Fizyka i inżynieria

materiałów

Cz.1

wybrane zagadnienia

fizyki ciała stałego

d

d

r hab. in

r hab. in

ż

ż

. Ryszard P

. Ryszard P

awlak

awlak

, prof. P

, prof. P

Ł

Ł

Fizyka Ciała Stałego

FCS /1

I. Wstęp

Istota Fizyki Ciała Stałego, związki z inżynierią
materiałową

II. Budowa ciał stałych

•

Powstawanie ciał stałych

•

Wiązania chemiczne w kryształach:

jonowe,

kowalencyjne, Van der Waalsa, wodorowe.

•

Struktura kryształu:

sieć krystalograficzna,

translacja i symetria, układy krystalograficzne
i sieci Bravais, oznaczenia płaszczyzn i kierunków

krystalograficznych, struktury krystaliczne, sieć

odwrotna, strefy Brillouina,dyfrakcyjne badanie struktur, defekty

kryształów

•

Ciała amorficzne.

Fizyka Ciała Stałego

FCS /2

III. Dynamika sieci i właściwości cieplne

IV. Właściwości elektronowe ciał stałych

•

Teoria elektronów swobodnych

•

Elektronowa teoria pasmowa

V.

Ruch elektronów i zjawiska transportu

•

Metale

VI. Półprzewodniki

VII. Dielektryczne właściwości ciał

VIII. Magnetyzm i magnetyki

IX. Nadprzewodnictwo

Istota Fizyki Ciała Stałego

Fizyka ciała stałego

traktuje o takim stanie materii,

który reprezentuje bardzo duża grupa atomów,
powiązanych chemicznie, tworząc stałe skupiska.

FCS bada jeden z podstawowych stanów materii,
występującej w fazie skondensowanej, zachowującej
objętość i kształt.

I etap „klasyczny”

nauka o elementarnych czynnikach otaczającego świata.

• Badania makroskopowych właściwości ciał i elementów

zjawisk zewnętrznych, obojętny przedmiot badania

Istota Fizyki Ciała Stałego

II etap „Fizyka atomu i cząstek”

-

badanie wyodrębnionych tworów (atom, elektron

swobodny).

Jak jest zbudowana materia?, atomy, elektrony, jony, powstanie
mechaniki kwantowej.

Rozwój Fizyki ciała stałego od ok. 80 lat.

Dlaczego tak późno?

III etap „Fizyka ciała stałego”

•

Składanie poznanych wcześniej elementów w

makroskopowe ciało stałe

•

zastosowanie mechaniki kwantowej i fizyki statystycznej

do wytłumaczenia zjawisk w makroskopowym ciele stałym.

Istota Fizyki Ciała Stałego

Ciało stałe - skupisko wielkiej liczby elementów:

w 1 cm

3

~ 10

23

atomów!!!!!!!!!!

Zastosowanie poważnych metod naukowych do
opisu tak wielkiej liczby atomów ??????

Rozwiazanie problemów –

modele

stworzone dla ciał stałych

Wymaganie dwu zasadniczych ograniczeń:

• ciała składają się z ograniczonej liczby rodzajów atomów

(pierwiastków)

• atomy ułożone w przestrzeni w określony sposób.

JJJJednolity

ednolity

ednolity

ednolity, , , , kwantowy

kwantowy

kwantowy

kwantowy opis

opis

opis

opis zjawisk

zjawisk

zjawisk

zjawisk zachodz

zachodz

zachodz

zachodząąąących

cych

cych

cych w

w

w

w ciele

ciele

ciele

ciele

sta

sta

sta

stałłłłym

ym

ym

ym????

????

????

????

Użyteczne przybliżenia, pozwalające zastosować prawa

fizyki klasycznej, zwłaszcza tam, gdzie doświadczenie

dobrze potwierdza taki klasyczny opis.

Istota Fizyki Ciała Stałego

FCS /7

Elektronika półprzewodników:

od tranzystora do mikroprocesora

Lasery:

telekomunikacja,

zastosowania

technologiczne,

zapis i odczyt informacji, medycyna…

Inżynieria materiałowa:

materiały

żaroodporne,

trudnotopliwe,

ferromagnetyki

i

nadprzewodniki,

materiały

cienkowarstwowe, supersieci,

nanomateriały,

polimery fluorescencyjne i przewodzące, materiały

optyczne.

Zdobycze Fizyki Ciała Stałego

FCS /8

Zdobycze Fizyki Ciała Stałego

FCS /9

Tranzystor ostrzowy

grudzień 1947

Bardeen, Bratain, Schockley

~ 25 mm

360 milionów

tranzystorów !!!!

Mikroprocesor

graficzny

rok 2006

Zdobycze Fizyki Ciała Stałego

FCS /10

Zdobycze Fizyki Ciała Stałego

FCS /11

LASERY

Zdobycze Fizyki Ciała Stałego

FCS /12

LASERY

Zdobycze Fizyki Ciała Stałego

FCS /13

Korekcja soczewki oka

LASERY

Zdobycze Fizyki Ciała Stałego

FCS /14

LASERY

Budowa ciał stałych

FCS /15

Powstawanie ciał stałych:

Ciała stałe powstają z cieczy poprzez zestalanie,

najczęściej w wyniku procesu

krystalizacji.

Centra krystalizacji.

Krystalizacja homogeniczna.

Krystalizacja heterogeniczna.

Ciała stałe polikrystaliczne, składające się z wielu

mniejszych kryształów.

Anizotropia.

Monokryształy.

Budowa ciał stałych

FCS /16

Powstawanie ciał stałych:

Ciała stałe mogą powstawać również poprzez

zwiększenie

lepkości cieczy

przy obniżaniu temperatury.

Brak porządku geometrycznego (może występować w

obrębie najbliższych sasiadów)

Ciała amorficzne

- niezależnie od prędkości schładzania

nie stworzą struktury krystalicznej.

Właściwości izotropowe, np.: wosk, smoła, lak, asfalt.

Szkła - ciała amorficzne,

które uległy zestaleniu,

ponieważ prędkość schładzania była na tyle duża, iż nie

zdążyła powstać struktura krystaliczna.

Budowa ciał stałych

FCS /17

Powstawanie ciał stałych:

Ciała stałe powstałe poprzez

zwiększenie lepkości cieczy

.

Typowy przykład: szkło, które wykazuje cechy

przechłodzonej cieczy; zmiany w długim czasie

Inne ciała amorficzne

zestalone w wyniku szybkiego

schładzania:

szkła metaliczne,

które ogrzane powyżej

temperatury odszklenia (ale nie stopione) ulegają

krystalizacji.

substancje organiczne,

powstające w wyniku procesów

chemicznych, wykazujące w pewnych podobszarach

uporządkowanie struktury typu krystalicznego.

FCS dotyczy zasadniczo ciał krystalicznych

Budowa ciał stałych

FCS /18

Podstawowe problemy budowy ciał stałych:

• siły występujące pomiędzy atomami, czyli

wiązania chemiczne

• sposób ułożenia atomów w ciele stałym, czyli

struktura krystaliczna

także struktura ciał amorficznych i cząsteczkowych

(polimerów)

Budowa ciał stałych -

atom

FCS /19

Atom jest „pusty” !!!

