Ćwiczenie 9.   

Indukcyjność własna i wzajemna 

 

Zadanie  

W cewce idealnej o indukcyjności  L=0,4H prąd ma przebieg pokazany na rysunku. 

Wyznaczyć przebieg napięcia na zaciskach cewki u

L

 i przebieg energii pola magnetycznego 

cewki e

L

. 

 

i 

L=0,4H 

U

L 

 

 

 

 

12

16 

6 

4 

8 

 

 

 

 

t[ms] 

 

 

 

Rozwiązanie 

•  Obliczamy napięcia indukowane na zaciskach cewki 

dt

di

L

u

L

=

 

V]

[

600

s]

[

10

4

A]

[

6

4

,

0

0

dla  

3

-

=

⋅

=

=

>

dt

di

L

u

dt

di

L

 

V]

[

600

s]

[

10

4

A]

[

6

4

,

0

0

dla  

3

-

−

=

⋅

−

=

−

=

<

dt

di

L

u

dt

di

L

 

•  Obliczamy energię gromadzoną w polu magnetycznym cewki  

 

2

2

i

L

e

L

⋅

=

   

i 

0 1 2 3 4 5 6  A 

e

L

0  0,2 0,8 1,8 3,2 5,0 7,2

W 

 

•  Wykonujemy wykresy przedstawiające przebiegi prądu, napięcia i energii w cewce. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

16 

6 

4 

3 

8 

i[A] 

t[ms] 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 12

600 

600 

4 

16 

U

L

[V] 

t[ms] 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7,2 

8 

-8 

-4 

4 

t[ms] 

12

16 

8 

- 

-7,2 

+ 

-7,2 

- 

+

6 

4 
2 

-2 

-6 

e

L 

7,2 

⊕ - energia pobierana ze źródła 

\

 - energia zwracana do źródła 

 

Zadanie 
W gałęzi szeregowej złożonej z cewki idealnej o indukcyjności L=0,2H i oporniku  

o rezystancji R=15

Ω prąd ma przebieg pokazany na rysunku. Wyznaczyć przebieg napięcia 

na końcach gałęzi 

 
 

R 

L 

 
 
 
 

10 20

1 

5 

15

i[A] 

 
 
 
 

t[ms] 

 
 

25

30 

 
 
 
 
 

Rozwiązanie 

Napięci na zaciskach gałęzi 

dt

di

L

i

R

u

u

u

L

R

+

⋅

=

+

=

 

 

i 

R 

u

L

u

R

u

 

L 

 

 

 

 

 

Wyznaczamy przebiegi: 

- napięcia na oporniku 

i

R

u

R

⋅

=

 

- napięcia na cewce 

dt

di

L

u

L

=

   

(uwaga: dla 

;

0

0

;

0

0

<

<

>

>

L

L

u

dt

di

u

dt

di

0

0

=

=

L

u

dt

di

) 

- sumujemy 

wartości chwilowe napięć na cewce i oporniku i wykreślamy napięcie  

na końcach gałęzi szeregowej LR. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30 

15

10 

20

40 

5 

15 

-25 

-40 

25

U[V] 

t[ms] 

 

Przebieg napięcia na końcach gałęzi szeregowej LR. 

 

Zadanie 

Dwie cewki sprzężone magnetycznie połączono szeregowo i przyłączono do napięcia 

sinusoidalnego o wartości skutecznej  U = 220 V i częstotliwości f = 50 Hz. Włączony do 

obwodu amperomierz wskazał prąd I

1

 = 9,7 A, a po przełączeniu zacisków na jednej cewce 

prąd I

2

 = 13,3 A. Obliczyć indukcyjność wzajemną cewek M, współczynnik sprzężenia k i 

wykresy wektorowe. Dane: R

1

 = 7 Ω, L

1

 = 19,1 mH, R

2

 = 9 Ω, L

2

 = 12,7 mH. 

