Wstawka matematyczna
1. Rachunek wektorowy
Wstawka matematyczna
1. Rachunek wektorowy
wielkości fizyczne
wielkości wektorowe
wektor – uporz
ą
dkowana
para punktów (pocz
ą
tek i koniec).
Cechy wektora:
* moduł (warto
ść
, długo
ść
)
* kierunek
* zwrot
* punkt przyło
Ŝ
enia
wielkości skalarne
skalary – do okre
ś
lenia
wielko
ś
ci skalarnej wystarczy
jedna liczba
siła F
prędkość v
przyspieszenie a
pęd p
masa m
czas t
energia E
temperatura T
układ kartezjański
układ sferyczny
układy współrzędnych
k
j
i
r
ˆ
ˆ
ˆ
z
y
x
+
+
=
θ
φ
θ
φ
θ
cos
sin
sin
cos
sin
r
z
r
y
r
x
=
=
=
- wersor to wektor jednostkowy
iˆ
r - wektor poło
Ŝ
enia
połoŜenie r
prędkość v
przyspieszenie a
pęd p
a
x
=x
B
-x
A
, a
y
=y
B
-y
A
, a
z
=z
B
-z
A
AB = a = [ a
x
, a
y
, a
z
]
k
j
i
a
ˆ
ˆ
ˆ
a
a
a
+
+
=
wektory
współrz
ę
dne wektorów:
k
j
i
a
ˆ
ˆ
ˆ
z
y
x
a
a
a
+
+
=
długo
ść
wektora:
a
x
=b
x
, a
y
=b
y
, a
z
=b
z
.
równo
ść
wektorów:
2
2
2
z
y
x
a
a
a
a
+
+
=
dodawanie wektorów:
a + b = c
c
x
=a
x
+b
x
, c
y
=a
y
+b
y
, c
z
=a
z
+b
z
mno
Ŝ
enie wektora
przez liczb
ę
:
c
x
= k a
x
, c
y
= k a
y
, c
z
= k a
z
c = k a
iloczyn skalarny wektorów:
a
b = a b cos
α
a
b =a
x
b
x
+ a
y
b
y
+ a
z
b
z
iloczyn wektorowy :
a x
x
x
x b = c
c=a b sin
α
k
j
i
c
ˆ
ˆ
ˆ
z
y
x
c
c
c
+
+
=
z
y
x
z
y
x
b
b
b
a
a
a
k
j
i
c
ˆ
ˆ
ˆ
=
Wstawka matematyczna
2. Pochodne i całki
x
x
f
x
x
f
dx
df
x
f
x
∆
−
∆
+
=
=
→
∆
)
(
)
(
lim
)
(
'
0
Pochodna funkcji f(x)
Pochodna funkcji
Podstawowe własności pochodnej :
dx
dg
dx
df
g
f
dx
d
+
=
+
)
(
dg
f
g
df
g
f
d
⋅
+
⋅
=
⋅
)
(
2
)
/
(
g
dx
dg
f
g
dx
df
g
f
dx
d
⋅
−
⋅
=
[
]
)
(
)
(
)
(
(
x
dg
u
df
x
g
f
d
⋅
=
dx
f
g
dx
g
f
dx
⋅
+
⋅
=
⋅
)
(
[
]
)
(
:
)
(
(
x
g
u
gdzie
dx
du
x
g
f
dx
=
⋅
=
Przykłady:
1
)
(
−
=
n
n
nx
x
dx
d
)
0
(
1
)
(ln
>
=
x
x
x
dx
d
x
x
e
e
dx
d
=
)
(
x
x
dx
d
cos
)
(sin
=
x
x
dx
d
sin
)
(cos
−
=
W przedziale czasu
∆
t przyrost wektora r(t) wynosi
∆
r:
Pochodna wektora
W przedziale czasu
∆
t przyrost wektora r(t) wynosi
∆
r:
∆
r = r(t+
∆
t) – r(t),
to stosunek:
t
t
t
t
dt
d
t
t
t
t
t
t
∆
−
∆
+
=
→
∆
−
∆
+
=
∆
∆
→
∆
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
0
r
r
r
r
r
r
=
dt
dz
,
dt
dy
,
dt
dx
dt
dr
Całka nieoznaczona
∫
=
)
(
)
(
x
f
dx
x
g
Wynik operacji całkowania:
znaleziona funkcja pierwotna f(x) ma taką własność, Ŝe po zróŜniczkowaniu
jej otrzymujemy funkcję podcałkową g(x):
C
x
f
dx
x
g
+
=
∫
)
(
)
(
ściślej:
[f (x)+C]' = g(x)
Przykłady:
C
x
1
n
1
dx
x
1
n
n
+
+
=
+
∫
∫ e
x
dx = e
x
+ C
∫ (1/x) dx = ln x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ sin x dx = - cos x + C
Całka oznaczona:
[
] [
]
∫
∫
=
=
+
−
+
=
−
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
g
C
a
f
C
b
f
a
f
b
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
C
x
f
dx
x
g
+
=
∫
)
(
)
(
Niech :
przyrost funkcji pierwotnej na przedziale [a,b]:
a
nazywamy całką oznaczoną.
)
(
)
(
)
(
a
f
b
f
dx
x
g
b
a
−
=
∫
CZYLI CAŁKA OZNACZONA TO:
C
x
f
dx
x
g
+
=
∫
)
(
)
(
gdzie:
S
x
x
g
x
x
f
x
a
f
b
f
dx
x
g
i
N
i
i
i
N
i
i
i
b
a
=
∆
→
∆
=
∆
→
∆
=
−
=
∑
∑
∫
)
(
0
lim
)
(
0
lim
)
(
)
(
)
(
Znaczenie całki oznaczonej:
i
i
i
i
i
x
x
f
x
x
f
x
g
∆
∆
→
∆
=
=
)
(
0
lim
)
(
'
)
(
i
i
i
x
x
g
x
f
∆
=
∆
)
(
)
(
∫
=
b
a
dx
x
g
S
)
(