Budowa ciał stałych -

atom

FCS /20

Liczby kwantowe

n – główna liczba kwantowa

1

2 3 4 5 6 7

K L M N O P Q

E = h

νννν =

=

=

= hc/λ

/λ

/λ

/λ

n = 7 (Q)

n = 6 (P)

n = 5 (O)

n = 4 (N)

n = 3 (M)

n = 2 (L)

n = 1 (K)

Budowa ciał stałych -

atom

FCS /21

l – orbitalna liczba kwantowa; l

max

= n-1

0

1 2 3

s

p d f

m – magnetyczna liczba kwantowa; m=2l+1

-l…..(-l+1)……0..…(l-1)……..l

s – spinowa liczba kwantowa

+1/2 -1/2

Budowa ciał stałych -

atom

FCS /22

Zapełnianie warstw i powłok, liczba elektronów

S

ta

n

y

z

d

e

g

e

n

e

ro

w

a

n

e

warstwa s (0) – 1 orbita

2 elektrony

warstwa p (1) – 2 orbity

6 elektrony

warstwa d (2) – 3 orbity

10 elektronów

warstwa f (3) – 4 orbity

14 elektronów

n

K

(1)

1s;

max 2

L

(2)

2s; 2p

max 8

M

(3)

3s 3p 3d

max 18

N

(4)

4s 4p 4d 4f

max 32

O

(5)

5s 5p 5d 5f

P

(6)

6s 6p 6d

Q

(7)

7s

Budowa ciał stałych -

atom

FCS /23

Struktura elektronowa a właściwości ciał

zewnętrzna powłoka –warstwa s lub s i p

pierwiastki elektrododatnie (głównie metale)

pierwiastki elektroujemne (głównie dielektryki)

4 elektrony walencyjne – głównie półprzewodniki

oktet – (także hel) – gazy szlachetne

Elementy mechaniki kwantowej

FCS /24

Pewne niewytłumaczalne fakty z fizyki klasycznej:

 Występowanie liniowych widm emisyjnych

atomów

(sugestia nieciągłych poziomów energetycznych; Planck)

 Dyfrakcja wiązek elektronowych

(fale materii de Broglie’a: z cząsteczką o pędzie

p

r

i

energii

E

r

związana jest z fala monochromatyczna płaska

o wektorze falowym

k

r

i częstości kołowej

πν

ω

2

=

, przy

czym spełnione są związki:

k

p

r

h

r

=

oraz

ω

E

h

=

Elementy mechaniki kwantowej

FCS /25

(

)

(

)

px

Et

i

πνλ

x

ν

h

π

t

ν

h

i

πν

x

ν

kh

t

ν

h

ν

h

πν

i

kx

t

ω

i

e

e

e

e

−

−













−

−













−

−

−

−

Ψ

=

Ψ

=

=

Ψ

=

Ψ

=

Ψ

h

h

1

0

2

2

1

0

2

2

0

0

Równanie Schrödingera

Ψ

+

Ψ

=

Ψ

+

=

+

=

+

=

m

p

V

E

m

p

V

m

v

m

V

mv

V

E

2

2

2

2

2

2

2

2

2

πν

ω

2

=

k

p

r

h

r

=

ω

E

h

=

Elementy mechaniki kwantowej

FCS /26

( )

(

)

dt

d

i

E

E

i

dt

d

dx

d

p

p

p

i

p

i

dx

d

p

i

e

p

i

dx

d

px

Et

i

Ψ

=

Ψ

⇒

Ψ











 −

−

=

Ψ

Ψ

−

=

Ψ

⇒

Ψ

−

=

Ψ













=

Ψ

Ψ

=

Ψ













−

−

=

Ψ

−

−

h

h

h

h

h

h

h

h

h

2

2

2

2

2

2

2

2

1

0

Ψ

+

Ψ

=

Ψ

m

p

V

E

2

2

Elementy mechaniki kwantowej

FCS /27













Ψ

+

Ψ

+

Ψ

−

Ψ

=

Ψ

=

Ψ

Ψ

−

Ψ

=

Ψ

=

Ψ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

dz

d

dy

d

dx

d

m

V

dt

d

i

E

dx

d

m

V

dt

d

i

E

h

h

h

h



20.10.2010 r.

Elementy mechaniki kwantowej

FCS /28

Wnioski z rozwiązania r-nia Schrödingera dla f. falowej:

 Funkcja falowa zależy od współrzędnych

przestrzennych i czasu

 Amplitudy

Ψ

nie można wyznaczyć doświadczalnie



( )





dv

dv

t

r

Ψ

Ψ

=

Ψ

∗

2

,

r

jest prawdopodobieństwem

znalezienia cząstki w czasie t w objętości dv



∫

=

ΨΨ

∗

1

dv

, warunek unormowania – cząstka musi

gdzieś się znajdować w objętości V

Elementy mechaniki kwantowej

FCS /29

X

Z

Y

Φ

Θ

-e

Jądro
+Ze

elektron

r

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ= Ψ

Ψ

Ψ

Ψ(r,Φ,Θ

Φ,Θ

Φ,Θ

Φ,Θ)

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ= R(r),Φ

Φ

Φ

Φ(φφφφ),Θ

Θ

Θ

Θ(θθθθ)

Elementy mechaniki kwantowej

FCS /30

Kierunkowość wiązań

Orbital jest to jednoelektronowa funkcja falowa określająca

stan elektronu w atomie (orbital atomowy) lub cząsteczce

(orbital cząsteczkowy)

Stan elektronu opisany jest przez zespół trzech liczb

kwantowych, które określają jego funkcję falową.

Elementy mechaniki kwantowej

FCS /31

X

Z

Y

m=0

X

Z

Y

X

Z

Y

m=+1

X

Z

Y

m=-1

orbitale s

orbitale p

Elementy mechaniki kwantowej

FCS /32

m=-1

orbitale d

X

Z

Y

m=0

X

X

Z

Z

Y

Y

m=+1

m=-1

X

Z

Y

X

Z

Y

m=+1

Budowa ciał stałych -

wiązania

FCS /33

Siły odpychające -

bliskiego zasięgu

konsekwencja:1

0

- zasady nieoznaczoności; 2

0

– kwantowej natury atomów

ρ

R

e

λ

R

U

−

+

⋅

=

)

(

U

R

R

R

1

2

12

)

(

4

)

(

R

R

U

σ

α

⋅

=

+

Budowa ciał stałych -

wiązania

FCS /34

R

U

U

R

R

O

U

min

Siły przyciągające -

dalekiego zasięgu

konsekwencja: oddziaływania elektromagnetycznego

n

R

b

R

U

)

(

)

(

σ

−

=

−

]

4

[

]

)

(

[

)

(

)

(

)

(

'

12

'

n

n

R

R

b

R

Z

R

b

e

Z

R

U

R

U

R

U

σ

σ

α

σ

λ

ρ

−

⋅

=

=

−

⋅

=

+

=

−

−

+

Budowa ciał stałych -

wiązania

FCS /35

Rodzaje wiązań w kryształach



wiązanie jonowe



wiązanie kowalencyjne



wiązanie metaliczne



wiązanie van der Waalsa



wiązanie wodorowe

Na

+

Cl

-

Wiązanie jonowe

Kryształy jonowe

Budowa ciał stałych -

wiązania

FCS /36

ij

ij

R

q

U

2

−

=

−

R

A

q

R

p

q

U

U

ij

j

ij

i

2

2

1

−

=

∑

±

=

∑

=

−

ij

ij

p

R

R

⋅

=

∑

±

=

j

ij

p

A

1

- stała Madelunga

Budowa ciał stałych -

wiązania

FCS /37

Na + 5,14 eV

Na

+

+ 1e

Cl + 1e

Cl

-

+ 3,71 eV

Końcowy zysk energetyczny z przyciągania jonów Na

+

oraz Cl

-

= 4,51 eV – 1,43 eV = 3,08 eV

Budowa ciał stałych -

wiązania

FCS /38

Wiązanie kowalencyjne

W cząsteczce wodoru (2 atomy) uwspólnienie elektronów
prowadzi do zwiększenia gęstości chmury elektronowej
pomiędzy jądrami.