Rozwiązanie  

Pomiary prądu odpowiadają dwom układom: 

•  połączeniu zgodnemu cewek – prąd I

1

 

 

(

)

M

X

j

jX

R

M

L

L

j

R

R

Z

2

2

2

1

2

1

1

+

+

=

+

+

+

+

=

ω

 

∗

∗

L

1

L

2

R

1

R

2

M

U

U

1

U

2

I

1

 

 

•  połączeniu przeciwnemu cewek – prąd I

2

 

 

(

)

M

X

j

jX

R

M

L

L

j

R

R

Z

2

2

2

1

2

1

2

−

+

=

−

+

+

+

=

ω

 

∗

∗

L

1

L

2

R

1

R

2

M

I

2

 

Impedancje cewek: 

Ω

=

=

=

7

,

22

7

,

9

220

1

1

I

U

Z

   

Ω

=

=

=

5

,

16

3

,

13

220

2

2

I

U

Z

 

(

)

2

2

2

1

2

M

X

X

R

Z

+

+

=

 

(

)

2

2

2

2

2

M

X

X

R

Z

−

+

=

 

(

) (

)

2

2

2

1

2

2

2

2

Z

Z

X

X

X

X

M

M

−

=

−

−

+

 

stąd indukcyjność wzajemna  

Ω

=

⋅

−

=

−

=

3

10

8

5

,

16

7

,

22

8

2

2

2

2

2

1

X

Z

Z

X

M

,  

mH

X

M

M

5

,

9

314

3 =

=

=

ω

, 

współczynnik sprzężenia  

6

,

0

7

,

12

1

,

19

5

,

0

2

1

=

⋅

=

⋅

=

L

L

M

k

 

wykresy wektorowe 

I

1

U

R1

U

R2

U

L1

U

L2

U

M1

U

M2

U

1

U

2

U

połączenie zgodne

 

 

 

 

 

 

I

2

U

R1

U

R2

U

L1

U

L2

U

M1

U

M2

U

1

U

2

U

połączenie przeciwne

 

 

 

Zadanie 

Wyznaczyć prądy pierwotny I

1

 i wtórny I

2

 w transformatorze bezrdzeniowym, wiedząc, że U 

= j120 V, ω = 10

4

 rad/s, L

1

 = 2 mH, L

2

 = 1,5 mH, C = 20 μF, R = 10 Ω, M = 0,3 mH. 

 

 

∗

∗

L

1

L

2

R

M

I

2

I

1

C

1

U

1

U

2

 

 

 

Rozwiązanie 

przy podanych na rysunku kierunkach, prądy spełniają następujące równania 

(

)

2

2

1

2

1

1

1

0

1

L

j

R

I

M

j

I

M

j

I

C

j

L

j

I

U

ω

ω

ω

ω

ω

+

+

−

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

 

podstawiając 

X

L1

 = ω L

1

 = 20 Ω,  X

L2

 = ω L

2

 = 15 Ω,  X

C

 = 1/ ω C = 4 Ω,  X

M

 = ω M = 3 Ω, 

po rozwiązaniu równań otrzymujemy  

13

,

7

12

,

3

1

j

I

−

=

.  

70

,

0

09

,

1

2

j

I

−

=

 

 

Zadania do rozwiązania 

 

1. Zadanie 

Dwie cewki sprzężone magnetycznie o parametrach R

1

 = 3 Ω, R

2

 = 4 Ω, X

1

 = 7 Ω, X

2

 = 9 Ω, 

X

M

 = 4 Ω połączono równolegle. Jaka wartość ma impedancja zastępcza cewek przy 

połączeniu zgodnym i przeciwnym? 

 

 

∗

L

1

L

2

R

1

R

2

∗

∗

∗

L

1

L

2

R

2

R

1

I

1

I

2

I

2

I

1

M

M

połączenie zgodne

połączenie przeciwne

 

 

 

Odpowiedź: 

impedancja zastępcza cewek połączonych równolegle i sprzężonych magnetycznie 

 

M

M

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

m

2

1

2

1

+

−

⋅

=

 

 

połączenie zgodne cewek Z

z

 = 0,168+j6,522 

 
połączenie przeciwne cewek Z

p

 = 1,234+j2,485. 

 
 

2. Zadanie 

Wyznaczyć taką wartość współczynnika sprzężenia k, (

2

1

L

L

M

k

⋅

=

) aby impedancja 

zastępcza transformatora obciążonego pojemnością C miała charakter rezystancyjny. X

L1

 = 7 

Ω, X

L2

 = 11 Ω, X

C

 = 7 Ω. 

 

∗

∗

L

1

L

2

M

I

2

I

1

C

U

1

U

2

R

 

 
 
Odpowiedź  k =0,6.