POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i 
formalizm matematyczny

 

 

Postulat 1
Dla każdego układu istnieje funkcja falowa 

(funkcja współrzędnych i czasu), która jest 

ciągła, całkowalna w kwadracie, różnowartościowa. Znając funkcję falową możemy 
uzyskać wszystkie wielkości fizyczne dla danego układu.

Jeśli znamy funkcję falową, wiemy wszystko o układzie fizycznym.

(x,t) – funkcja falowa cząstki poruszającej się w jednym wymiarze
(r,t) – funkcja falowa cząstki poruszającej się w trzech wymiarach
(r

1

,

r

2

,t) – funkcja falowa dla dwóch cząstek poruszających się w 

trzech wymiarach

Funkcja Falowa

( 





(x,t)

(x,t)dx – opisuje prawdopodobieństwo 

znalezienia obiektu w przedziale x, x+dx w chwili t.)

 

 

Obserwable i Operatory

Postulat 2a
Każdej obserwabli odpowiada liniowy operator hermitowski

Operator liniowy, jeśli zachodzi równość dla dowolnych 
funkcji f

1

 i f

2

 oraz dla dowolnych stałych c

1

 i c

2

.

L c

1

f

1



c

2

f

2

=

c

1

L f

1



c

2

L f

2

Przykłady: który z operatorów jest liniowy?

L

1



f = f 2

L

3



f =





f 

L

2



f =xf

L

4



f =

df

dx

Operator



O f  x=g x

 

 

Operatory hermitowskie

Operator jest hermitowski, jeśli dla dowolnych funcji f

i

, f

j

 

znikających w nieskończoności zachodzi równość:

∫

−∞

∞

f

i

*

 

O f

j



dx=[

∫

−∞

∞

f

j

*

 

O f

j



dx ]

*

The operator   is Hermitian

x

d

The operator 

 is not Hermitian

dx

d

but ­i

 is Hermitian

dx

h

2

2

d

The operator 

 is Hermitian

dx

 

 

5

Funkcje własne i wektory własne

Postulat 2b: wartości własne liniowego operatora hermitowskiego są możliwymi 
rezultatami pomiarów danej wielkości fizycznej.

Zagadnienie własne liniowego operatora

Przykład: niezależne od czasu 
równanie Schrödingera:

Zagadnienie własne w przypadku macierzy

Funkcje własne 

Wartości własne 

Operator 

ˆ

n

n n

a



 







Mx

x

Ważne: Wartości własne operatora hermitowskiego są 
rzeczywiste.



H  x=[

−ℏ

2

2m

d

2

dx

2



V  x]  x=E  x

 

 

Zagadnienie własne operatora.



O f  x=o f  x 

Wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste.

∫

f

*



x  O f  x dx−[

∫

f

*



x  O f  x dx ]

*

=

0

[

o−o

*

]

∫

f

*



x  f  x dx=0

[

o−o

*

]

∫

f

*



x  f  x dx=0

[

o−o

*

]=

0

Funkcje własne operatora hermitowskiego odpowiadające różnym wartościom 
własnym są ortogonalne.

∫

f

2

*



x  O f

1



x dx−[

∫

f

1

*



x  O f

2



xdx ]

*

=

0

[

o

1

−

o

2

]

∫

f

1

*



x  f

2



x dx=0

∫

f

1

*



x  f

2



xdx=0

 

 

7

Inne własności operatora hermitowskiego

Kombinacja liniowa zdegenerowanych 
funkcji własnych jest także funkcją 
własną z tą samą wartością własną.

Możemy ze zbioru tych funkcji wybrać dwie funkcje, które będą ortogonalne I 
unormowane, tj.

(

zdegenerowana wartość własna

)



O



c

n



n



c

m



m

=

c

n



O 

n



c

m



O 

m

=q

n

c

n



n



q

m

c

m



m

=

q



c

n



n



c

m



m



q

n

=

q

m

=

q



n0

=

n



m0

=

c

1



n



c

2



m

Dwa współczynniki pozwalają spełnić dwa warunki,
by druga funkcja 

była ortogonalna do pierwszej i unormowana.

Jeśli funkcje własne są ortogonalne i 
unormowane, nazywamy je wtedy,  

orthonormalnymi

.

Warunek ortonormalności funkcji:

∫

−∞

∞



n

*



m

dx=

mn



mn

=0 jeśli m

≠

n

1 jeśli m=n

 

 

8

Podstawowe operatory – zasady tworzenia 

operatorów

ˆx x



ˆ



r r

Postulat 3: położenie i pęd w mechanice kwantowej jest reprezentowany przez 
operator:

Inne operatory tworzymy poprzez zastąpienie połozenia i pędu wyżej podanymi 
operatorami.