Jest to

oddziaływanie wymienne

pomiędzy atomami; mówimy

o

siłach wymiany

oraz

energii wymiany.

W cząsteczce wodoru wywołuje to zmniejszenie energii
układu i powstanie sił przyciągania pomiędzy jądrami.

Ogólnie oddziaływanie wymienne może przejawiać się
zarówno przez powstanie sił przyciągania (energetycznie
korzystne), jak i odpychania między zbliżającymi się
atomami, co zależy od spinów elektronów.

Budowa ciał stałych -

wiązania

FCS /38

R

r

a1

r

a2

r

b2

r

12

r

b1

Oddziaływania wymienne – model
dwuelektronowy atomu wodoru

Budowa ciał stałych -

wiązania

FCS /38

S

A

C

E

E

S

A

C

E

E

I

t

I

s

−

−

+

=

+

+

+

=

1

2

1

2

wymiany

całka

-

A

ia

przekrywan

całka

-

S

ie)

kulombowsk

ie

przyciągan

lub

e

(odpychani

a

kulombowsk

całka

-

C

m

podstawowy

stanie

w

ym

odosobnion

atomie

w

elektronu

energia

−

I

E

Oddziaływanie wymienne prowadzi do powstania dwu
możliwych wartości energii

(dla pary elektronów)

:

Budowa ciał stałych -

wiązania

FCS /38

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

∫

∫

∫

∗

∗

∗

∗

Φ

Φ

Φ

Φ

=

Φ

Φ

Φ

Φ













−

−

+

πε

=

Φ

Φ













−

−

+

πε

=

2

3

1

3

2

3

1

3

1

2

12

0

2

2

3

1

3

2

2

1

2

12

0

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

4

2

1

1

1

1

1

4

r

d

r

d

S

r

d

r

d

r

r

r

R

e

A

r

d

r

d

r

r

r

R

e

C

B

B

A

A

B

B

A

A

B

A

AB

B

A

B

A

AB

Oddziaływania wymienne

Budowa ciał stałych -

wiązania

FCS /38

S

A

C

E

E

S

A

C

E

E

I

t

I

s

−

−

+

=

+

+

+

=

1

2

1

2

Wszystkie całki są

zależne od odległości jąder

atomowych

R

, zatem energia całkowita elektronów też

zależy od

R;

stan podstawowy

pierwszy stan
wzbudzony

W obrazie dwuelektronowym energia pojedynczego

elektronu jest nieokreślona,

określona jest energia

całkowita obu elektronów

Budowa ciał stałych -

wiązania

FCS /38

U(R)

R

U

mi

Oddziaływania wymienne

2

1

2

S

A

CS

J

E

E

s

t

−

−

=

−

=

−

S

A

C

E

E

S

A

C

E

E

I

t

I

s

−

−

+

=

+

+

+

=

1

2

1

2

A)

wymiany

całki

od

(zależna

wymiany

stała

-

J

Od wartości stałej wymiany

J

zależy, czy poziom

energetyczny dla dwu elektronów o spinach równoległych
wywołuje obniżenie energii.

Budowa ciał stałych -

wiązania

FCS /38

Obniżenie energii przy równoległych spinach powstaje dla
większej odległości od tej, dla której powstaje silne
wiązanie (kowalencyjne).

Budowa ciał stałych -

wiązania

FCS /38

Budowa ciał stałych -

wiązania

FCS /39

Wiązanie metaliczne

„jony”
(jądra + elektrony
z powłok wewnętrznych)

elektrony

Budowa ciał stałych -

wiązania

FCS /40

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

siły Van der Waalsa

Wiązania van der Waalsa

Typ wiązania

w krysztale

Przykład

Energia

wiązania w

e V/atom

Własności charakterystyczne kryształu

Jonowe

Ag Cl

Li F

K Cl

Na Cl

10.2
10.5

7.2
7.9

Duża twardość, wysoka temperatura topnienia,
słabe przewodnictwo w niskich temperaturach,
dość dobre przewodnictwo jonowe w wysokich
temperaturach

Walencyjne

C

G e

S i

7.4
3.9
4.6

Duża

twardość,

w

bardzo

niskich

temperaturach

nie

przewodzą

prądu,

w

wysokich

temperaturach

stają

się

przewodnikami

Metaliczne

C u

Ag

F e

P b

3.5
2.9
4.1
2.0

Plastyczność kryształów, dobre przewodnictwo
elektryczne, możliwość tworzenia stopów

Wodorowe

H

2

O

HF

0.52
0.31

Wykazują tendencję do polimeryzacji

Molekularne

Ne

Ar
Kr

0.02
0.08
0.12

Niska temperatura topnienia i wrzenia, duża
ściśliwość

Budowa ciał stałych -

wiązania

FCS /41

Budowa ciał stałych -

struktura krystaliczna

14 typów sieci krystalicznych

7 układów krystalograficznych

, zbudowanych na figurach geometrycznych

- komórki prymitywne.

7 dodatkowych układów krystalograficznych

, poprzez umieszczenie

dodatkowych węzłów sieci na przecięciu się przekątnych głównych
komórki prymitywnej lub na przecięciu się przekątnych ścian bocznych.

T

Struktura

RSC

R

egularna

Ś

ciennie

C

entrowana

Budowa ciał stałych -

struktura krystaliczna

Struktura

RPC

R

egularna

P

rzestrzennie

C

entrowana

Struktura heksagonalna;
(np.: grafit c/a=2.717)

Budowa ciał stałych -

struktura krystaliczna

Luki

Luki

tetraedryczne

tetraedryczne

Luka

Luka

oktaedryczna

oktaedryczna

Płaszczyzna najgęstszego

upakowania

A

B

C

Budowa ciał stałych -

struktura krystaliczna

Struktura diamentu

A4

Polimorfizm – zdolność substancji do krystalizowania
w różne układy krystalograficzne

diament

najtwardszy (10 w skali Mohsa)

gęstość 3.5 g/cm

3

dielektryk

grafit

miękki (1 w skali Mohsa)

gęstość 2.1 g/cm

3

dobrze przewodzi prąd

Cyna biała

– metal, struktura tetragonalna centrowana przestrzennie,

gęstość 7.3 g/cm

3

, stabilna powyżej 13

o

C

Cyna szara

– struktura diamentu, półprzewodnik, gęstość 5.8 g/cm

3

,

stabilna poniżej 13

o

C

Budowa ciał stałych -

struktura krystaliczna

Właściwości rzeczywistych ciał stałych silnie

zależą od różnorodnych

„odstępstw”

od idealnej

budowy, czyli

defektów struktury

Struktura krystaliczna

- defekty

Defekty punktowe

Struktura krystaliczna

- defekty

defekt Schottky’ego

atom międzywęzłowy

defekt Frenkla

domieszki substytucyjne
i międzywęzłowe

Defekty liniowe kryształów

Dyslokacja krawędziowa (liniowa)

Jak dużo jest defektów?

Defekty punktowe

Dla miedzi w pobliżu temperatury topnienia (1356 K)
udział wakansów wynosi ok. 0,1 % at., co oznacza, iż

1 atom na ok. 1300

nie jest na

„swoim”

miejscu

Struktura krystaliczna

- defekty

Dyslokacje liniowe

w metalach wyżarzonych rzędu

10

6

linii/cm

3

,

po silnych odkształceniach plastycznych

>10

12

linii/cm

3

Istnienie dyslokacji tłumaczy, dlaczego obserwowane
wytrzymałości mechaniczne materiałów są 10

3

-10

4

razy

mniejsze od teoretycznych (materiałów bez defektów).

