
. Ryszard P
. Ryszard P
awlak
awlak
, prof. P
, prof. P
Ł
Ł
Fizyka i inŜynieria
materiałów
Cz.1
wybrane zagadnienia
fizyki ciała stałego
d
d
r hab. in
r hab. in
Ŝ
Ŝ
. Ryszard P
. Ryszard P
awlak
awlak
, prof. P
, prof. P
Ł
Ł
Fizyka Ciała Stałego
FCS /1
I. Wstęp
Istota Fizyki Ciała Stałego, związki z inŜynierią
materiałową
II. Budowa ciał stałych
•
Powstawanie ciał stałych
•
Wiązania chemiczne w kryształach:
jonowe,
kowalencyjne, Van der Waalsa, wodorowe.
•
Struktura kryształu:
sieć krystalograficzna,
translacja i symetria, układy krystalograficzne
i sieci Bravais, oznaczenia płaszczyzn i kierunków
krystalograficznych, struktury krystaliczne, sieć
odwrotna, strefy Brillouina,dyfrakcyjne badanie struktur, defekty
kryształów
•
Ciała amorficzne.
Fizyka Ciała Stałego
FCS /2
III. Dynamika sieci i właściwości cieplne
IV. Właściwości elektronowe ciał stałych
•
Teoria elektronów swobodnych
•
Elektronowa teoria pasmowa
V.
Ruch elektronów i zjawiska transportu
•
Metale
VI. Półprzewodniki
VII. Dielektryczne właściwości ciał
VIII. Magnetyzm i magnetyki
IX. Nadprzewodnictwo
Istota Fizyki Ciała Stałego
Fizyka ciała stałego
traktuje o takim stanie materii,
który reprezentuje bardzo duŜa grupa atomów,
powiązanych chemicznie, tworząc stałe skupiska.
FCS bada jeden z podstawowych stanów materii,
występującej w fazie skondensowanej, zachowującej
objętość i kształt.
I etap „klasyczny”
nauka o elementarnych czynnikach otaczającego świata.
• Badania makroskopowych właściwości ciał i elementów
zjawisk zewnętrznych, obojętny przedmiot badania
Istota Fizyki Ciała Stałego
II etap „Fizyka atomu i cząstek”
-
badanie wyodrębnionych tworów (atom, elektron
swobodny).
Jak jest zbudowana materia?, atomy, elektrony, jony, powstanie
mechaniki kwantowej.
Rozwój Fizyki ciała stałego od ok. 80 lat.
Dlaczego tak późno?
III etap „Fizyka ciała stałego”
•
Składanie poznanych wcześniej elementów w
makroskopowe ciało stałe
•
zastosowanie mechaniki kwantowej i fizyki statystycznej
do wytłumaczenia zjawisk w makroskopowym ciele stałym.
Istota Fizyki Ciała Stałego
Ciało stałe - skupisko wielkiej liczby elementów:
w 1 cm
3
~ 10
23
atomów!!!!!!!!!!
Zastosowanie powaŜnych metod naukowych do
opisu tak wielkiej liczby atomów ??????
Rozwiazanie problemów –
modele
stworzone dla ciał stałych
Wymaganie dwu zasadniczych ograniczeń:
• ciała składają się z ograniczonej liczby rodzajów atomów
(pierwiastków)
• atomy ułoŜone w przestrzeni w określony sposób.
JJJJednolity
ednolity
ednolity
ednolity, , , , kwantowy
kwantowy
kwantowy
kwantowy opis
opis
opis
opis zjawisk
zjawisk
zjawisk
zjawisk zachodz
zachodz
zachodz
zachodząąąących
cych
cych
cych w
w
w
w ciele
ciele
ciele
ciele
sta
sta
sta
stałłłłym
ym
ym
ym????
????
????
????
UŜyteczne przybliŜenia, pozwalające zastosować prawa
fizyki klasycznej, zwłaszcza tam, gdzie doświadczenie
dobrze potwierdza taki klasyczny opis.
Istota Fizyki Ciała Stałego
FCS /7
Elektronika półprzewodników:
od tranzystora do mikroprocesora
Lasery:
telekomunikacja,
zastosowania
technologiczne,
zapis i odczyt informacji, medycyna…
InŜynieria materiałowa:
materiały
Ŝaroodporne,
trudnotopliwe,
ferromagnetyki
i
nadprzewodniki,
materiały
cienkowarstwowe, supersieci,
nanomateriały,
polimery fluorescencyjne i przewodzące, materiały
optyczne.
Zdobycze Fizyki Ciała Stałego
FCS /8
Zdobycze Fizyki Ciała Stałego
FCS /9
Tranzystor ostrzowy
grudzień 1947
Bardeen, Bratain, Schockley
~ 25 mm
360 milionów
tranzystorów !!!!
Mikroprocesor
graficzny
rok 2006
Zdobycze Fizyki Ciała Stałego
FCS /10
Zdobycze Fizyki Ciała Stałego
FCS /11
LASERY
Zdobycze Fizyki Ciała Stałego
FCS /12
LASERY
Zdobycze Fizyki Ciała Stałego
FCS /13
Korekcja soczewki oka
LASERY
Zdobycze Fizyki Ciała Stałego
FCS /14
LASERY
Budowa ciał stałych
FCS /15
Powstawanie ciał stałych:
Ciała stałe powstają z cieczy poprzez zestalanie,
najczęściej w wyniku procesu
krystalizacji.
Centra krystalizacji.
Krystalizacja homogeniczna.
Krystalizacja heterogeniczna.
Ciała stałe polikrystaliczne, składające się z wielu
mniejszych kryształów.
Anizotropia.
Monokryształy.
Budowa ciał stałych
FCS /16
Powstawanie ciał stałych:
Ciała stałe mogą powstawać równieŜ poprzez
zwiększenie
lepkości cieczy
przy obniŜaniu temperatury.
Brak porządku geometrycznego (moŜe występować w
obrębie najbliŜszych sasiadów)
Ciała amorficzne
- niezaleŜnie od prędkości schładzania
nie stworzą struktury krystalicznej.
Właściwości izotropowe, np.: wosk, smoła, lak, asfalt.
Szkła - ciała amorficzne,
które uległy zestaleniu,
poniewaŜ prędkość schładzania była na tyle duŜa, iŜ nie
zdąŜyła powstać struktura krystaliczna.
Budowa ciał stałych
FCS /17
Powstawanie ciał stałych:
Ciała stałe powstałe poprzez
zwiększenie lepkości cieczy
.
Typowy przykład: szkło, które wykazuje cechy
przechłodzonej cieczy; zmiany w długim czasie
Inne ciała amorficzne
zestalone w wyniku szybkiego
schładzania:
szkła metaliczne,
które ogrzane powyŜej
temperatury odszklenia (ale nie stopione) ulegają
krystalizacji.
substancje organiczne,
powstające w wyniku procesów
chemicznych, wykazujące w pewnych podobszarach
uporządkowanie struktury typu krystalicznego.
FCS dotyczy zasadniczo ciał krystalicznych
Budowa ciał stałych
FCS /18
Podstawowe problemy budowy ciał stałych:
• siły występujące pomiędzy atomami, czyli
wiązania chemiczne
• sposób ułoŜenia atomów w ciele stałym, czyli
struktura krystaliczna
takŜe struktura ciał amorficznych i cząsteczkowych
(polimerów)
Budowa ciał stałych -
atom
FCS /19
Atom jest „pusty” !!!
