Przebieg zmienności funkcji

Dariusz Kasiarz

Politechnika Krakowska

Zajmijmy się przebiegiem zmienności funkcji

f (x) = e

sin

(

1
x

)

−

1
x

. Zobaczmy na poniższym wykresie, jak

mniej więcej wygląda badana przez nas funkcja:

x

y

y = 1

f (x) = e

sin

1

x

− 1

x

f (x)

0

1. Własności wynikające ze wzoru funkcji.

(a). Dziedzina funkcji.

D

f

= R

∗

, gdzie R

∗

należy rozumieć jako R \ {0}.

(b). Parzystość (nieparzystość) funkcji.

(i). Nieparzystość funkcji.

f (−x) = e

sin

(

1

−x

)

−

1

−x

(∗)

= e

− sin

(

1
x

)

+

1
x

=



1
e



sin

(

1
x

)

−

1
x

6= −f (x),

zatem funkcja f nie jest funkcją nieparzystą. (∗ - sinus jest funkcją nieparzystą).

(ii). Parzystość funkcji

f (−x) = e

sin

(

1

−x

)

−

1

−x

(∗)

= e

− sin

(

1
x

)

+

1
x

=



1
e



sin

(

1
x

)

−

1
x

6= f (x),

Zatem funkcja f nie jest funkcją parzystą.

(c). Granice funkcji na końcach dziedziny.

(1).

lim

x→0

−

e

sin

(

1
x

)

−

1
x

= ∞

(2).

lim

x→0

+

e

sin

(

1
x

)

−

1
x

= 0

(3).

lim

x→−∞

e

sin

(

1
x

)

−

1
x

= lim

x→−∞

e

sin

(

1

x

)

1

x

·

1
x

−

1
x

= e

0

= 1

1

(4).

lim

x→∞

e

sin

(

1
x

)

−

1
x

= lim

x→∞

e

sin

(

1

x

)

1

x

·

1
x

−

1
x

= e

0

= 1

(d). Punkty przecięcia funkcji z osiami układu współrzędnych.

• Oś OY

Brak przecięcia z osią OY (punkt x = 0 jest wyrzucony z dziedziny)

• Oś OX

Brak przecięcia z osią OX (potęga liczby różnej od zera nigdy nie jest równa zero)

2. Asymptoty

Asymptota Pionowa.

Z poprzednich badań granic na końcach przedziału wnioskujemy, że jedyną asymptotą pionową jest
asymptota lewostronna w zerze.

Asymptota ukośna.

y = ax + b

a = lim

x→∞

f (x)

x

= lim

x→∞

e

sin

(

1

x

)

− 1

x

x

= lim

x→∞

e

sin

(

1

x

)

1

x

1

x −

1

x

x

= 0

b = lim

x→∞

f (x) − ax = lim

x→∞

e

sin

(

1
x

)

−

1
x

= 1

Zatem naszą szukaną asymptotą ukośną jest prosta o równaniu y = 1.

3. Własności, które wynikają z obliczenia pierwszej pochodnej.

(a). Pierwsza pochodna oraz jej dziedzina.

f

0

(x) =



e

sin

(

1
x

)

−

1
x



0

=



e

sin

(

1
x

)

−

1
x



·



cos



1
x



·



−

1

x

2



+

1

x

2



=



e

sin

(

1
x

)

−

1
x



·

1

x

2

·



1 − cos



1
x



Oczywistym jest, że dziedziną naszej pochodnej pozostaje R

∗

(b). Miejsce zerowania się pierwszej pochodnej.

Aby iloczyn trzech czynników był równy zero, co najmniej jedna z nich musi być równa zero, zatem:

e

sin

(

1
x

)

−

1
x

= 0, lub:

1

x

2

= 0, lub:

1 − cos



1
x



= 0.

Wiemy, że dwie pierwsze nierówności nigdy się nie zerują, zatem pozostaje nam obliczyć, kiedy
1 − cos



1
x



= 0.

cos



1
x



= 1 ⇔

1
x

= 2kπ, k ∈ Z

∗

, co oznacza, że

f

0

(x) = 0 ⇔ x =

1

2kπ

, gdzie k ∈ Z

∗

.

Jednocześnie fukcja wykładnicza jak i

1

x

2

są zawsze dodatnie, podobnie jak 1 − cos x nigdy nie jest

ujemny, zatem miejsce zerowań naszej funkcji nie ukazują nam ekstremów badanej przez nas funkcji.
Krótko, mimo paskudnego wyglądu, zachowanie jest porządne ;). Oznacza to, że nasza funkcja jest
rosnąca na swojej dziedzinie.

2

4. Własności, które wynikają z obliczenia drugiej pochodnej

(a). Druga pochodna oraz jej dziedzina.