Struktura krystaliczna

- defekty

Gęstość dyslokacji

Metale powoli chłodzone: 103 mm-2

Metale silnie zdeformowane: 109-1010
mm-2

Metale wygrzewane: 105-106 mm-2

Ceramika: 102-104 mm-2

Kryształy jonowe: ≈ 103 mm-2

Monokrystaliczny krzem: 0.1-1 mm-2

Defekty przestrzenne kryształów

Dyslokacja śrubowa

Inne defekty kryształów

Błędy ułożenia

Granice ziaren

Powierzchnie zewnętrzne

Ciała niekrystaliczne - polimery

Cechy polimerów



Mery silnie powiązane w długie łańcuchy, dzięki skłonności

do uwspólniania par elektronów (silne wiązania kowalencyjne)



Elektrony związane w obrębie makrocząsteczki, pomiędzy łańcuchami

na ogół oddziaływania słabe (sieciowanie)



Niewielki stopień usieciowania – duża podatność do odkształceń

nietrwałych –

elastomery

(guma)



Termoplasty



Termoutwardzalne

(duże możliwości modyfikacji właściwości)

Polimery –

materiały organiczne zbudowane ze związków

węgla, wodoru i pierwiastkow

niemetalicznych

Ciała niekrystaliczne - polimery

atom C

atom H

E

f(E)

1

E

F

Potencjał chemiczny

µ

określa wartość energii, o jaką zwiększy

się całkowita energia ciała po dodaniu jednej cząstki;

Energia Fermiego

– wartość energii, która oddziela obszar

stanów zajętych, od obszaru stanów pustych;

T

→0 K;

dla E>E

F

; f(E)

→0

Elektrony w ciele stałym - statystyka

Prawdopodobieństwo zajmowania przez

fermiony

(elektrony)

określonego poziomu energii w ciele stałym

opisuje

funkcja rozkładu Fermiego-Diraca

:

1

1

+

=

µ

−

kT

E

e

)

E

(

f

E

f(E)

1

E

F

E +0.1 eV

F

E -0.1 eV

F

300 K

1000 K

W temperaturze

T>0 K

;

dla E > E

F

; f(E)

< 1/2

dla E

< E

F

; f(E) > 1/2

T=300 K; kT~2.6×10

-2

eV

T=1000 K; kT~9×10

-2

eV

Elektrony w ciele stałym - statystyka

Elektrony swobodne w ciele stałym

+

+

+

+

+

+

E

E=E’-V

o

I

Przybliżenie jednoelektronowe

-

pojedynczy elektron w

statycznym potencjale periodycznym, utworzonym przez
dodatnie rdzenie atomowe i pozostałe elektrony (

potencjał

rdzeni atomowych jest jakby „złagodzony”, ponieważ jest
ekranowany przez pozostałe elektrony)

Warto

Warto

ś

ś

ci w

ci w

ł

ł

asne

asne

energii elektronu w atomie

energii elektronu w atomie

,

m

2

k

E

2

2

h

=

Elektrony w ciele stałym

Z rozważań elektronu w studni stałego potencjału - dyskretne,
skwantowane wartości energii elektronu, odpowiadające
energiom elektronów w pojedynczym atomie.
Jeżeli atomy znajdują się w dużej odległości - w każdym z
nich takie same poziomy energii potencjalnej elektronów.

V= 0

V

V

1s

1

2s

2

3s

1

3s

1

2p

6

2p

6

2s

2

1s

1

x> > a

Na

Na

Zbliżanie atomów na odległość rzędu stałej sieci

→ oddziaływanie i

rozszczepienie

poziomów energetycznych

na szereg podpoziomów,

nieznacznie od siebie odległych

(zakaz Pauliego).

 W atomie sodu w

paśmie s

- 2 elektrony, w

paśmie p

- 6 elektronów;

w krysztale z n atomów -

2n oraz 6n elektronów

.

V

1s

2s

3s

2p

x= a

Na

Na

Na

Na

Elektrony w ciele stałym

Szerokość pasma rzędu

1 eV

, liczba atomów w 1 cm

3

rzędu

10

23

, różnice pomiędzy podpoziomami:

10-

23

eV

.

 Prawie ciągłe widmo energii w granicach pasma.

 Rozszczepienie mniejsze na niższych poziomach,
ponieważ słabsze wzajemne oddziaływanie sąsiadów.

Elektrony w ciele stałym

Elektrony w sieci krystalicznej

Twierdzenie Blocha

W krysztale funkcja falowa elektronu jest falą płaską,

modulowaną przez funkcję okresową.

Z twierdzenia Blocha wynika m.in., że w

idealnej sieci

krystalicznej

w

temp. 0 K

elektrony

poruszają się bez

przeszkód.

Czynnik wykładniczy odzwierciedla swobodę poruszania się
elektronu w krysztale.

Czynnik okresowy przypomina o powiązaniach elektronu z
jądrami (rdzeniami atomowymi).

=

Ψ )

r

(

r

r

ik

e

r

⋅

)

r

(

u

r

Elektrony w sieci krystalicznej

Model elektronów swobodnych - dość grube przybliżenie
rzeczywistej sytuacji w krysztale, ponieważ:

 zamienia rzeczywisty potencjał sieci na potencjał stały
 pomija rzeczywisty układ jonów sieci.

Bardziej realistyczne modele

Oddziaływanie wzajemne elektronów

uwzględnia się poprzez

rozważanie elektronu w polu uśrednionym, pochodzącym od
pozostałych elektronów, niezależnym od ich położenia
chwilowego.

Oddziaływanie rdzeni atomowych

uwzględnia się m.in. w

przybliżeniu słabego wiązania (model elektronów prawie
swobodnych).

Model elektronów prawie swobodnych

Jednowymiarowy model Kröniga - Penneya

V

o

0

b

b+ c

-c

X

E

Elektrony w sieci krystalicznej

Równanie
Schrödingera dla
modelu Kröniga –
Penneya daje
rozwiązania w postaci
nieciągłej funkcji
falowej elektronu w
krysztale.

Widmo energii składa
się z

pasm

(przedziałów)

zabronionych

oraz

dozwolonych.

0

π/c

2π/c

k

k

−π/c

π/c

0

E

E

Elektrony w sieci krystalicznej

Pasma energetyczne



Dla dowolnego kierunku w krysztale

odległość

c

między barierami jest inna;



Granice pasm dla różnych kierunków są różne

i nie pokrywają się ze sobą.

,

c

π

k

c

π

≤

≤

−

c

2π

k

c

π

oraz

,

c

π

k

c

2π

≤

≤

≤

≤

−

0

π/c

2π/c

−π/c

π/c

0

E

E

E

Elektrony w sieci krystalicznej

E

dielektryk przewodnik

półprzewodnik

Pasma wewnętrzne
„(całkowicie zapełnione)

Pasma
zabronione

Pasma
walencyjne

Pasma
przewodnictwa

0

Elektrony w sieci krystalicznej

Struktura pasmowa – metale; powierzchnia Fermiego

Znajomość kształtu powierzchni Fermiego bardzo ważna!

Elektrony w sieci krystalicznej

Struktura pasmowa – półprzewodniki

Właściwości ciał stałych:

•

elektronowe

•

zależne od dynamiki sieci krystalicznej

(ciepło

właściwe, prędkość dźwięku, rozszerzalność termiczna
oraz

przewodnictwo

ciepła

izolatorów

i

półprzewodników.

Oddzielne rozważanie tych dwu grup właściwości.

Uzasadnienie:

znacznie większa masa rdzeni atomowych

(jądra wraz z zapełnionymi powłokami elektronowymi) oraz
ich znacznie wolniejszy ruch, niż elektronów.