Budowa ciał stałych -
atom
FCS /20
Liczby kwantowe
n – główna liczba kwantowa
1
2 3 4 5 6 7
K L M N O P Q
E = h
νννν =
=
=
= hc/λ
/λ
/λ
/λ
n = 7 (Q)
n = 6 (P)
n = 5 (O)
n = 4 (N)
n = 3 (M)
n = 2 (L)
n = 1 (K)
Budowa ciał stałych -
atom
FCS /21
l – orbitalna liczba kwantowa; l
max
= n-1
0
1 2 3
s
p d f
m – magnetyczna liczba kwantowa; m=2l+1
-l…..(-l+1)……0..…(l-1)……..l
s – spinowa liczba kwantowa
+1/2 -1/2
Budowa ciał stałych -
atom
FCS /22
Zapełnianie warstw i powłok, liczba elektronów
S
ta
n
y
z
d
e
g
e
n
e
ro
w
a
n
e
warstwa s (0) – 1 orbita
2 elektrony
warstwa p (1) – 2 orbity
6 elektrony
warstwa d (2) – 3 orbity
10 elektronów
warstwa f (3) – 4 orbity
14 elektronów
n
K
(1)
1s;
max 2
L
(2)
2s; 2p
max 8
M
(3)
3s 3p 3d
max 18
N
(4)
4s 4p 4d 4f
max 32
O
(5)
5s 5p 5d 5f
P
(6)
6s 6p 6d
Q
(7)
7s
Budowa ciał stałych -
atom
FCS /23
Struktura elektronowa a właściwości ciał
zewnętrzna powłoka –warstwa s lub s i p
pierwiastki elektrododatnie (głównie metale)
pierwiastki elektroujemne (głównie dielektryki)
4 elektrony walencyjne – głównie półprzewodniki
oktet – (takŜe hel) – gazy szlachetne
Elementy mechaniki kwantowej
FCS /24
Pewne niewytłumaczalne fakty z fizyki klasycznej:
Występowanie liniowych widm emisyjnych
atomów
(sugestia nieciągłych poziomów energetycznych; Planck)
Dyfrakcja wiązek elektronowych
(fale materii de Broglie’a: z cząsteczką o pędzie
p
r
i
energii
E
r
związana jest z fala monochromatyczna płaska
o wektorze falowym
k
r
i częstości kołowej
πν
ω
2
=
, przy
czym spełnione są związki:
k
p
r
h
r
=
oraz
ω
E
h
=
Elementy mechaniki kwantowej
FCS /25
(
)
(
)
px
Et
i
πνλ
x
ν
h
π
t
ν
h
i
πν
x
ν
kh
t
ν
h
ν
h
πν
i
kx
t
ω
i
e
e
e
e
−
−
−
−
−
−
−
−
Ψ
=
Ψ
=
=
Ψ
=
Ψ
=
Ψ
h
h
1
0
2
2
1
0
2
2
0
0
Równanie Schrödingera
Ψ
+
Ψ
=
Ψ
+
=
+
=
+
=
m
p
V
E
m
p
V
m
v
m
V
mv
V
E
2
2
2
2
2
2
2
2
2
πν
ω
2
=
k
p
r
h
r
=
ω
E
h
=
Elementy mechaniki kwantowej
FCS /26
( )
(
)
dt
d
i
E
E
i
dt
d
dx
d
p
p
p
i
p
i
dx
d
p
i
e
p
i
dx
d
px
Et
i
Ψ
=
Ψ
⇒
Ψ
−
−
=
Ψ
Ψ
−
=
Ψ
⇒
Ψ
−
=
Ψ
=
Ψ
Ψ
=
Ψ
−
−
=
Ψ
−
−
h
h
h
h
h
h
h
h
h
2
2
2
2
2
2
2
2
1
0
Ψ
+
Ψ
=
Ψ
m
p
V
E
2
2
Elementy mechaniki kwantowej
FCS /27
Ψ
+
Ψ
+
Ψ
−
Ψ
=
Ψ
=
Ψ
Ψ
−
Ψ
=
Ψ
=
Ψ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dz
d
dy
d
dx
d
m
V
dt
d
i
E
dx
d
m
V
dt
d
i
E
h
h
h
h
20.10.2010 r.
Elementy mechaniki kwantowej
FCS /28
Wnioski z rozwiązania r-nia Schrödingera dla f. falowej:
Funkcja falowa zaleŜy od współrzędnych
przestrzennych i czasu
Amplitudy
Ψ
nie moŜna wyznaczyć doświadczalnie
( )
dv
dv
t
r
Ψ
Ψ
=
Ψ
∗
2
,
r
jest prawdopodobieństwem
znalezienia cząstki w czasie t w objętości dv
∫
=
ΨΨ
∗
1
dv
, warunek unormowania – cząstka musi
gdzieś się znajdować w objętości V
Elementy mechaniki kwantowej
FCS /29
X
Z
Y
Φ
Θ
-e
Jądro
+Ze
elektron
r
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ= Ψ
Ψ
Ψ
Ψ(r,Φ,Θ
Φ,Θ
Φ,Θ
Φ,Θ)
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ= R(r),Φ
Φ
Φ
Φ(φφφφ),Θ
Θ
Θ
Θ(θθθθ)
Elementy mechaniki kwantowej
FCS /30
Kierunkowość wiązań
Orbital jest to jednoelektronowa funkcja falowa określająca
stan elektronu w atomie (orbital atomowy) lub cząsteczce
(orbital cząsteczkowy)
Stan elektronu opisany jest przez zespół trzech liczb
kwantowych, które określają jego funkcję falową.
Elementy mechaniki kwantowej
FCS /31
X
Z
Y
m=0
X
Z
Y
X
Z
Y
m=+1
X
Z
Y
m=-1
orbitale s
orbitale p
Elementy mechaniki kwantowej
FCS /32
m=-1
orbitale d
X
Z
Y
m=0
X
X
Z
Z
Y
Y
m=+1
m=-1
X
Z
Y
X
Z
Y
m=+1
Budowa ciał stałych -
wiązania
FCS /33
Siły odpychające -
bliskiego zasięgu
konsekwencja:1
0
- zasady nieoznaczoności; 2
0
– kwantowej natury atomów
ρ
R
e
λ
R
U
−
+
⋅
=
)
(
U
R
R
R
1
2
12
)
(
4
)
(
R
R
U
σ
α
⋅
=
+
Budowa ciał stałych -
wiązania
FCS /34
R
U
U
R
R
O
U
min
Siły przyciągające -
dalekiego zasięgu
konsekwencja: oddziaływania elektromagnetycznego
n
R
b
R
U
)
(
)
(
σ
−
=
−
]
4
[
]
)
(
[
)
(
)
(
)
(
'
12
'
n
n
R
R
b
R
Z
R
b
e
Z
R
U
R
U
R
U
σ
σ
α
σ
λ
ρ
−
⋅
=
=
−
⋅
=
+
=
−
−
+
Budowa ciał stałych -
wiązania
FCS /35
Rodzaje wiązań w kryształach
wiązanie jonowe
wiązanie kowalencyjne
wiązanie metaliczne
wiązanie van der Waalsa
wiązanie wodorowe
Na
+
Cl
-
Wiązanie jonowe
Kryształy jonowe
Budowa ciał stałych -
wiązania
FCS /36
ij
ij
R
q
U
2
−
=
−
R
A
q
R
p
q
U
U
ij
j
ij
i
2
2
1
−
=
∑
±
=
∑
=
−
ij
ij
p
R
R
⋅
=
∑
±
=
j
ij
p
A
1
- stała Madelunga
Budowa ciał stałych -
wiązania
FCS /37
Na + 5,14 eV
Na
+
+ 1e
Cl + 1e
Cl
-
+ 3,71 eV
Końcowy zysk energetyczny z przyciągania jonów Na
+
oraz Cl
-
= 4,51 eV – 1,43 eV = 3,08 eV
Budowa ciał stałych -
wiązania
FCS /38
Wiązanie kowalencyjne
W cząsteczce wodoru (2 atomy) uwspólnienie elektronów
prowadzi do zwiększenia gęstości chmury elektronowej
pomiędzy jądrami.