Przykłady:

Moment pędu

(w jednym wymiarze)

(w trzech wymiarach)

Energia kinetyczna

Hamiltonian (Energia)



p

x

=−

i ℏ

d

dx



p=−i ℏ[i ∂

∂

x



j ∂

∂

x



k ∂

∂

x

]=−

i ℏ ∇

E

k

=

p

x

2

2m



E

k

=



p

x

2

2m

=

−ℏ

2

2m

d

2

dx

2

H

=

p

2

2m



V



x





H

=

−ℏ

2

2m

d

2

dx

2



V



x



L

=

r x p



L

=−

i

ℏ

r x

∇

 

 

9

p = ħk from the de Broglie relation

Przykład: Funkcje własne pędu

Funkcje własne są falami 
płaskimi

 

 

ˆ

x p

p

p

x

p

x







Funkcje własne 
pędu

Wartość własna = 
pęd

Operator pędu

Zagadnienie własne dla operatora pędu

−

i ℏ

d

dx



p



x= p

p



x



p

x

=−

i ℏ

d

dx



p



x=e

−

p

i ℏ

x

=

e

ikx

 

 

10

Zbiór zupełny funkcji własnych

Funkcje własne liniowego operatora hermitowskiego tworzą zbiór zupełny. To oznacza, że 
dowolna funkcja spełniająca te same warunki brzegowe, co i funkcje własne można 
przedstawić jako liniową superpozycję funkcji własnych.



x=

∑

i=1

N

c

i



i



x

Jest to uogólnienie rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera.

To rozwinęcie w bazie funkcji własnych ma implikacje dla procesu pomiaru w mechanice 
kwantowej.

Jak wyznaczyć współczynniki c

i

 i jaka jest ich interpretacja?

Funkcje 



i

(x) są ortonormalne, więc

c

i

=

∫



i

*



x   x dx

 

 

11

Zupełność w przypadku ciągłego zbioru wartości własnych (moc zbioru funkcji  
własnych jest równa mocy zbioru liczb rzeczywistych)



x =

∫

c k k , x dk

c k =

∫

−∞

∞



*



k , x  xdx

A wtedy

∫

−∞

∞



*



k

1

, xk

2

, x dx=

k

1

k

2

gdyż

Przykład:

Funkcje własne pędu:



k , x =

1





2 

e

ikx



x =

∫

c k 

1





2 

e

ikx

dk

A to jest nic innego, jak analiza fourierowska funkcji

c k =

∫

−∞

∞

1





2 

e

−

ikx

 

x dk

 

 

12

Funkcje własne i pomiar

Postulat 4a: Jeśli pomiar obserwabli Q dokonany został na układzie 
opisanym unormowaną funkcją falową ψ, wtedy w wyniku pomiaru 
wartość własną q

n

 z prawdopodobieństwem opisanym wzorem:

Współczynniki c

n

 są współczynnikami rozwinięcia 

funkcji falowej w bazie funkcji własnych.

Jeżeli układ jest w stanie własnym φ

n

, to rezultatem pomiaru 

obserwabli Q będzie odpowiadająca wartość własna q

n

.

Pr



q

n

=∣

c

n

∣

2

gdzie

c

n

=

∫



n

*



x   x dx

Jest to tzw. całka przykrywania się funkcji falowych

 

x=

∑

n=1

N

c

n



n



x

 

 

13

Postulat 4b: Bezpośrednio po pomiarze, układ jest w stanie opisanym 
funkcją własną odpowiadającą wyznaczonej wartości własnej.

To oznacza, że następny pomiar bezpośrednio po 
pierwszym również da wartość własną tą samą.

Rzutowanie funkcji falowej

Interpretacja John von Neumann in 1932.

 

x=

∑

n=1

N

c

n



n



x

pomiar

 

x 

n



x 

z prawdopodobieństwem

Pr q

n

=

1

 

x=

n



x 

 

 

 Wielkość średnia wielu pomiarów danej obserwabli układu opisanego funkcją falową 
(x) jest równa średniej wartości operatora reprezentującego daną obserwablę:



Q=

∫



*



x Q  xdx

Funkcje własne operatora 



i

(x) tworzą bazę zupełną stąd funkcję opisującą stan układu



(x) można przedstawić jako kombinację liniową funkcji własnych.

 

x=

∑

i=1

c

i



i



x

Postulat 5

Wartość oczekiwana (średnia)



Q=

∑

n

Pr q

n



q

n

=

∑

n

∣

c

n

∣

2

q

n

∫



*



x  Q  xdx=

∫∑

i=1

c

i

*



i

*



x  Q

∑

i= n

c

n



n



x=

∫∑

i=1

c

i

*



i

*



x 

∑

i=n

c

n

q

n



n



x=

∑

n

∣

c

n

∣

2

q

n

 

 

Przestrzeń Hilberta. Przestrzeń liniowa funkcji ciągłych, różnowartościowych i 
całkowalnych w kwadracie.

Ponieważ jest to przestrzeń wektorowa, to funkcja w przestrzeni Hilberta jest 
reprezentowana przez element tej przestrzeni, tj. wektor.