Właściwości makroskopowe ciał stałych (materiałów)

Założenia teorii elektronów swobodnych:

Elektronami przewodnictwa w metalach są elektrony
walencyjne, które zachowują się jak gaz o słabo
oddziałujących cząsteczkach



Swobodne elektrony znajdują

się

w nieustannym,

chaotycznym ruchu, a średnia energia kinetyczna ich
ruchu wynosi 3/2 kT



Elektrony są gazem kwantowym, podlegają statystyce

Fermiego-Diraca oraz zasadzie wykluczania Pauli’ego;



Tylko ułamkowa liczba elektronów (kT/E

F

) ulega

wpływowi pobudzenia energetycznego;

Ruch elektronów w metalu, konduktywność

Ruch elektronów, zjawiska transportu

Zmiana rozkładu statystycznego energii elektronów

(zmiana

funkcji rozkładu)

w wyniku działania pola elektrycznego

k

F

-k

F

k

x

k

y

k

z

k

x

f

0

k

F

k

F

-k

F

k

x

f-f

0

0

0

t

E

e

k

∂

−

=

∂

h

Zewnętrzne pole elektryczne powoduje tylko
przesunięcie kuli Fermiego zgodnie z
gradientem pola; zmiana obejmuje tylko
elektrony o wektorach falowych

k~ k

F

Według de Broglie’a każdą cząstkę materialną można
opisać równaniem fali reprezentowanej przez wektor
falowy

k

; jednocześnie cząstka ta posiada pęd

Zbiór wartości pędów elektronów (3 składowe

p

x

, p

y

, p

z

)

lub wartości wektora falowego (

k

x

, k

y

, k

z

) nazywa się

kulą Fermiego.

W równowadze termodynamicznej

stany energetyczne zajęte przez elektrony znajdują się

wewnątrz kuli Fermiego, pozostałe stany są puste.

k

p

r

h

r

=

Ruch elektronów, zjawiska transportu

Równanie ruchu elektronu pod wpływem pola elektrycznego:

eE

mv

dt

dv

m

d

−

=

+

τ

1

eE

F

−

=

W rzeczywistości

nie obserwujemy ruchu przyspieszonego elektronów

,

ponieważ wytracają one część energii

wskutek zderzeń z drgającymi

węzłami sieci krystalicznej

(tzw. rozpraszanie na fononach) oraz

rozpraszania na domieszkach oraz defektach sieci

. Ich ruch w kierunku pola

odbywa się ze stałą średnią prędkością, tzw. prędkością dryfu

v

d

.

Ruch elektronów, zjawiska transportu

jeżeli dv/dt=0

m

eE

v

d

τ

−

=

d

nev

j

−

=

m

ne

E

j

τ

=

=

γ

2

F

śr

v

l

=

τ

F

śr

mv

ne l

2

=

γ

Z obliczeń wynika, że

v

d

≈50 m/s

, podczas gdy

v

F

≈10

6

m/s

4K

temp.

w

s

10

τ

300K

temp.

w

s

10

τ

9

14

−

−

≈

≈

m

10

v

τ

m

10

v

τ

3

F

śr

8

F

śr

−

−

≈

×

=

≈

×

=

l

l

Opór elektryczny – zależność temperaturowa

( )

( )

(

)(

)

∫

Θ

−













−

−

Θ

ρ













Θ

=

ρ

T

R

x

x

R

R

dx

e

e

x

T

T

0

5

5

1

1

4

dla niskich temperatur

( )

5

~ T

T

ρ

F

śr

mv

ne l

2

=

γ

Pozornie konduktywność nie zależy od temperatury!!!!

dla wysokich temperatur

( )

T

T ~

ρ



Zależność

Blocha-Grüneisena

charakteryzuje

zależność

temperaturową

rezystywności

w czystych metalach

, kiedy

zakłócenie jest wynikiem przemieszczeń atomów na skutek drgań
związanych ze wzbudzeniem termicznym;

Zmiana

(wzrost)

rezystywności, kiedy atom domieszki zastępuje

atom rozpuszczalnika w macierzystej sieci krystalicznej, może
wynikać:



z zaburzenia w okresowości położenia sąsiednich atomów na

skutek pola odkształcenia otaczającego domieszkę;



ze zmiany potencjału w pozycji węzłowej, który wynika z

wprowadzenia atomu domieszki;

Przewodnictwo stopów

Założenia:



stop jest dostateczne niskoprocentowy → elektron

przewodnictwa oddziałuje w dowolnej chwili na tylko
jedną domieszkę



stop można traktować jako zawierający dwa dominujące

i niezależne mechanizmy rozpraszania: rozpraszanie
domieszkowe i rozpraszanie fononowe.

Przewodnictwo stopów

(

)

( )

( )

c

T

T

c

d

f

st

ρ

+

ρ

=

ρ

,

Reguła Matthiessena –

A. Matthiessen, C. Vogt 1864

st

st

d

f

st

ττττ

ττττ

ττττ

1

1

1

++++

====

[

]

2

Ze

n

d

d

∆

ρ ~

Przewodnictwo stopów

[

]

A

A

d

x

Cx

−

=

ρ

1

Stopy rozcieńczone

Stopy stężone

AuCu

3

i AuCu

– stopy uporządkowane

CuAu

Cu Au

3

Rezystywność defektów struktury

Dla Cu blisko temperatury topnienia (1356K)

rezystywność resztkowa

wakansów

ρ

v

≅ 0.17 ×10

-8

Ωm, a czystej Cu ≅10.3 ×10

-8

Ωm, czyli udział

jest rzędu 1.7%

rezystywność wakansów istotna w dokładnych pomiarach w wyższych
temp.,

zawsze ważna w metalach po silnej obróbce plastycznej

W metalach poddanych silnym odkształceniom plastycznym na zimno
liczba dyslokacji >10

12

cm/cm

3

rezystywność dyslokacji

ρ

dys

= 0.2

µΩcm , ρ

Cu

= 1,69

µΩcm

udział rezystywności dyslokacji istotny nawet w temp. pokojowej

dla miedzi drobnoziarnistej (d

≅0.25 µm)

rezystywność granic ziarnowych

ρ

gz

≈ 0.1×10

-6

Ωcm, rezystywności czystej miedzi ρ

Cu

=1.69 10

-6

Ωcm

w materiałach nanokrystalicznych udział rezystywności granic ziaren
jeszcze bardziej znaczący

Dielektryki



Szerokość pasma wzbronionego

∆E > 5 eV



W dielektryku idealnym brak swobodnych ładunków



W dielektryku rzeczywistym b. mała koncentracja

ładunków swobodnych,

(defekty Frenkla i Schottky’ego

oraz zjonizowane atomy zanieczyszczeń)



Właściwości elektryczne dielektryków zdeterminowane

przez ładunki związane

(jony dodatnie i ujemne w

kryształach jonowych, dipole elektryczne – molekuły o
niesymetrycznej budowie)



Występuje również „słabe” przewodnictwo dielektryków

rzeczywistych

Dielektryki - parametry

q

q

q

o

∆

+

=

U

U

U

q

C

o

=

0

U

q

q

U

q

C

o

∆

+

=

=

χ

+

=

∆

+

=

=

ε

1

o

o

o

C

C

C

C

C

o

C

C

∆

=

χ

−−−−

−−−−

−−−−

++++

−−−−

0

q

++++

0

q

−−−−

U

++++

++++

++++

++++

−−−−
−−−−

−−−−

−−−−

++++

−−−−

+

++

+

−

−−

−

q

++++

q

−−−−

U

++++

++++

++++

++++

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

+

++

+

+

++

+

+

++

+

+

++

+

+

++

+

+

++

+

+

++

+

−

−−

−

−

−−

−

−

−−

−

−

−−

−

−

−−

−

−

−−

−

−

−−

−

o

q

++++

−−−−

q

∆

++++

−−−−

Podatność elektryczna

Przenikalność elektryczna

Dielektryki – parametry (c.d.)