Jest to
oddziaływanie wymienne
pomiędzy atomami; mówimy
o
siłach wymiany
oraz
energii wymiany.
W cząsteczce wodoru wywołuje to zmniejszenie energii
układu i powstanie sił przyciągania pomiędzy jądrami.
Ogólnie oddziaływanie wymienne moŜe przejawiać się
zarówno przez powstanie sił przyciągania (energetycznie
korzystne), jak i odpychania między zbliŜającymi się
atomami, co zaleŜy od spinów elektronów.
Budowa ciał stałych -
wiązania
FCS /38
R
r
a1
r
a2
r
b2
r
12
r
b1
Oddziaływania wymienne – model
dwuelektronowy atomu wodoru
Budowa ciał stałych -
wiązania
FCS /38
S
A
C
E
E
S
A
C
E
E
I
t
I
s
−
−
+
=
+
+
+
=
1
2
1
2
wymiany
całka
-
A
ia
przekrywan
całka
-
S
ie)
kulombowsk
ie
przyciągan
lub
e
(odpychani
a
kulombowsk
całka
-
C
m
podstawowy
stanie
w
ym
odosobnion
atomie
w
elektronu
energia
−
I
E
Oddziaływanie wymienne prowadzi do powstania dwu
moŜliwych wartości energii
(dla pary elektronów)
:
Budowa ciał stałych -
wiązania
FCS /38
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
∫
∫
∫
∗
∗
∗
∗
Φ
Φ
Φ
Φ
=
Φ
Φ
Φ
Φ
−
−
+
πε
=
Φ
Φ
−
−
+
πε
=
2
3
1
3
2
3
1
3
1
2
12
0
2
2
3
1
3
2
2
1
2
12
0
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
4
2
1
1
1
1
1
4
r
d
r
d
S
r
d
r
d
r
r
r
R
e
A
r
d
r
d
r
r
r
R
e
C
B
B
A
A
B
B
A
A
B
A
AB
B
A
B
A
AB
Oddziaływania wymienne
Budowa ciał stałych -
wiązania
FCS /38
S
A
C
E
E
S
A
C
E
E
I
t
I
s
−
−
+
=
+
+
+
=
1
2
1
2
Wszystkie całki są
zaleŜne od odległości jąder
atomowych
R
, zatem energia całkowita elektronów teŜ
zaleŜy od
R;
stan podstawowy
pierwszy stan
wzbudzony
W obrazie dwuelektronowym energia pojedynczego
elektronu jest nieokreślona,
określona jest energia
całkowita obu elektronów
Budowa ciał stałych -
wiązania
FCS /38
U(R)
R
U
mi
Oddziaływania wymienne
2
1
2
S
A
CS
J
E
E
s
t
−
−
=
−
=
−
S
A
C
E
E
S
A
C
E
E
I
t
I
s
−
−
+
=
+
+
+
=
1
2
1
2
A)
wymiany
całki
od
(zaleŜna
wymiany
stała
-
J
Od wartości stałej wymiany
J
zaleŜy, czy poziom
energetyczny dla dwu elektronów o spinach równoległych
wywołuje obniŜenie energii.
Budowa ciał stałych -
wiązania
FCS /38
ObniŜenie energii przy równoległych spinach powstaje dla
większej odległości od tej, dla której powstaje silne
wiązanie (kowalencyjne).
Budowa ciał stałych -
wiązania
FCS /38
Budowa ciał stałych -
wiązania
FCS /39
Wiązanie metaliczne
„jony”
(jądra + elektrony
z powłok wewnętrznych)
elektrony
Budowa ciał stałych -
wiązania
FCS /40
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
siły Van der Waalsa
Wiązania van der Waalsa
Typ wiązania
w krysztale
Przykład
Energia
wiązania w
e V/atom
Własności charakterystyczne kryształu
Jonowe
Ag Cl
Li F
K Cl
Na Cl
10.2
10.5
7.2
7.9
DuŜa twardość, wysoka temperatura topnienia,
słabe przewodnictwo w niskich temperaturach,
dość dobre przewodnictwo jonowe w wysokich
temperaturach
Walencyjne
C
G e
S i
7.4
3.9
4.6
DuŜa
twardość,
w
bardzo
niskich
temperaturach
nie
przewodzą
prądu,
w
wysokich
temperaturach
stają
się
przewodnikami
Metaliczne
C u
Ag
F e
P b
3.5
2.9
4.1
2.0
Plastyczność kryształów, dobre przewodnictwo
elektryczne, moŜliwość tworzenia stopów
Wodorowe
H
2
O
HF
0.52
0.31
Wykazują tendencję do polimeryzacji
Molekularne
Ne
Ar
Kr
0.02
0.08
0.12
Niska temperatura topnienia i wrzenia, duŜa
ściśliwość
Budowa ciał stałych -
wiązania
FCS /41
Budowa ciał stałych -
struktura krystaliczna
14 typów sieci krystalicznych
7 układów krystalograficznych
, zbudowanych na figurach geometrycznych
- komórki prymitywne.
7 dodatkowych układów krystalograficznych
, poprzez umieszczenie
dodatkowych węzłów sieci na przecięciu się przekątnych głównych
komórki prymitywnej lub na przecięciu się przekątnych ścian bocznych.
T
Struktura
RSC
R
egularna
Ś
ciennie
C
entrowana
Budowa ciał stałych -
struktura krystaliczna
Struktura
RPC
R
egularna
P
rzestrzennie
C
entrowana
Struktura heksagonalna;
(np.: grafit c/a=2.717)
Budowa ciał stałych -
struktura krystaliczna
Luki
Luki
tetraedryczne
tetraedryczne
Luka
Luka
oktaedryczna
oktaedryczna
Płaszczyzna najgęstszego
upakowania
A
B
C
Budowa ciał stałych -
struktura krystaliczna
Struktura diamentu
A4
Polimorfizm – zdolność substancji do krystalizowania
w róŜne układy krystalograficzne
diament
najtwardszy (10 w skali Mohsa)
gęstość 3.5 g/cm
3
dielektryk
grafit
miękki (1 w skali Mohsa)
gęstość 2.1 g/cm
3
dobrze przewodzi prąd
Cyna biała
– metal, struktura tetragonalna centrowana przestrzennie,
gęstość 7.3 g/cm
3
, stabilna powyŜej 13
o
C
Cyna szara
– struktura diamentu, półprzewodnik, gęstość 5.8 g/cm
3
,
stabilna poniŜej 13
o
C
Budowa ciał stałych -
struktura krystaliczna
Właściwości rzeczywistych ciał stałych silnie
zaleŜą od róŜnorodnych
„odstępstw”
od idealnej
budowy, czyli
defektów struktury
Struktura krystaliczna
- defekty
Defekty punktowe
Struktura krystaliczna
- defekty
defekt Schottky’ego
atom międzywęzłowy
defekt Frenkla
domieszki substytucyjne
i międzywęzłowe
Defekty liniowe kryształów
Dyslokacja krawędziowa (liniowa)
Jak duŜo jest defektów?
Defekty punktowe
Dla miedzi w pobliŜu temperatury topnienia (1356 K)
udział wakansów wynosi ok. 0,1 % at., co oznacza, iŜ
1 atom na ok. 1300
nie jest na
„swoim”
miejscu
Struktura krystaliczna
- defekty
Dyslokacje liniowe
w metalach wyŜarzonych rzędu
10
6
linii/cm
3
,
po silnych odkształceniach plastycznych
>10
12
linii/cm
3
Istnienie dyslokacji tłumaczy, dlaczego obserwowane
wytrzymałości mechaniczne materiałów są 10
3
-10
4
razy
mniejsze od teoretycznych (materiałów bez defektów).
