Ćwiczenie 9.

Indukcyjność własna i wzajemna

Zadanie

W cewce idealnej o indukcyjności L=0,4H prąd ma przebieg pokazany na rysunku.

Wyznaczyć przebieg napięcia na zaciskach cewki u

L

i przebieg energii pola magnetycznego

cewki e

L

.

i

L=0,4H

U

L

12

16

6

4

8

t[ms]

Rozwiązanie

• Obliczamy napięcia indukowane na zaciskach cewki

dt

di

L

u

L

=

V]

[

600

s]

[

10

4

A]

[

6

4

,

0

0

dla

3

-

=

⋅

=

=

>

dt

di

L

u

dt

di

L

V]

[

600

s]

[

10

4

A]

[

6

4

,

0

0

dla

3

-

−

=

⋅

−

=

−

=

<

dt

di

L

u

dt

di

L

• Obliczamy energię gromadzoną w polu magnetycznym cewki

2

2

i

L

e

L

⋅

=

i

0 1 2 3 4 5 6 A

e

L

0 0,2 0,8 1,8 3,2 5,0 7,2

W

• Wykonujemy wykresy przedstawiające przebiegi prądu, napięcia i energii w cewce.

12

16

6

4

3

8

i[A]

t[ms]

8 12

600

600

4

16

U

L

[V]

t[ms]

7,2

8

-8

-4

4

t[ms]

12

16

8

-

-7,2

+

-7,2

-

+

6

4
2

-2

-6

e

L

7,2

⊕ - energia pobierana ze źródła

\

- energia zwracana do źródła

Zadanie
W gałęzi szeregowej złożonej z cewki idealnej o indukcyjności L=0,2H i oporniku

o rezystancji R=15

Ω prąd ma przebieg pokazany na rysunku. Wyznaczyć przebieg napięcia

na końcach gałęzi

R

L

10 20

1

5

15

i[A]

t[ms]

25

30

Rozwiązanie

Napięci na zaciskach gałęzi

dt

di

L

i

R

u

u

u

L

R

+

⋅

=

+

=

i

R

u

L

u

R

u

L

Wyznaczamy przebiegi:

- napięcia na oporniku

i

R

u

R

⋅

=

- napięcia na cewce

dt

di

L

u

L

=

(uwaga: dla

;

0

0

;

0

0

<

<

>

>

L

L

u

dt

di

u

dt

di

0

0

=

=

L

u

dt

di

)

- sumujemy

wartości chwilowe napięć na cewce i oporniku i wykreślamy napięcie

na końcach gałęzi szeregowej LR.

30

15

10

20

40

5

15

-25

-40

25

U[V]

t[ms]

Przebieg napięcia na końcach gałęzi szeregowej LR.

Zadanie

Dwie cewki sprzężone magnetycznie połączono szeregowo i przyłączono do napięcia

sinusoidalnego o wartości skutecznej U = 220 V i częstotliwości f = 50 Hz. Włączony do

obwodu amperomierz wskazał prąd I

1

= 9,7 A, a po przełączeniu zacisków na jednej cewce

prąd I

2

= 13,3 A. Obliczyć indukcyjność wzajemną cewek M, współczynnik sprzężenia k i

wykresy wektorowe. Dane: R

1

= 7 Ω, L

1

= 19,1 mH, R

2

= 9 Ω, L

2

= 12,7 mH.

Rozwiązanie

Pomiary prądu odpowiadają dwom układom:

• połączeniu zgodnemu cewek – prąd I

1

(

)

M

X

j

jX

R

M

L

L

j

R

R

Z

2

2

2

1

2

1

1

+

+

=

+

+

+

+

=

ω

∗

∗

L

1

L

2

R

1

R

2

M

U

U

1

U

2

I

1

• połączeniu przeciwnemu cewek – prąd I

2

(

)

M

X

j

jX

R

M

L

L

j

R

R

Z

2

2

2

1

2

1

2

−

+

=

−

+

+

+

=

ω

∗

∗

L

1

L

2

R

1

R

2

M

I

2

Impedancje cewek:

Ω

=

=

=

7

,

22

7

,

9

220

1

1

I

U

Z

Ω

=

=

=

5

,

16

3

,

13

220

2

2

I

U

Z

(

)

2

2

2

1

2

M

X

X

R

Z

+

+

=

(

)

2

2

2

2

2

M

X

X

R

Z

−

+

=

(

) (

)

2

2

2

1

2

2

2

2

Z

Z

X

X

X

X

M

M

−

=

−

−

+

stąd indukcyjność wzajemna

Ω

=

⋅

−

=

−

=

3

10

8

5

,

16

7

,

22

8

2

2

2

2

2

1

X

Z

Z

X

M

,

mH

X

M

M

5

,

9

314

3 =

=

=

ω

,

współczynnik sprzężenia

6

,

0

7

,

12

1

,

19

5

,

0

2

1

=

⋅

=

⋅

=

L

L

M

k

wykresy wektorowe

I

1

U

R1

U

R2

U

L1

U

L2

U

M1

U

M2

U

1

U

2

U

połączenie zgodne

I

2

U

R1

U

R2

U

L1

U

L2

U

M1

U

M2

U

1

U

2

U

połączenie przeciwne

Zadanie

Wyznaczyć prądy pierwotny I

1

i wtórny I

2

w transformatorze bezrdzeniowym, wiedząc, że U

= j120 V, ω = 10

4

rad/s, L

1

= 2 mH, L

2

= 1,5 mH, C = 20 μF, R = 10 Ω, M = 0,3 mH.

∗

∗

L

1

L

2

R

M

I

2

I

1

C

1

U

1

U

2

Rozwiązanie

przy podanych na rysunku kierunkach, prądy spełniają następujące równania

(

)

2

2

1

2

1

1

1

0

1

L

j

R

I

M

j

I

M

j

I

C

j

L

j

I

U

ω

ω

ω

ω

ω

+

+

−

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

podstawiając

X

L1

= ω L

1

= 20 Ω, X

L2

= ω L

2

= 15 Ω, X

C

= 1/ ω C = 4 Ω, X

M

= ω M = 3 Ω,

po rozwiązaniu równań otrzymujemy

13

,

7

12

,

3

1

j

I

−

=

.

70

,

0

09

,

1

2

j

I

−

=

Zadania do rozwiązania

1. Zadanie

Dwie cewki sprzężone magnetycznie o parametrach R

1

= 3 Ω, R

2

= 4 Ω, X

1

= 7 Ω, X

2

= 9 Ω,

X

M

= 4 Ω połączono równolegle. Jaka wartość ma impedancja zastępcza cewek przy

połączeniu zgodnym i przeciwnym?

∗

L

1

L

2

R

1

R

2

∗

∗

∗

L

1

L

2

R

2

R

1

I

1

I

2

I

2

I

1

M

M

połączenie zgodne

połączenie przeciwne

Odpowiedź:

impedancja zastępcza cewek połączonych równolegle i sprzężonych magnetycznie

M

M

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

m

2

1

2

1

+

−

⋅

=

połączenie zgodne cewek Z

z

= 0,168+j6,522

połączenie przeciwne cewek Z

p

= 1,234+j2,485.

2. Zadanie

Wyznaczyć taką wartość współczynnika sprzężenia k, (

2

1

L

L

M

k

⋅

=

) aby impedancja

zastępcza transformatora obciążonego pojemnością C miała charakter rezystancyjny. X

L1

= 7

Ω, X

L2

= 11 Ω, X

C

= 7 Ω.

∗

∗

L

1

L

2

M

I

2

I

1

C

U

1

U

2

R

Odpowiedź k =0,6.