P

E

E

E

E

D

+

ε

=

χ

ε

+

ε

=

εε

=

0

0

0

0

Indukcja pola elektrycznego

Moment dipola elektrycznego

qd

p

=

P – suma momentów dipolowych

na jednostkę objętości

∑

=

n

i

i

p

P

Dielektryki – podział, rodzaje polaryzacji

Dielektryki można podzielić na trzy grupy:

1. Dielektryki niepolarne

- dielektryki, w których nie występują stałe

dipole elektryczne, co wynika z symetrycznej budowy cząsteczek
dielektryka

2.

Dielektryki polarne

-

dielektryki o asymetrycznej budowie

cząsteczek - występują w nich trwałe dipole.

3.

Ferrodielektryki

(segnetodielektryki) - dielektryki, w których w

pewnym

przedziale

temperatury

następuje

polaryzacja

spontaniczna.

Rodzaje polaryzacji:

Polaryzacja elektronowa (atomowa)

– dotyczy wszystkich rodzajów

dielektryków.

2.

Polaryzacja jonowa

- dotyczy kryształów, w których występują

wiązania jonowe.

3.

Polaryzacja dipolowa (orientacyjna)

– występuje kryształach o

asymetrycznej budowie molekuł.

Dielektryki – polaryzacja elektronowa

2

2

2

2

2

2

4

4

d

r

d

R

q

R

q

F

o

o

C

+

=

=

=

πε

α

πε

sin

'

E

q

F

E

⋅

=

+q

-q

α

α

α

α

d

r

F

C

R

F

E

= q E

F

’

C

= F

C

sin

α

α

α

α

E

Pole elektryczne jądra rzędu 10

11

V/m;

pola zewnętrzne rzędu 10

5

V/m;

d<<r

s

E

15

10

−

≅

τ

Dielektryki – polaryzacja jonowa

β

⋅

∆

=

β

x

F

E

q

F

E

⋅

=

++++

++++

E

1

x

∆

2

x

∆

x

x

∆

+

s

j

13

10

−

≅

τ

-

β

=

α

α

=

∆

=

2

q

E

x

q

p

j

j

j

polaryzowalność jonowa

Dielektryki – polaryzacja dipolowa (orientacyjna)

(dla realnych pól

~ 10

6

V/m

i typowych wartości momentu rzędu

10

-30

Cm

U

max

= 5×10

-24

J

, czyli wielokrotnie mniej, niż energia

drgań cieplnych w temp. 300K kT

≈

10

-21

J)

Stopień uporządkowania dipoli w temp. 300K

nieznaczny

!!

p

d

Dipol o momencie

p=qd

znajduje się pod kątem

α

α

α

α

względem pola zewnętrznego

Energia potencjalna dipola :

U =

-p

o

E cos

θθθθ

W zależności od

θθθθ

energia

potencjalna zmienia się od

U

min

= -p

o

E

do

U

max

= p

o

E

;

θ

+ q

-q

E

p

p

co sθ

θθθ

Dielektryki rzeczywiste - przewodnictwo

(1)

U

1

U

2

U

x

1

2

a

b

∆

∆

∆

∆U

U-

∆

∆

∆

∆U

U

E

a

b



Zewnętrzne pole elektryczne zmienia

obraz studni potencjałów
międzywęzłowych



Zwiększa się prawdopodobieństwo

przeskoków jonów do nowych położeń
międzywęzłowych oraz rekombinacji z
wakansami



„Ułatwienie” ruchu jonów dotyczy tylko

kierunku zewnętrznego pola
elektrycznego (zwrot zależy od ładunku
jonu)



Powstaje dryf ładunków w kierunku

pola, czyli

prąd jonowy

1 – przedział temperatur niskich

2 – przedział temperatur wysokich

kT

W

o

e

−

σ

=

σ

Dielektryki rzeczywiste – przewodnictwo

(2)

Dielektryki w polu przemiennym

(

kondensator próżniowy)

Dielektryk w polu stałym



Mechanizmy polaryzacji



Parametry:

 Przenikalność elektryczna
 Podatność elektryczna
 Polaryzowalność
 konduktywność

Dielektryk w polu przemiennym –

(sytuacja praktyczna

, pole o różnej częstotliwości)



Zachowanie się dielektryka zależy od relacji stałej
czasowej mechanizmu polaryzacji oraz częstotliwości
pola



Dielektryki niepolarne



Dielektryki polarne

Dielektryki- schematy zastępcze

(1)

Schemat zastępczy dielektryka

- układ elektryczny o

stałych skupionych, którego odpowiedź na wymuszenie

napięciowe (w szerokim przedziale częstotliwości) jest

taka sama jak odpowiedź dielektryka rzeczywistego.

Można utworzyć schemat:



równoległy



szeregowy

Dielektryk niepolarny- schematy zastępczy

I

r

I

U

r

R

r

C

r

o

o

r

R

C

j

C

C

j

ω

ε

ε

ε

1

−

=

−

=

,

,

,

Schemat równoległy zawierający R

r

oraz C

r

opisuje

poprawnie

rzeczywisty dielektryk niepolarny;

r

I

U

r

R

tg

δδδδ

ω

ω

ω

ω

I

∆

o

I

U

s

I

δ

s

CR

I

ω

ε

ε

δ

1

=

=

∆

+

=

,

,

,

o

s

I

I

tg

ε

r

= const.

Dielektryki polarne – schemat zastępczy

(1)

Dielektryki polarne

- dielektryki o asymetrycznej budowie

cząsteczek; cząsteczki te są dipolami elektrycznymi

•

U

I

I

o

∆

+

s

I

I

1

C

1

R

2

C

3

C

4

C

4

R

3

R

2

R

4

o

I

2

o

I

3

o

I

•

•

•

•

•

•

•

•

4

4

4

3

3

3

2

2

2

R

C

R

C

R

C

=

τ

=

τ

=

τ

Dielektryki polarne – schemat zastępczy (2)

1

C

1

R

2

C

2

R

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

+

ω

ω

⋅

−

+

ω

⋅

+

=

ε

−

ε

=

ε

R

C

R

C

C

C

j

R

C

C

C

C

C

j

o

o

o

,,

,

Składowe przenikalności

są funkcjami częstotliwości !!!

ob

o

oc

s

I

I

I

I

I

tg

++++

∆

∆

∆

∆

++++

++++

====

δδδδ

'

'

'

ε

ε

=

δ

tg

I

∆

o

I

U

s

I

δ

orb

I

orc

I

I



3.11.2011 r.

'

ε

'

ε'

ln f

dipolowa

jonowa

elektronowa

akustyczne

radiowe

IR

UV

W

1

ln f

Dielektryki polarne – zależności częstotliwościowe

(5)

Materiały izolacyjne -

parametry

ε

r

– względna przenikalność elektryczna



εεεε

r

≈1 dla dielektryków gazowych

(powietrze - 1.0006; HCl – 1.003)



ε

r

2

÷6 dla dielektryków ciekłych

(olej mineralny – 2.4; olej syntetyczny

C

12

H

5

Cl

5

– 5



εεεε

r

2

÷6 dla dielektryków stałych

(siarka – 3.8; wosk synt. – 5; żywice synt. 3.5

÷6)

ρ

v

- rezystywność skrośna



ρ

v

– obrazuje uporządkowany przepływ ładunków swobodnych

przez objętość dielektryka;



ρ

v

-

największa

dla dielektryków niepolarnych

(powietrze – 10

18

Ω

m; olej min. – 10

12

Ω

m; parafina 10

14

Ω

m)



ρ

v

-

najmniejsza

dla polarnych podatnych na jonizację

(aceton – 10

4

Ω

m; woda destylowana 10

3

Ω

m)

Materiały izolacyjne -

parametry

tg

δ

– kąt

stratności

10

-2

÷ 10

-4

ρ

s

- rezystywność powierzchniowa



ρ

s

-

jest cechą dielektryków stałych (10

7

÷

10

20

Ωm/m)



ρ

s

–

zależy od struktury warstwy wierzchniej i składu materiału oraz

oddziaływania ze środowiskiem

(wilgoć i zanieczyszczenia)

hydrofobizacja (oleje, lakiery i pasty silikonowe)



ρ

s

-

koniecznie duża

w układach

WN, ale także mikroelektronicznych



ρ

s

-

jak najmniejsza

, gdy konieczne zapobieganie elektryzacji:

pomieszczenia zagrożone wybuchem (kopalnie, lakiernie);
maszyny

włókiennicze; odzież;

Materiały izolacyjne -

parametry

K

kr

- wytrzymałość elektryczna



K

kr

-

zmniejsza się (na ogół) ze wzrostem temp.



