Wstawka matematyczna

1. Rachunek wektorowy

wielkości fizyczne

wielkości wektorowe

wektor – uporz

ą

dkowana

para punktów (pocz

ą

tek i koniec).

Cechy wektora:

* moduł (warto

ść

, długo

ść

)

* kierunek
* zwrot
* punkt przyło

ż

enia

wielkości skalarne

skalary – do okre

ś

lenia

wielko

ś

ci skalarnej wystarczy

jedna liczba

siła F

prędkość v

przyspieszenie a

pęd p

masa m

czas t

energia E

temperatura T

układ kartezjański

układ sferyczny

układy współrzędnych

k

j

i

r

ˆ

ˆ

ˆ

z

y

x

+

+

=

θ

φ

θ

φ

θ

cos

sin

sin

cos

sin

r

z

r

y

r

x

=

=

=

- wersor to wektor jednostkowy

iˆ

r - wektor poło

ż

enia

położenie r

prędkość v

przyspieszenie a

pęd p

a

x

=x

B

-x

A

, a

y

=y

B

-y

A

, a

z

=z

B

-z

A

AB = a = [ a

x

, a

y

, a

z

]

k

j

i

a

ˆ

ˆ

ˆ

a

a

a

+

+

=

wektory

współrz

ę

dne wektorów:

k

j

i

a

ˆ

ˆ

ˆ

z

y

x

a

a

a

+

+

=

długo

ść

wektora:

a

x

=b

x

, a

y

=b

y

, a

z

=b

z

.

równo

ść

wektorów:

2

2

2

z

y

x

a

a

a

a

+

+

=

dodawanie wektorów:

a + b = c

c

x

=a

x

+b

x

, c

y

=a

y

+b

y

, c

z

=a

z

+b

z

mno

ż

enie wektora

przez liczb

ę

:

c

x

= k a

x

, c

y

= k a

y

, c

z

= k a

z

c = k a

iloczyn skalarny wektorów:

a—

—

—

—b = a b cos

α

a—

—

—

—b =a

x

b

x

+ a

y

b

y

+ a

z

b

z

iloczyn wektorowy :

a x

x

x

x b = c

c=a b sin

α

k

j

i

c

ˆ

ˆ

ˆ

z

y

x

c

c

c

+

+

=

z

y

x

z

y

x

b

b

b

a

a

a

k

j

i

c

ˆ

ˆ

ˆ

=

Wstawka matematyczna

2. Pochodne i całki

x

x

f

x

x

f

dx

df

x

f

x

∆

−

∆

+

=

=

→

∆

)

(

)

(

lim

)

(

'

0

Pochodna funkcji f(x)

Pochodna funkcji

Podstawowe własności pochodnej :

dx

dg

dx

df

g

f

dx

d

+

=

+

)

(

dg

f

g

df

g

f

d

⋅

+

⋅

=

⋅

)

(

2

)

/

(

g

dx

dg

f

g

dx

df

g

f

dx

d

⋅

−

⋅

=

[

]

)

(

)

(

)

(

(

x

dg

u

df

x

g

f

d

⋅

=

dx

f

g

dx

g

f

dx

⋅

+

⋅

=

⋅

)

(

[

]

)

(

:

)

(

(

x

g

u

gdzie

dx

du

x

g

f

dx

=

⋅

=

Przykłady:

1

)

(

−

=

n

n

nx

x

dx

d

)

0

(

1

)

(ln

>

=

x

x

x

dx

d

x

x

e

e

dx

d

=

)

(

x

x

dx

d

cos

)

(sin

=

x

x

dx

d

sin

)

(cos

−

=

W przedziale czasu

∆

t przyrost wektora r(t) wynosi

∆

r:

Pochodna wektora

W przedziale czasu

∆

t przyrost wektora r(t) wynosi

∆

r:

∆

r = r(t+

∆

t) – r(t),

to stosunek:

t

t

t

t

dt

d

t

t

t

t

t

t

∆

−

∆

+

=

→

∆

−

∆

+

=

∆

∆

→

∆

)

(

)

(

lim

)

(

)

(

0

r

r

r

r

r

r









=

dt

dz

,

dt

dy

,

dt

dx

dt

dr

Całka nieoznaczona

∫

=

)

(

)

(

x

f

dx

x

g

Wynik operacji całkowania:
znaleziona funkcja pierwotna f(x) ma taką własność, że po zróżniczkowaniu
jej otrzymujemy funkcję podcałkową g(x):

C

x

f

dx

x

g

+

=

∫

)

(

)

(

ściślej:

[f (x)+C]' = g(x)

Przykłady:

C

x

1

n

1

dx

x

1

n

n

+

+

=

+

∫

∫ e

x

dx = e

x

+ C

∫ (1/x) dx = ln x + C

∫ cos x dx = sin x + C

∫ sin x dx = - cos x + C

Całka oznaczona:

[

] [

]

∫

∫

=

=

+

−

+

=

−

b

a

b

a

dx

x

g

dx

x

g

C

a

f

C

b

f

a

f

b

f

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

C

x

f

dx

x

g

+

=

∫

)

(

)

(

Niech :

przyrost funkcji pierwotnej na przedziale [a,b]:

a

nazywamy całką oznaczoną.

)

(

)

(

)

(

a

f

b

f

dx

x

g

b

a

−

=

∫

CZYLI CAŁKA OZNACZONA TO:

C

x

f

dx

x

g

+

=

∫

)

(

)

(

gdzie:

S

x

x

g

x

x

f

x

a

f

b

f

dx

x

g

i

N

i

i

i

N

i

i

i

b

a

=

∆

→

∆

=

∆

→

∆

=

−

=

∑

∑

∫

)

(

0

lim

)

(

0

lim

)

(

)

(

)

(

Znaczenie całki oznaczonej:

i

i

i

i

i

x

x

f

x

x

f

x

g

∆

∆

→

∆

=

=

)

(

0

lim

)

(

'

)

(

i

i

i

x

x

g

x

f

∆

=

∆

)

(

)

(

∫

=

b

a

dx

x

g

S

)

(