Struktura krystaliczna
- defekty
Gęstość dyslokacji
Metale powoli chłodzone: 103 mm-2
Metale silnie zdeformowane: 109-1010
mm-2
Metale wygrzewane: 105-106 mm-2
Ceramika: 102-104 mm-2
Kryształy jonowe: ≈ 103 mm-2
Monokrystaliczny krzem: 0.1-1 mm-2
Defekty przestrzenne kryształów
Dyslokacja śrubowa
Inne defekty kryształów
Błędy ułoŜenia
Granice ziaren
Powierzchnie zewnętrzne
Ciała niekrystaliczne - polimery
Cechy polimerów
Mery silnie powiązane w długie łańcuchy, dzięki skłonności
do uwspólniania par elektronów (silne wiązania kowalencyjne)
Elektrony związane w obrębie makrocząsteczki, pomiędzy łańcuchami
na ogół oddziaływania słabe (sieciowanie)
Niewielki stopień usieciowania – duŜa podatność do odkształceń
nietrwałych –
elastomery
(guma)
Termoplasty
Termoutwardzalne
(duŜe moŜliwości modyfikacji właściwości)
Polimery –
materiały organiczne zbudowane ze związków
węgla, wodoru i pierwiastkow
niemetalicznych
Ciała niekrystaliczne - polimery
atom C
atom H
E
f(E)
1
E
F
Potencjał chemiczny
µ
określa wartość energii, o jaką zwiększy
się całkowita energia ciała po dodaniu jednej cząstki;
Energia Fermiego
– wartość energii, która oddziela obszar
stanów zajętych, od obszaru stanów pustych;
T
→0 K;
dla E>E
F
; f(E)
→0
Elektrony w ciele stałym - statystyka
Prawdopodobieństwo zajmowania przez
fermiony
(elektrony)
określonego poziomu energii w ciele stałym
opisuje
funkcja rozkładu Fermiego-Diraca
:
1
1
+
=
µ
−
kT
E
e
)
E
(
f
E
f(E)
1
E
F
E +0.1 eV
F
E -0.1 eV
F
300 K
1000 K
W temperaturze
T>0 K
;
dla E > E
F
; f(E)
< 1/2
dla E
< E
F
; f(E) > 1/2
T=300 K; kT~2.6×10
-2
eV
T=1000 K; kT~9×10
-2
eV
Elektrony w ciele stałym - statystyka
Elektrony swobodne w ciele stałym
+
+
+
+
+
+
E
E=E’-V
o
I
PrzybliŜenie jednoelektronowe
-
pojedynczy elektron w
statycznym potencjale periodycznym, utworzonym przez
dodatnie rdzenie atomowe i pozostałe elektrony (
potencjał
rdzeni atomowych jest jakby „złagodzony”, poniewaŜ jest
ekranowany przez pozostałe elektrony)
Warto
Warto
ś
ś
ci w
ci w
ł
ł
asne
asne
energii elektronu w atomie
energii elektronu w atomie
,
m
2
k
E
2
2
h
=
Elektrony w ciele stałym
Z rozwaŜań elektronu w studni stałego potencjału - dyskretne,
skwantowane wartości energii elektronu, odpowiadające
energiom elektronów w pojedynczym atomie.
JeŜeli atomy znajdują się w duŜej odległości - w kaŜdym z
nich takie same poziomy energii potencjalnej elektronów.
V= 0
V
V
1s
1
2s
2
3s
1
3s
1
2p
6
2p
6
2s
2
1s
1
x> > a
Na
Na
ZbliŜanie atomów na odległość rzędu stałej sieci
→ oddziaływanie i
rozszczepienie
poziomów energetycznych
na szereg podpoziomów,
nieznacznie od siebie odległych
(zakaz Pauliego).
W atomie sodu w
paśmie s
- 2 elektrony, w
paśmie p
- 6 elektronów;
w krysztale z n atomów -
2n oraz 6n elektronów
.
V
1s
2s
3s
2p
x= a
Na
Na
Na
Na
Elektrony w ciele stałym
Szerokość pasma rzędu
1 eV
, liczba atomów w 1 cm
3
rzędu
10
23
, róŜnice pomiędzy podpoziomami:
10-
23
eV
.
Prawie ciągłe widmo energii w granicach pasma.
Rozszczepienie mniejsze na niŜszych poziomach,
poniewaŜ słabsze wzajemne oddziaływanie sąsiadów.
Elektrony w ciele stałym
Elektrony w sieci krystalicznej
Twierdzenie Blocha
W krysztale funkcja falowa elektronu jest falą płaską,
modulowaną przez funkcję okresową.
Z twierdzenia Blocha wynika m.in., Ŝe w
idealnej sieci
krystalicznej
w
temp. 0 K
elektrony
poruszają się bez
przeszkód.
Czynnik wykładniczy odzwierciedla swobodę poruszania się
elektronu w krysztale.
Czynnik okresowy przypomina o powiązaniach elektronu z
jądrami (rdzeniami atomowymi).
=
Ψ )
r
(
r
r
ik
e
r
⋅
)
r
(
u
r
Elektrony w sieci krystalicznej
Model elektronów swobodnych - dość grube przybliŜenie
rzeczywistej sytuacji w krysztale, poniewaŜ:
zamienia rzeczywisty potencjał sieci na potencjał stały
pomija rzeczywisty układ jonów sieci.
Bardziej realistyczne modele
Oddziaływanie wzajemne elektronów
uwzględnia się poprzez
rozwaŜanie elektronu w polu uśrednionym, pochodzącym od
pozostałych elektronów, niezaleŜnym od ich połoŜenia
chwilowego.
Oddziaływanie rdzeni atomowych
uwzględnia się m.in. w
przybliŜeniu słabego wiązania (model elektronów prawie
swobodnych).
Model elektronów prawie swobodnych
Jednowymiarowy model Kröniga - Penneya
V
o
0
b
b+ c
-c
X
E
Elektrony w sieci krystalicznej
Równanie
Schrödingera dla
modelu Kröniga –
Penneya daje
rozwiązania w postaci
nieciągłej funkcji
falowej elektronu w
krysztale.
Widmo energii składa
się z
pasm
(przedziałów)
zabronionych
oraz
dozwolonych.
0
π/c
2π/c
k
k
−π/c
π/c
0
E
E
Elektrony w sieci krystalicznej
Pasma energetyczne
Dla dowolnego kierunku w krysztale
odległość
c
między barierami jest inna;
Granice pasm dla róŜnych kierunków są róŜne
i nie pokrywają się ze sobą.
,
c
π
k
c
π
≤
≤
−
c
2π
k
c
π
oraz
,
c
π
k
c
2π
≤
≤
≤
≤
−
0
π/c
2π/c
−π/c
π/c
0
E
E
E
Elektrony w sieci krystalicznej
E
dielektryk przewodnik
półprzewodnik
Pasma wewnętrzne
„(całkowicie zapełnione)
Pasma
zabronione
Pasma
walencyjne
Pasma
przewodnictwa
0
Elektrony w sieci krystalicznej
Struktura pasmowa – metale; powierzchnia Fermiego
Znajomość kształtu powierzchni Fermiego bardzo waŜna!
Elektrony w sieci krystalicznej
Struktura pasmowa – półprzewodniki
Właściwości ciał stałych:
•
elektronowe
•
zaleŜne od dynamiki sieci krystalicznej
(ciepło
właściwe, prędkość dźwięku, rozszerzalność termiczna
oraz
przewodnictwo
ciepła
izolatorów
i
półprzewodników.
Oddzielne rozwaŜanie tych dwu grup właściwości.
Uzasadnienie:
znacznie większa masa rdzeni atomowych
(jądra wraz z zapełnionymi powłokami elektronowymi) oraz
ich znacznie wolniejszy ruch, niŜ elektronów.