Przy pomocy niezwykle użytecznego programu zwanego maple;

f ”(x) =



e

sin

(

1
x

)

−

1
x



·

1

x

2

·



1 − cos



1
x





0

=

=



−

sin

(

x

−1

)

x

4

+ 2

cos

(

x

−1

)

x

3

− 2 x

−3



e

sin

(

x

−1

)

−x

−1

+



−

cos

(

x

−1

)

x

2

+ x

−2



2

e

sin

(

x

−1

)

−x

−1

.

Zatem dziedziną pochodnej pozostaje wciąż R

∗

.

(b). Miejsce zerowania się drugiej pochodnej.

Liczymy zatem, kiedy f ”(x) = x

i

.

Korzystając z możliwości aproksymowania, otrzymujemy, iż:

•

x

1

= −0.20382927334,

•

x

2

= −0.15915494305,

•

x

3

= −0.090221871854,

•

x

4

= −0.079577471545,

•

x

5

= −0.057684699165,

•

x

6

= −0.04236594294,

•

x

7

= −0.027658092605,

•

x

8

= −0.026525823845,

•

x

9

= −0.017683882565,

•

x

10

= −0.014468631194,

•

x

11

= −0.013542625725,

..

.

•

x

n

= 0.4737729809.

Jeśli przybliżymy wartość

1

2π

, otrzymamy nasz x

2

. Zatem stąd oraz z faktu, że licznik, który może

się zerować, jest użależniony od sinusów oraz cosinusów, możemy wnioskować, iż funkcja na owych
przedziałach zachowuje się podobnie, co więcej, miejsca zerowe zapewne powtarzają się dla x =

a

2kπ

,

gdzie k ∈ Z a a to pewna stała rzeczywista.

(c). Przedziały, w których funkcja jest wypukła bądź wklęsła.

• Wypukłość

f ”(x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, x

1

) ∪ (x

2

, x

3

) . . . ∪ (x

i

, 0) ∪ (0, x

i+1

) . . . ∪ (x

n−1

, x

n

)

Zatem nasza funkcja jest wypukła na przedziałach (−∞, x

1

) ∪ (x

2

, x

3

) . . . ∪ (x

i

, 0) ∪ (0, x

i+1

) . . . ∪

(x

n−1

, x

n

).

• Wklęsłość

f ”(x) < 0 ⇔ x ∈ (x

1

, x

2

) ∪ (x

3

, x

4

) . . . ∪ (x

n

, ∞)

Zatem nasza funkcja jest wklęsła na przedziałach (x

1

, x

2

) ∪ (x

3

, x

4

) . . . ∪ (x

n

, ∞).

(d). Punkty przegięcia

Na podstawie wcześniejszych podpunktów możemy stwierdzić, że dla x = x

i

, gdzie i = 1, . . . , 7,

druga pochodna osiąga wartość 0. Ponadto w tych punktach druga pochodna zmienia swój znak,
zatem funkcja f posiada punkty przegięcia w x ∈ {x

1

, x

2

, . . . , x

n

}

3

5. Zestawienie przebiegu zmienności funkcji na podstawie uzy-

skanych danych

x

(−∞, x

1

)

x

1

(x

1

, x

2

)

x

2

. . .

0

. . .

(x

n

, ∞)

f

0

(x)

+

+

+

+

+

brak

+

+

f ”(x)

+

0

-

pkt przeg.

. . .

brak

. . .

-

f (x)

%

%

%

%

%

brak

%

%

wypukła

pkt przeg.

wklęsła

pkt przeg.

. . .

. . .

wklęsła

Oczywistym jest, że nasza okropna funkcja zachowuje się w miarę porządnie, inaczej nie byłoby sensu jej
tu rozpatrywać. Jak doskonale widać, w każdym miejscu zerowym druga pochodna zmienia swój znak,
dlatego zawsze wypukłość i wklęsłość występuje naprzemiennie, natomiast każde miejsce zerowe drugiej
pochodnej jest punktem przegięcia funkcji. Podobnie, pierwsza pochodna nigdy nie zmienia znaku, zatem
badana funkcja jest zawsze rosnąca, dlatego bez obaw możemy stwierdzić, że na przedziałach, których
nie wypisaliśmy, jej zachowanie sie nie zmieni. Przy zerze w zależności od krotności wszystkich miejsc
zerowych wczesniej, nasza funkcja będzie odpowiednio wypukła bądź wklęsła (jeśli będzie na przedziale
od parzystego miejsca zerowego do zera, to będzie wypukła, odpowiednio w przeciwnym razie wklęsła).
Podobnie z drugiej strony zera, aczkolwiek teraz zależność idzie z drugiej strony, od pierwiastka x

n

.

6. Wykres funkcji i jej pierwszej pochodnej

x

y

f (x)

f

0

(x)

4