K

kr

-

ma większą wartość dla cieńszych warstw



K

kr

-

ma

szczególne znaczenie

w układach

WN



K

kr

-

osiąga wartość

1

do

50

kV/mm



τ

- trwałość (klasa izolacji)



starzenie izolacji,

intensywniejsze ze wzrostem temperatury



ϑ -

określa tzw.

klasę izolacji

(czyli dopuszczalną temperaturę pracy

ciągłej, nie powodującą znaczącego pogorszenia właściwości
izolacyjnych materiału w okresie trwałości)

Teoria pasmowa podaje następujący obraz struktury elektronowej
półprzewodników:

Szerokość pasma wzbronionego

∆E < 2 (5)eV;

(granica nieścisła)

W temperaturze 0K

Pasmo walencyjne całkowicie zapełnione;

Pasmo przewodnictwa całkowicie puste;

W temperaturze wyższej niż 0K (np.: 293 K)

Przejście pewnej liczby elektronów do pasma przewodnictwa

(wskutek

pobudzenia termicznego);

Powstanie takiej samej liczby dodatnio naładowanych miejsc, tzw.
dziur w paśmie walencyjnym;

Półprzewodniki, w których występują jedynie nośniki ładunku
pochodzące z generacji termicznej, nazywają się

samoistnymi

Półprzewodniki samoistne

Półprzewodniki samoistne

Układ pasm
energetycznych

Funkcja
gęstości
stanów

Funkcja
rozkładu

Koncentracja
nośników

Koncentracja nośników samoistnych

kT

E

d

e

g

Ae

n

n

2

−

=

=

Półprzewodniki domieszkowe



Półprzewodnikami samoistnymi są

4 –wartościowe: Si oraz Ge

,

a także związki pierwiastków III i V grupy układu okresowego

;



atomy domieszek

3 – wartościowych

lub

5 – wartościowych

zmieniają

widmo energetyczne półprzewodnika



poziomy domieszkowych atomów lokują się w przerwie energetycznej

półprzewodnika czystego, dlatego domieszki mają decydujący wpływ na
przewodność półprzewodnika



poziomy domieszkowe:

- donorowe

(od domieszek 5 – wartościowych) powstają w górnej

części przerwy energetycznej;

- akceptorowe

(od domieszek 3 – wartościowych) powstają w dolnej

części przerwy energetycznej;

Półprzewodniki domieszkowe

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

P

E

d

E =1,17eV

g

Piąty niezwiązany elektron atomu fosforu
porusza się w znacznej odległości od
rdzenia atomu, energia jego wiązania
wynosi tylko

E

d

≈0,045eV

Energia E

d

jest bardzo mała, E

d

<<E

g

; w temp.

300K wszystkie atomy donorowe są zjonizowane;
koncentracja elektronów donorowych równa jest
koncentracji domieszek N

d

=n

d

E

d

- - - - - -

+ + + + + +

Dominacja przewodnictwa elektronowego –

półprzewodnik typu „n”

Domieszkowanie atomami 3 – wartościowymi – utworzenie poziomów
akceptorowych nieco powyżej górnej granicy pasma walencyjnego; łatwo
tam przedostają się elektrony walencyjne, a puste miejsca po nich stają się
dziurami (nośnikami dodatnimi)

-

półprzewodnik typu „p”

.

Konduktywność półprzewodników samoistnych

Dla metali

elektronów

ruchliwość

-

µ

µ

τ

neE

E

v

neE

m

E

ne

nev

j

d

d

=

=

=

=

2

Dla
półprzewodników

)

(

;

)

(

;

µ

µ

d

e

d

d

e

e

d

d

e

e

n

n

e

E

j

E

n

n

e

j

µ

µ

γ

µ

µ

+

=

=

+

=

≠

Dla półprzewodników samoistnych w temp.>100K

)

(

T

µ

;

T

µ

d

e

2

3

-

d

d

2

3

-

e

e

α

α

γ

γ

γ

α

α

+

=

=

=

=

−

Ae

e

kT

E

g

0

2

0

Konduktywność półprzewodników domieszkowych

Konduktywność półprzewodników domieszkowych zależy:
1) od koncentracji nośników (zależne od temperatury procesy – generacja

pary „elektron – dziura” oraz jonizacja domieszek)

2) od mechanizmów rozpraszania nośników (także zależne od

temperatury)

W obszarze niskich temperatur można pominąć generację cieplną, wtedy:

W wyższych temperaturach koncentracja nośników dorównuje koncentracji
domieszek. Dla jeszcze wyższych temperatur zaznacza się generacja
termiczna nośników.

























=

=

kT

E

2

3

d

kT

E

2

3

e

a

d

e

T

B

n

;

e

T

A

n

2

2

Konduktywność półprzewodników domieszkowych

Ruchliwość nośników w sposób złożony zależy od temperatury:
W zakresie temperatur niskich dominuje rozpraszanie na domieszkach:

W obszarze wysokich temperatur temperatur dominuje rozpraszanie na
fononach (drganiach sieci), wtedy:

stąd

;

T

a

~

2

3

d

−

µ

stąd

;

T

b

~

2

3

T

µ

e

kT

E

dom

2

0

−

γ

=

γ

e

kT

E

g

2

0

−

γ

=

γ

Konduktywność półprzewodników domieszkowych

Magnetyzm i magnetyki



Magnetyczne

momenty protonu i neutronu

są o

trzy

rzędy mniejsze

od magnetycznego

momentu elektronu

.



Magnetyczne właściwości atomu są zatem całkowicie
określone przez

magnetyczne własności elektronów,

przede wszystkim walencyjnych.

(dobre przybliżenie)



Wszystkie substancje przejawiają aktywność
magnetyczną.



Magnetyzm związany jest z właściwościami cząstek
tworzących ciało stałe.