 

 

Ciągły zbiór wartości własnych



x f



x

=

x

0

f



x



f



x

=





x

−

x

0







x

=

∫

c



x

0







x

−

x

0



dx

0

gdzie

c  x

0

= 

x

0



 

 

Przestrzeń wektora ket





x

 

| >

|  x >=

∑

i=1

c

i

|

i

>

 

 

Funkcjonał i iloczyn skalarny

Operator matematyczny, który funkcji przyporządkowuje liczbę – w ogólności 
zespoloną nazywamy funkcjonałem.









x

=

n

lub

Przykładem funkcjonału jest iloczyn skalarny

f

1

°

f

2

=

∫

f

1

*



x f

2



x dx

Funkcjonał liniowy – def. jak ogólnie dla operatora



| >=n

Aby zdefiniować dla elementów przestrzeni ket iloczyn skalarny musimy dla 
każdego wektora ket zdefiniować tzw. wektor dualny bra

< || >=

∫



*



x   x dx

< |







| >=

∫



*



x   x dx

 

 

Przestrzeń wektora bra (elementami są funkcjonały)

Wektory dualne tworzą liniową przestrzeń wektorową

< |=

∑

i=1

c

i

*

<

i

|

Iloczyn skalarny w uproszczeniu możemy zapisać następująco:

< | >=

∫



*



x   x dx

 

 

Komutator

[ 

A , B]= A B− B A

Udowodnij, że spełniona jest relacja:

[ 

x ,

−

i

ℏ

∂

∂

x

]=

i

ℏ

[ 

A , B]= 0

Operatory komutują jeżeli

 

 

21

Operatory zgodne

Dwie obserwable są zgodne jeśli ich operatory posiadają ten 
sam zbiór funkcji własnych (wartości własne są różne) 



O 

n

=

o

n



n



R 

n

=

r

n



n

Konsekwencje

: dwie kompatybilne obserwable można 

mierzyć jednocześnie z dowolną dokładnością.





x

=



m

Mierząc obserwablę O, otrzymamy wartość o

m

 z prawdopodobieństwem |a

m

|

2

Niech układ będzie w stanie opisanym funkcją falową:

Układ przechodzi do stanu opisanego funkcjią falową φ

m





x

=

∑

n

a

n



n



x



Mierząc obserwablę R, otrzymujemy wartość r

m 

(wartość własną 

R odpowiadającą funkcji własnej φ

m

)

Funkcją falową układu pozostaje funkcja φ

m





x

=

∑

n

a

n



n



x

 



m

Mierząc powtórnie obserwablę O, otrzymamy wartość o

m

 

 

22

Operatory zgodne

Operatory zgodne komutują!

Dowód

 Weźmy funkcję 



 i zapiszmy ją w bazie funkcji własnych

Można wykazać też relację w drugą stronę:

jeśli dwa operatory komutują to są zgodne

. 



x =

∑

n

a

n



n



x



O 

n

=

o

n



n



R 

n

=

r

n



n





O



R

−



R



O





=



O



R

−



R



O



∑

n

a

n



n

=

∑

n

a

n



o

n

r

n

−

r

n

o

n





n

=

0

 

O R− R O=0

[ 

O , R]= 0

 

 

Pomiędzy pomiarami funkcja falowa opisująca stan układu jest rozwiązaniem zależnego 
od czasu równania Schrodingera.

i ℏ

∂ 

1



x , t 

∂

t

= 

H 

1



x , t

Ewolucja czasowa układu

Postulat VI

Jest to równanie różniczkowe liniowe, gdyż kombinacja liniowa 
dwóch rozwiązań jest rozwiązaniem.

To jest Zasada superpozycji

i

ℏ

∂





x , t



∂

t

=



H 



x , t



i ℏ

∂ 

2



x , t

∂

t

= 

H 

2



x ,t 

i ℏ

∂[

1



x , t 

2



x , t]

∂

t

= 

H [

1



x , t 

2



x , t ]

 

 

1



[

−ℏ

2

2m

 

r V r r ]=

−ℏ

i

1

 

t 

∂ 

t 

∂

t

==

const.=E

 

r ,t =rt 

jeśli V r , t=V r

−ℏ

2

2m

  

r ,t V r , t  r , t=

−ℏ

i

∂

 

r ,t 

∂

t

 

 

Reprezentacja macierzowa (Heisenberga)



O | >=o| >

| x >=

∑

i=1

c

i

|

i



x >

∑

i

=

1

c

i

< 

j

|



O |

i

>

=

∑

i

=

1

o c

i

<

j

|

i

>

∑

i=1

O

ji

c

i

=

o

∑

i=1

I

ji

c

i

[

O

ji

] [

C

i

]=

o

[

I

ji

] [

C

i

]

det

[

O

−

oI

]=

0

Problem znalezienia wartości własnych.

<  x|=

∑

i=1

c

i

*

<

i



x |

Macierz hermitowska

O

ij

=

O

ji

*