Właściwości makroskopowe ciał stałych (materiałów)
ZałoŜenia teorii elektronów swobodnych:
Elektronami przewodnictwa w metalach są elektrony
walencyjne, które zachowują się jak gaz o słabo
oddziałujących cząsteczkach
Swobodne elektrony znajdują
się
w nieustannym,
chaotycznym ruchu, a średnia energia kinetyczna ich
ruchu wynosi 3/2 kT
Elektrony są gazem kwantowym, podlegają statystyce
Fermiego-Diraca oraz zasadzie wykluczania Pauli’ego;
Tylko ułamkowa liczba elektronów (kT/E
F
) ulega
wpływowi pobudzenia energetycznego;
Ruch elektronów w metalu, konduktywność
Ruch elektronów, zjawiska transportu
Zmiana rozkładu statystycznego energii elektronów
(zmiana
funkcji rozkładu)
w wyniku działania pola elektrycznego
k
F
-k
F
k
x
k
y
k
z
k
x
f
0
k
F
k
F
-k
F
k
x
f-f
0
0
0
t
E
e
k
∂
−
=
∂
h
Zewnętrzne pole elektryczne powoduje tylko
przesunięcie kuli Fermiego zgodnie z
gradientem pola; zmiana obejmuje tylko
elektrony o wektorach falowych
k~ k
F
Według de Broglie’a kaŜdą cząstkę materialną moŜna
opisać równaniem fali reprezentowanej przez wektor
falowy
k
; jednocześnie cząstka ta posiada pęd
Zbiór wartości pędów elektronów (3 składowe
p
x
, p
y
, p
z
)
lub wartości wektora falowego (
k
x
, k
y
, k
z
) nazywa się
kulą Fermiego.
W równowadze termodynamicznej
stany energetyczne zajęte przez elektrony znajdują się
wewnątrz kuli Fermiego, pozostałe stany są puste.
k
p
r
h
r
=
Ruch elektronów, zjawiska transportu
Równanie ruchu elektronu pod wpływem pola elektrycznego:
eE
mv
dt
dv
m
d
−
=
+
τ
1
eE
F
−
=
W rzeczywistości
nie obserwujemy ruchu przyspieszonego elektronów
,
poniewaŜ wytracają one część energii
wskutek zderzeń z drgającymi
węzłami sieci krystalicznej
(tzw. rozpraszanie na fononach) oraz
rozpraszania na domieszkach oraz defektach sieci
. Ich ruch w kierunku pola
odbywa się ze stałą średnią prędkością, tzw. prędkością dryfu
v
d
.
Ruch elektronów, zjawiska transportu
jeŜeli dv/dt=0
m
eE
v
d
τ
−
=
d
nev
j
−
=
m
ne
E
j
τ
=
=
γ
2
F
śr
v
l
=
τ
F
śr
mv
ne l
2
=
γ
Z obliczeń wynika, Ŝe
v
d
≈50 m/s
, podczas gdy
v
F
≈10
6
m/s
4K
temp.
w
s
10
τ
300K
temp.
w
s
10
τ
9
14
−
−
≈
≈
m
10
v
τ
m
10
v
τ
3
F
śr
8
F
śr
−
−
≈
×
=
≈
×
=
l
l
Opór elektryczny – zaleŜność temperaturowa
( )
( )
(
)(
)
∫
Θ
−
−
−
Θ
ρ
Θ
=
ρ
T
R
x
x
R
R
dx
e
e
x
T
T
0
5
5
1
1
4
dla niskich temperatur
( )
5
~ T
T
ρ
F
śr
mv
ne l
2
=
γ
Pozornie konduktywność nie zaleŜy od temperatury!!!!
dla wysokich temperatur
( )
T
T ~
ρ
ZaleŜność
Blocha-Grüneisena
charakteryzuje
zaleŜność
temperaturową
rezystywności
w czystych metalach
, kiedy
zakłócenie jest wynikiem przemieszczeń atomów na skutek drgań
związanych ze wzbudzeniem termicznym;
Zmiana
(wzrost)
rezystywności, kiedy atom domieszki zastępuje
atom rozpuszczalnika w macierzystej sieci krystalicznej, moŜe
wynikać:
z zaburzenia w okresowości połoŜenia sąsiednich atomów na
skutek pola odkształcenia otaczającego domieszkę;
ze zmiany potencjału w pozycji węzłowej, który wynika z
wprowadzenia atomu domieszki;
Przewodnictwo stopów
ZałoŜenia:
stop jest dostateczne niskoprocentowy → elektron
przewodnictwa oddziałuje w dowolnej chwili na tylko
jedną domieszkę
stop moŜna traktować jako zawierający dwa dominujące
i niezaleŜne mechanizmy rozpraszania: rozpraszanie
domieszkowe i rozpraszanie fononowe.
Przewodnictwo stopów
(
)
( )
( )
c
T
T
c
d
f
st
ρ
+
ρ
=
ρ
,
Reguła Matthiessena –
A. Matthiessen, C. Vogt 1864
st
st
d
f
st
ττττ
ττττ
ττττ
1
1
1
++++
====
[
]
2
Ze
n
d
d
∆
ρ ~
Przewodnictwo stopów
[
]
A
A
d
x
Cx
−
=
ρ
1
Stopy rozcieńczone
Stopy stęŜone
AuCu
3
i AuCu
– stopy uporządkowane
CuAu
Cu Au
3
Rezystywność defektów struktury
Dla Cu blisko temperatury topnienia (1356K)
rezystywność resztkowa
wakansów
ρ
v
≅ 0.17 ×10
-8
Ωm, a czystej Cu ≅10.3 ×10
-8
Ωm, czyli udział
jest rzędu 1.7%
rezystywność wakansów istotna w dokładnych pomiarach w wyŜszych
temp.,
zawsze waŜna w metalach po silnej obróbce plastycznej
W metalach poddanych silnym odkształceniom plastycznym na zimno
liczba dyslokacji >10
12
cm/cm
3
rezystywność dyslokacji
ρ
dys
= 0.2
µΩcm , ρ
Cu
= 1,69
µΩcm
udział rezystywności dyslokacji istotny nawet w temp. pokojowej
dla miedzi drobnoziarnistej (d
≅0.25 µm)
rezystywność granic ziarnowych
ρ
gz
≈ 0.1×10
-6
Ωcm, rezystywności czystej miedzi ρ
Cu
=1.69 10
-6
Ωcm
w materiałach nanokrystalicznych udział rezystywności granic ziaren
jeszcze bardziej znaczący
Dielektryki
Szerokość pasma wzbronionego
∆E > 5 eV
W dielektryku idealnym brak swobodnych ładunków
W dielektryku rzeczywistym b. mała koncentracja
ładunków swobodnych,
(defekty Frenkla i Schottky’ego
oraz zjonizowane atomy zanieczyszczeń)
Właściwości elektryczne dielektryków zdeterminowane
przez ładunki związane
(jony dodatnie i ujemne w
kryształach jonowych, dipole elektryczne – molekuły o
niesymetrycznej budowie)
Występuje równieŜ „słabe” przewodnictwo dielektryków
rzeczywistych
Dielektryki - parametry
q
q
q
o
∆
+
=
U
U
U
q
C
o
=
0
U
q
q
U
q
C
o
∆
+
=
=
χ
+
=
∆
+
=
=
ε
1
o
o
o
C
C
C
C
C
o
C
C
∆
=
χ
−−−−
−−−−
−−−−
++++
−−−−
0
q
++++
0
q
−−−−
U
++++
++++
++++
++++
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
++++
−−−−
+
++
+
−
−−
−
q
++++
q
−−−−
U
++++
++++
++++
++++
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
+
++
+
+
++
+
+
++
+
+
++
+
+
++
+
+
++
+
+
++
+
−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−
o
q
++++
−−−−
q
∆
++++
−−−−
Podatność elektryczna
Przenikalność elektryczna
Dielektryki – parametry (c.d.)