W niektórych ciałach występuje

namagnesowanie

spontaniczne

(nie jest to jedyny przejaw właściwości

magnetycznych, ale najbardziej

„spektakularny”)

Sumaryczny moment magnetyczny ciała:

M=N×p,

gdzie N – liczba dipoli magnetycznych w jednostce objętości

W zewnętrznym polu nastąpi wzrost indukcji wewnątrz ciała:

B = B

0

+ J =

µ

0

H +

µ

0

M =

µ

0

(H + M)

H

M

H

M

H

o

o

o

o

µ

µ

µ

µ

µ

+

=

+

=

χ

µ

µ

µ

=

+

=

=

H

M

H

M

o

r

1

Magnetyzm i magnetyki

Wewnętrzne namagnesowanie może mieć kierunek

równoległy

do kierunku pola zewnętrznego

(paramagnetyzm,

ferromagnetyzm)

lub

antyrównoległy

(diamagnetyzm)

Magnetyzm i magnetyki

Diamagnetyzm

r

ρρρρ

L

B

∆

∆

∆

∆
p

m

Jedynym skutkiem działania pola magnetycznego na orbitę
elektronową jest

precesja orbity

i wektora p

m

wokół osi

przechodzącej przez środek orbity i równoległej do wektora H;

Magnetyzm i magnetyki

Paramagnetyzm



występuje, gdy całkowity moment atomu lub cząsteczki jest różny od zera



każdy atom lub cząsteczka zachowuje się jak elementarny magnes



zewnętrzne pole magnetyczne dąży do uporządkowania orientacji
momentów magnetycznych w kierunku pola



ruchy cieplne naruszają to uporządkowanie

B

Magnetyzm i magnetyki

T

χχχχ

Paramagnetyzm

atomów i jonów

(χ

χχχ ≈≈≈≈ 10

-4

)

Paramagnetyzm

gazu elektronowego

(χ

χχχ ≈≈≈≈ 10

-5

)

Diamagnetyzm

(χ

χχχ ≈≈≈≈ Z 10

-6

)

0

Magnetyzm i magnetyki

Substancje diamagnetyczne i paramagnetyczne wykazują
słaby magnetyzm, który może być wykryty za pomocą b.
czułej aparatury.

Diamagnetyzm kryształów

χ ≈

Z·10

-6

;

Paramagnetyzm: kryształów

χ ≈

9·10

-4

elektronów swobodnych:

χ ≈

10

-5

Rozważania o magnetycznych właściwościach ciał stałych
możnaby zakończyć, gdyby nie zjawisko kolektywnego sprzężenia
spinów elektronów w niektórych ciałach.

6

r

10

Z

1

µ

−

×

+

≅

4

r

10

9

1

µ

−

×

+

≅

5

r

10

1

µ

−

+

≅

Magnetyzm i magnetyki

Przyczyna ferromagnetyzmu -

oddziaływania wymienne

pomiędzy atomami, które przejawia się w

równoległym ustawieniu ich momentów magnetycznych

(równoległym ustawieniu spinów elektronów, co jest korzystne energetycznie).

Warunek –

1,5 <a/2r < 3

a – odległość atomów w sieci krystalicznej
2r – średnica niezapełnionej powłoki elektronowej

Fe, Ni, Co, Gd, Er, Dy, Tm (tul), Ho, Tb

6

3

r

10

10

du

rz

1;

µ

÷

>>

ę

Ferromagnetyzm

Spontaniczne, uporządkowane namagnesowanie w domenach

– podobszarach o rozmiarach rzędu 0,1 do 100

µm ,

Magnetyzm i magnetyki

Ferromagnetyzm w ujęciu makroskopowym

2,0

1,5

a/2r

J

antyferromagnetyzm

paramagnetyzm

ferromagnetyzm



Namagnesowanie różne od zera, nawet gdy H

zew

=0

(magnetyzm szczątkowy)



Przenikalność zależna od natężenia pola zewnętrznego



Utrata właściwości magnetycznych powyżej temp Curie

Ferromagnetykami są nie tylko
pierwiastki ferromagnetyczne,
ale także stopy złożone z
nieferromagnetyków!!!!!

Ferromagnetyzm – właściwość
kryształów

a)

do H~0.01-0.1A/m – sprężyste i odwracalne przesunięcia

granic domen

b)

od 0.01A/m do H

C

przemieszczanie granic domen i skokowe

zmiany kierunku wektora namagnesowania spontanicznego

c)

µ

max

, skoki Barkhausena

Magnesowanie ferromagnetyka

Magnesowanie ferromagnetyka – pętla histerezy

Indukcja nasycenia

(max. ~2T)

- B

n

Pozostałość magnetyczna -

B

r

Natężenia koercji -

(A/m)

H

c

< 100 A/m

ferromagnetyki miękkie

> 10kA/m

ferromagnetyki twarde

Magnesowanie ferromagnetyka – straty mocy

2

2

1

f

B

k

f

B

k

P

P

P

HdB

p

m

w

m

h

w

h

cykl

h

+

⋅

=

+

=

=

∫

α

objętości.

jednostkę

na

)

(

Ferrimagnetyzm



Jony o

różnym momencie

magnetycznym, uporządkowane

we wzajemnie przenikające się podsieci krystaliczne



Antyrównoległe uporządkowanie momentów magnetycznych

atomów

(odejmowanie się),

nie powodujące ich całkowitej

kompensacji, ze względu na różne wartości tych momentów
i sposób rozmieszczenia atomów



Stosunkowo małe namagnesowanie nasycenia,
w związku z tym również mała wartość namagnesowania
szczątkowego



występowanie w strukturze ferrimagnetyka dużej liczby
atomów niemagnetycznych (w większości przypadków
atomów tlenu)

Przykład -

powstawanie niezrównoważonego momentu

magnetycznego dla ferrytu o strukturze spinelu.



Pojedyncza komórka spinelu - osiem molekuł
o wzorze ,

zawiera zatem

32 atomy tlenu

,

8 kationów Mn

2+

i

16

kationów

Fe

3+

.



Szkielet komórki tworzą

atomy tlenu

ułożone w sieci

regularnej ściennie centrowanej;



Kationy w położeniach tetraedrycznych mają
antyrównoległe momenty magnetyczne w stosunku do
kationów w położeniach oktaedrycznych.

Ferrimagnetyzm

4

3
2

2

1

O

Me

Me

+

+

Ferrimagnetyzm

O

Mn

Ferrimagnetyzm



Jon Mg

2+

jest dostatecznie duży (średnica 0.18 nm), by zająć

pozycje (oktaedryczne).



Tylko połowa

jonów Fe

3+

(średnica 0.13 nm), znajduje się w

położeniach oktaedrycznych, połowa natomiast przesunięta jest
w położenia tetraedryczne.



W rezultacie

momenty magnetyczne jonów Fe

3+

znoszą się

,

a

jonów Mn

2+

porządkują się

, powodując namagnesowanie

domeny.

Materiały przewodzące

k

F

-k

F

k

x

k

y

k

z

k

x

f

0

k

F

k

F

-k

F

k

x

f-f

0

0

0

t

E

e

k

∂

−

=

∂

h

Pole zewnętrzne powoduje tylko przesunięcie

kuli Fermiego zgodnie z gradientem pola,

zmiana obejmuje tylko elektrony o wektorach

falowych

k~ k

F

Materiały przewodzące

Zjawiska:

Prądu elektrycznego

Oporu elektrycznego

Temperaturowej zależności oporu

Materiały przewodzące

( )

( )

(

)(

)

∫

Θ

−













−

−

Θ

ρ













Θ

=

ρ

T

R

x

x

R

R

dx

e

e

x

T

T

0

5

5

1

1

4

(T<<Θ

Θ

Θ

Θ

D

)

(((( ))))

(((( ))))

5













Θ

Θ

Θ

Θ

Θ

Θ

Θ

Θ

====

R

R

T

A

T

ρρρρ

ρρρρ

(T>2Θ

Θ

Θ

Θ

D

/3)

( )

( )

R

R

T

T

Θ

Θ

=

ρ

ρ

[

]

A

A

d

x

Cx

−

=

ρ

1

L. Nordheim, 1931

Ag-Au

Cu-Au

Pt-Pd

In-Pb

C

µΩ

µΩ

µΩ

µΩcm

44

56

104

128

Rezystywność stopów

Stopy uporządkowane

FeCo, Fe

3

Al, MgCd, CrPt

3

i FeNi

3

Co-Pt, Cu-Pt i Mn-Pt

AuCu

3

i AuCu

Przewodnictwo stopów stężonych

FCS /112

CuAu

Cu Au

3

Stopy uporządkowane

Przewodnictwo stopów stężonych

FCS /112