P
E
E
E
E
D
+
ε
=
χ
ε
+
ε
=
εε
=
0
0
0
0
Indukcja pola elektrycznego
Moment dipola elektrycznego
qd
p
=
P – suma momentów dipolowych
na jednostkę objętości
∑
=
n
i
i
p
P
Dielektryki – podział, rodzaje polaryzacji
Dielektryki moŜna podzielić na trzy grupy:
1. Dielektryki niepolarne
- dielektryki, w których nie występują stałe
dipole elektryczne, co wynika z symetrycznej budowy cząsteczek
dielektryka
2.
Dielektryki polarne
-
dielektryki o asymetrycznej budowie
cząsteczek - występują w nich trwałe dipole.
3.
Ferrodielektryki
(segnetodielektryki) - dielektryki, w których w
pewnym
przedziale
temperatury
następuje
polaryzacja
spontaniczna.
Rodzaje polaryzacji:
Polaryzacja elektronowa (atomowa)
– dotyczy wszystkich rodzajów
dielektryków.
2.
Polaryzacja jonowa
- dotyczy kryształów, w których występują
wiązania jonowe.
3.
Polaryzacja dipolowa (orientacyjna)
– występuje kryształach o
asymetrycznej budowie molekuł.
Dielektryki – polaryzacja elektronowa
2
2
2
2
2
2
4
4
d
r
d
R
q
R
q
F
o
o
C
+
=
=
=
πε
α
πε
sin
'
E
q
F
E
⋅
=
+q
-q
α
α
α
α
d
r
F
C
R
F
E
= q E
F
’
C
= F
C
sin
α
α
α
α
E
Pole elektryczne jądra rzędu 10
11
V/m;
pola zewnętrzne rzędu 10
5
V/m;
d<<r
s
E
15
10
−
≅
τ
Dielektryki – polaryzacja jonowa
β
⋅
∆
=
β
x
F
E
q
F
E
⋅
=
++++
++++
E
1
x
∆
2
x
∆
x
x
∆
+
s
j
13
10
−
≅
τ
-
β
=
α
α
=
∆
=
2
q
E
x
q
p
j
j
j
polaryzowalność jonowa
Dielektryki – polaryzacja dipolowa (orientacyjna)
(dla realnych pól
~ 10
6
V/m
i typowych wartości momentu rzędu
10
-30
Cm
U
max
= 5×10
-24
J
, czyli wielokrotnie mniej, niŜ energia
drgań cieplnych w temp. 300K kT
≈
10
-21
J)
Stopień uporządkowania dipoli w temp. 300K
nieznaczny
!!
p
d
Dipol o momencie
p=qd
znajduje się pod kątem
α
α
α
α
względem pola zewnętrznego
Energia potencjalna dipola :
U =
-p
o
E cos
θθθθ
W zaleŜności od
θθθθ
energia
potencjalna zmienia się od
U
min
= -p
o
E
do
U
max
= p
o
E
;
θ
+ q
-q
E
p
p
co sθ
θθθ
Dielektryki rzeczywiste - przewodnictwo
(1)
U
1
U
2
U
x
1
2
a
b
∆
∆
∆
∆U
U-
∆
∆
∆
∆U
U
E
a
b
Zewnętrzne pole elektryczne zmienia
obraz studni potencjałów
międzywęzłowych
Zwiększa się prawdopodobieństwo
przeskoków jonów do nowych połoŜeń
międzywęzłowych oraz rekombinacji z
wakansami
„Ułatwienie” ruchu jonów dotyczy tylko
kierunku zewnętrznego pola
elektrycznego (zwrot zaleŜy od ładunku
jonu)
Powstaje dryf ładunków w kierunku
pola, czyli
prąd jonowy
1 – przedział temperatur niskich
2 – przedział temperatur wysokich
kT
W
o
e
−
σ
=
σ
Dielektryki rzeczywiste – przewodnictwo
(2)
Dielektryki w polu przemiennym
(
kondensator próŜniowy)
Dielektryk w polu stałym
Mechanizmy polaryzacji
Parametry:
Przenikalność elektryczna
Podatność elektryczna
Polaryzowalność
konduktywność
Dielektryk w polu przemiennym –
(sytuacja praktyczna
, pole o róŜnej częstotliwości)
Zachowanie się dielektryka zaleŜy od relacji stałej
czasowej mechanizmu polaryzacji oraz częstotliwości
pola
Dielektryki niepolarne
Dielektryki polarne
Dielektryki- schematy zastępcze
(1)
Schemat zastępczy dielektryka
- układ elektryczny o
stałych skupionych, którego odpowiedź na wymuszenie
napięciowe (w szerokim przedziale częstotliwości) jest
taka sama jak odpowiedź dielektryka rzeczywistego.
MoŜna utworzyć schemat:
równoległy
szeregowy
Dielektryk niepolarny- schematy zastępczy
I
r
I
U
r
R
r
C
r
o
o
r
R
C
j
C
C
j
ω
ε
ε
ε
1
−
=
−
=
,
,
,
Schemat równoległy zawierający R
r
oraz C
r
opisuje
poprawnie
rzeczywisty dielektryk niepolarny;
r
I
U
r
R
tg
δδδδ
ω
ω
ω
ω
I
∆
o
I
U
s
I
δ
s
CR
I
ω
ε
ε
δ
1
=
=
∆
+
=
,
,
,
o
s
I
I
tg
ε
r
= const.
Dielektryki polarne – schemat zastępczy
(1)
Dielektryki polarne
- dielektryki o asymetrycznej budowie
cząsteczek; cząsteczki te są dipolami elektrycznymi
•
U
I
I
o
∆
+
s
I
I
1
C
1
R
2
C
3
C
4
C
4
R
3
R
2
R
4
o
I
2
o
I
3
o
I
•
•
•
•
•
•
•
•
4
4
4
3
3
3
2
2
2
R
C
R
C
R
C
=
τ
=
τ
=
τ
Dielektryki polarne – schemat zastępczy (2)
1
C
1
R
2
C
2
R
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
+
ω
ω
⋅
−
+
ω
⋅
+
=
ε
−
ε
=
ε
R
C
R
C
C
C
j
R
C
C
C
C
C
j
o
o
o
,,
,
Składowe przenikalności
są funkcjami częstotliwości !!!
ob
o
oc
s
I
I
I
I
I
tg
++++
∆
∆
∆
∆
++++
++++
====
δδδδ
'
'
'
ε
ε
=
δ
tg
I
∆
o
I
U
s
I
δ
orb
I
orc
I
I
3.11.2011 r.
'
ε
'
ε'
ln f
dipolowa
jonowa
elektronowa
akustyczne
radiowe
IR
UV
W
1
ln f
Dielektryki polarne – zaleŜności częstotliwościowe
(5)
Materiały izolacyjne -
parametry
ε
r
– względna przenikalność elektryczna
εεεε
r
≈1 dla dielektryków gazowych
(powietrze - 1.0006; HCl – 1.003)
ε
r
2
÷6 dla dielektryków ciekłych
(olej mineralny – 2.4; olej syntetyczny
C
12
H
5
Cl
5
– 5
εεεε
r
2
÷6 dla dielektryków stałych
(siarka – 3.8; wosk synt. – 5; Ŝywice synt. 3.5
÷6)
ρ
v
- rezystywność skrośna
ρ
v
– obrazuje uporządkowany przepływ ładunków swobodnych
przez objętość dielektryka;
ρ
v
-
największa
dla dielektryków niepolarnych
(powietrze – 10
18
Ω
m; olej min. – 10
12
Ω
m; parafina 10
14
Ω
m)
ρ
v
-
najmniejsza
dla polarnych podatnych na jonizację
(aceton – 10
4
Ω
m; woda destylowana 10
3
Ω
m)
Materiały izolacyjne -
parametry
tg
δ
– kąt
stratności
10
-2
÷ 10
-4
ρ
s
- rezystywność powierzchniowa
ρ
s
-
jest cechą dielektryków stałych (10
7
÷
10
20
Ωm/m)
ρ
s
–
zaleŜy od struktury warstwy wierzchniej i składu materiału oraz
oddziaływania ze środowiskiem
(wilgoć i zanieczyszczenia)
hydrofobizacja (oleje, lakiery i pasty silikonowe)
ρ
s
-
koniecznie duŜa
w układach
WN, ale takŜe mikroelektronicznych
ρ
s
-
jak najmniejsza
, gdy konieczne zapobieganie elektryzacji:
pomieszczenia zagroŜone wybuchem (kopalnie, lakiernie);
maszyny
włókiennicze; odzieŜ;
Materiały izolacyjne -
parametry
K
kr
- wytrzymałość elektryczna
K
kr
-
zmniejsza się (na ogół) ze wzrostem temp.
K
kr
-
ma większą wartość dla cieńszych warstw
K
kr
-
ma
szczególne znaczenie
w układach
WN
K
kr
-
osiąga wartość
1
do
50
kV/mm
τ
- trwałość (klasa izolacji)
starzenie izolacji,
intensywniejsze ze wzrostem temperatury
ϑ -
określa tzw.
klasę izolacji
(czyli dopuszczalną temperaturę pracy
ciągłej, nie powodującą znaczącego pogorszenia właściwości
izolacyjnych materiału w okresie trwałości)
Teoria pasmowa podaje następujący obraz struktury elektronowej
półprzewodników:
Szerokość pasma wzbronionego
∆E < 2 (5)eV;
(granica nieścisła)
W temperaturze 0K
Pasmo walencyjne całkowicie zapełnione;
Pasmo przewodnictwa całkowicie puste;
W temperaturze wyŜszej niŜ 0K (np.: 293 K)
Przejście pewnej liczby elektronów do pasma przewodnictwa
(wskutek
pobudzenia termicznego);
Powstanie takiej samej liczby dodatnio naładowanych miejsc, tzw.
dziur w paśmie walencyjnym;
Półprzewodniki, w których występują jedynie nośniki ładunku
pochodzące z generacji termicznej, nazywają się
samoistnymi
Półprzewodniki samoistne
Półprzewodniki samoistne
Układ pasm
energetycznych
Funkcja
gęstości
stanów
Funkcja
rozkładu
Koncentracja
nośników
Koncentracja nośników samoistnych
kT
E
d
e
g
Ae
n
n
2
−
=
=
Półprzewodniki domieszkowe
Półprzewodnikami samoistnymi są
4 –wartościowe: Si oraz Ge
,
a takŜe związki pierwiastków III i V grupy układu okresowego
;
atomy domieszek
3 – wartościowych
lub
5 – wartościowych
zmieniają
widmo energetyczne półprzewodnika
poziomy domieszkowych atomów lokują się w przerwie energetycznej
półprzewodnika czystego, dlatego domieszki mają decydujący wpływ na
przewodność półprzewodnika
poziomy domieszkowe:
- donorowe
(od domieszek 5 – wartościowych) powstają w górnej
części przerwy energetycznej;
- akceptorowe
(od domieszek 3 – wartościowych) powstają w dolnej
części przerwy energetycznej;
Półprzewodniki domieszkowe
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
P
E
d
E =1,17eV
g
Piąty niezwiązany elektron atomu fosforu
porusza się w znacznej odległości od
rdzenia atomu, energia jego wiązania
wynosi tylko
E
d
≈0,045eV
Energia E
d
jest bardzo mała, E
d
<<E
g
; w temp.
300K wszystkie atomy donorowe są zjonizowane;
koncentracja elektronów donorowych równa jest
koncentracji domieszek N
d
=n
d
E
d
- - - - - -
+ + + + + +
Dominacja przewodnictwa elektronowego –
półprzewodnik typu „n”
Domieszkowanie atomami 3 – wartościowymi – utworzenie poziomów
akceptorowych nieco powyŜej górnej granicy pasma walencyjnego; łatwo
tam przedostają się elektrony walencyjne, a puste miejsca po nich stają się
dziurami (nośnikami dodatnimi)
-
półprzewodnik typu „p”
.
Konduktywność półprzewodników samoistnych
Dla metali
elektronów
ruchliwość
-
µ
µ
τ
neE
E
v
neE
m
E
ne
nev
j
d
d
=
=
=
=
2
Dla
półprzewodników
)
(
;
)
(
;
µ
µ
d
e
d
d
e
e
d
d
e
e
n
n
e
E
j
E
n
n
e
j
µ
µ
γ
µ
µ
+
=
=
+
=
≠
Dla półprzewodników samoistnych w temp.>100K
)
(
T
µ
;
T
µ
d
e
2
3
-
d
d
2
3
-
e
e
α
α
γ
γ
γ
α
α
+
=
=
=
=
−
Ae
e
kT
E
g
0
2
0
Konduktywność półprzewodników domieszkowych
Konduktywność półprzewodników domieszkowych zaleŜy:
1) od koncentracji nośników (zaleŜne od temperatury procesy – generacja
pary „elektron – dziura” oraz jonizacja domieszek)
2) od mechanizmów rozpraszania nośników (takŜe zaleŜne od
temperatury)
W obszarze niskich temperatur moŜna pominąć generację cieplną, wtedy:
W wyŜszych temperaturach koncentracja nośników dorównuje koncentracji
domieszek. Dla jeszcze wyŜszych temperatur zaznacza się generacja
termiczna nośników.
=
=
kT
E
2
3
d
kT
E
2
3
e
a
d
e
T
B
n
;
e
T
A
n
2
2
Konduktywność półprzewodników domieszkowych
Ruchliwość nośników w sposób złoŜony zaleŜy od temperatury:
W zakresie temperatur niskich dominuje rozpraszanie na domieszkach:
W obszarze wysokich temperatur temperatur dominuje rozpraszanie na
fononach (drganiach sieci), wtedy:
stąd
;
T
a
~
2
3
d
−
µ
stąd
;
T
b
~
2
3
T
µ
e
kT
E
dom
2
0
−
γ
=
γ
e
kT
E
g
2
0
−
γ
=
γ
Konduktywność półprzewodników domieszkowych
Magnetyzm i magnetyki
Magnetyczne
momenty protonu i neutronu
są o
trzy
rzędy mniejsze
od magnetycznego
momentu elektronu
.
Magnetyczne właściwości atomu są zatem całkowicie
określone przez
magnetyczne własności elektronów,
przede wszystkim walencyjnych.
(dobre przybliŜenie)
Wszystkie substancje przejawiają aktywność
magnetyczną.
Magnetyzm związany jest z właściwościami cząstek
tworzących ciało stałe.
W niektórych ciałach występuje
namagnesowanie
spontaniczne
(nie jest to jedyny przejaw właściwości
magnetycznych, ale najbardziej
„spektakularny”)
Sumaryczny moment magnetyczny ciała:
M=N×p,
gdzie N – liczba dipoli magnetycznych w jednostce objętości
W zewnętrznym polu nastąpi wzrost indukcji wewnątrz ciała:
B = B
0
+ J =
µ
0
H +
µ
0
M =
µ
0
(H + M)
H
M
H
M
H
o
o
o
o
µ
µ
µ
µ
µ
+
=
+
=
χ
µ
µ
µ
=
+
=
=
H
M
H
M
o
r
1
Magnetyzm i magnetyki
Wewnętrzne namagnesowanie moŜe mieć kierunek
równoległy
do kierunku pola zewnętrznego
(paramagnetyzm,
ferromagnetyzm)
lub
antyrównoległy
(diamagnetyzm)
Magnetyzm i magnetyki
Diamagnetyzm
r
ρρρρ
L
B
∆
∆
∆
∆
p
m
Jedynym skutkiem działania pola magnetycznego na orbitę
elektronową jest
precesja orbity
i wektora p
m
wokół osi
przechodzącej przez środek orbity i równoległej do wektora H;
Magnetyzm i magnetyki
Paramagnetyzm
występuje, gdy całkowity moment atomu lub cząsteczki jest róŜny od zera
kaŜdy atom lub cząsteczka zachowuje się jak elementarny magnes
zewnętrzne pole magnetyczne dąŜy do uporządkowania orientacji
momentów magnetycznych w kierunku pola
ruchy cieplne naruszają to uporządkowanie
B
Magnetyzm i magnetyki
T
χχχχ
Paramagnetyzm
atomów i jonów
(χ
χχχ ≈≈≈≈ 10
-4
)
Paramagnetyzm
gazu elektronowego
(χ
χχχ ≈≈≈≈ 10
-5
)
Diamagnetyzm
(χ
χχχ ≈≈≈≈ Z 10
-6
)
0
Magnetyzm i magnetyki
Substancje diamagnetyczne i paramagnetyczne wykazują
słaby magnetyzm, który moŜe być wykryty za pomocą b.
czułej aparatury.
Diamagnetyzm kryształów
χ ≈
Z·10
-6
;
Paramagnetyzm: kryształów
χ ≈
9·10
-4
elektronów swobodnych:
χ ≈
10
-5
RozwaŜania o magnetycznych właściwościach ciał stałych
moŜnaby zakończyć, gdyby nie zjawisko kolektywnego sprzęŜenia
spinów elektronów w niektórych ciałach.
6
r
10
Z
1
µ
−
×
+
≅
4
r
10
9
1
µ
−
×
+
≅
5
r
10
1
µ
−
+
≅
Magnetyzm i magnetyki
Przyczyna ferromagnetyzmu -
oddziaływania wymienne
pomiędzy atomami, które przejawia się w
równoległym ustawieniu ich momentów magnetycznych
(równoległym ustawieniu spinów elektronów, co jest korzystne energetycznie).
Warunek –
1,5 <a/2r < 3
a – odległość atomów w sieci krystalicznej
2r – średnica niezapełnionej powłoki elektronowej
Fe, Ni, Co, Gd, Er, Dy, Tm (tul), Ho, Tb
6
3
r
10
10
du
rz
1;
µ
÷
>>
ę
Ferromagnetyzm
Spontaniczne, uporządkowane namagnesowanie w domenach
– podobszarach o rozmiarach rzędu 0,1 do 100
µm ,
Magnetyzm i magnetyki
Ferromagnetyzm w ujęciu makroskopowym
2,0
1,5
a/2r
J
antyferromagnetyzm
paramagnetyzm
ferromagnetyzm
Namagnesowanie róŜne od zera, nawet gdy H
zew
=0
(magnetyzm szczątkowy)
Przenikalność zaleŜna od natęŜenia pola zewnętrznego
Utrata właściwości magnetycznych powyŜej temp Curie
Ferromagnetykami są nie tylko
pierwiastki ferromagnetyczne,
ale takŜe stopy złoŜone z
nieferromagnetyków!!!!!
Ferromagnetyzm – właściwość
kryształów
a)
do H~0.01-0.1A/m – spręŜyste i odwracalne przesunięcia
granic domen
b)
od 0.01A/m do H
C
przemieszczanie granic domen i skokowe
zmiany kierunku wektora namagnesowania spontanicznego
c)
µ
max
, skoki Barkhausena
Magnesowanie ferromagnetyka
Magnesowanie ferromagnetyka – pętla histerezy
Indukcja nasycenia
(max. ~2T)
- B
n
Pozostałość magnetyczna -
B
r
NatęŜenia koercji -
(A/m)
H
c
< 100 A/m
ferromagnetyki miękkie
> 10kA/m
ferromagnetyki twarde
Magnesowanie ferromagnetyka – straty mocy
2
2
1
f
B
k
f
B
k
P
P
P
HdB
p
m
w
m
h
w
h
cykl
h
+
⋅
=
+
=
=
∫
α
objętości.
jednostkę
na
)
(
Ferrimagnetyzm
Jony o
róŜnym momencie
magnetycznym, uporządkowane
we wzajemnie przenikające się podsieci krystaliczne
Antyrównoległe uporządkowanie momentów magnetycznych
atomów
(odejmowanie się),
nie powodujące ich całkowitej
kompensacji, ze względu na róŜne wartości tych momentów
i sposób rozmieszczenia atomów
Stosunkowo małe namagnesowanie nasycenia,
w związku z tym równieŜ mała wartość namagnesowania
szczątkowego
występowanie w strukturze ferrimagnetyka duŜej liczby
atomów niemagnetycznych (w większości przypadków
atomów tlenu)
Przykład -
powstawanie niezrównowaŜonego momentu
magnetycznego dla ferrytu o strukturze spinelu.
Pojedyncza komórka spinelu - osiem molekuł
o wzorze ,
zawiera zatem
32 atomy tlenu
,
8 kationów Mn
2+
i
16
kationów
Fe
3+
.
Szkielet komórki tworzą
atomy tlenu
ułoŜone w sieci
regularnej ściennie centrowanej;
Kationy w połoŜeniach tetraedrycznych mają
antyrównoległe momenty magnetyczne w stosunku do
kationów w połoŜeniach oktaedrycznych.
Ferrimagnetyzm
4
3
2
2
1
O
Me
Me
+
+
Ferrimagnetyzm
O
Mn
Ferrimagnetyzm
Jon Mg
2+
jest dostatecznie duŜy (średnica 0.18 nm), by zająć
pozycje (oktaedryczne).
Tylko połowa
jonów Fe
3+
(średnica 0.13 nm), znajduje się w
połoŜeniach oktaedrycznych, połowa natomiast przesunięta jest
w połoŜenia tetraedryczne.
W rezultacie
momenty magnetyczne jonów Fe
3+
znoszą się
,
a
jonów Mn
2+
porządkują się
, powodując namagnesowanie
domeny.
Materiały przewodzące
k
F
-k
F
k
x
k
y
k
z
k
x
f
0
k
F
k
F
-k
F
k
x
f-f
0
0
0
t
E
e
k
∂
−
=
∂
h
Pole zewnętrzne powoduje tylko przesunięcie
kuli Fermiego zgodnie z gradientem pola,
zmiana obejmuje tylko elektrony o wektorach
falowych
k~ k
F
Materiały przewodzące
Zjawiska:
Prądu elektrycznego
Oporu elektrycznego
Temperaturowej zaleŜności oporu
Materiały przewodzące
( )
( )
(
)(
)
∫
Θ
−
−
−
Θ
ρ
Θ
=
ρ
T
R
x
x
R
R
dx
e
e
x
T
T
0
5
5
1
1
4
(T<<Θ
Θ
Θ
Θ
D
)
(((( ))))
(((( ))))
5
Θ
Θ
Θ
Θ
Θ
Θ
Θ
Θ
====
R
R
T
A
T
ρρρρ
ρρρρ
(T>2Θ
Θ
Θ
Θ
D
/3)
( )
( )
R
R
T
T
Θ
Θ
=
ρ
ρ
[
]
A
A
d
x
Cx
−
=
ρ
1
L. Nordheim, 1931
Ag-Au
Cu-Au
Pt-Pd
In-Pb
C
µΩ
µΩ
µΩ
µΩcm
44
56
104
128
Rezystywność stopów
Stopy uporządkowane
FeCo, Fe
3
Al, MgCd, CrPt
3
i FeNi
3
Co-Pt, Cu-Pt i Mn-Pt
AuCu
3
i AuCu
Przewodnictwo stopów stęŜonych
FCS /112
CuAu
Cu Au
3
Stopy uporządkowane
Przewodnictwo stopów stęŜonych
FCS /112