(P) Trygonometria.
5 3
600 . odp: 15m
Ä… = 600 , ² = 300 , h = 6 cm, krótsza podstawa
b = 9 cm. Oblicz pole trapezu i jego obwód. odp: P = 6(4 3 + 9)cm2; Obw = 2(6 3 + 9)cm
podstawy Ä… = 600
odp: V = 384cm3; Pc = 96(1+ 7)cm2
Ä… = 300 ,
w stosunku 2:1. odp: 614,4 cm3
a)
wynosi 11 cm; odp: 2
7
0
b) . odp: Ä„
12
0
24 N.
odp: ok. 4992 km
3
Ä… sinÄ… = - .
4
7
odp: cosÄ… = Ä…
4
2 Ä„ 9 5
ëÅ‚ öÅ‚
8 Oblicz tgÄ… + ctgÄ… cosÄ… = - '" Ä… " ;Ä„ odp : -
ìÅ‚ ÷Å‚
3 2 10
íÅ‚ Å‚Å‚
9. Oblicz: a) ctg140 Å" ctg(- 760)+ 4sin 2100 Å" cos1500 odp : 3 -1
2
ëÅ‚- 11
öÅ‚
2
cos Ä„ + tg Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
3 4 1- 3
íÅ‚ Å‚Å‚
b) odp :
17 5 2
öÅ‚
sinëÅ‚- Ä„ + sin Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
6 3
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 2
+ =
1- cosÄ… 1+ cosÄ… sin2 Ä…
11. Narysuj wykresy funkcji:
Ä„ Ä„ Ä„
öÅ‚ öÅ‚ öÅ‚
+1;
a) f (x) = -tgëÅ‚ x + ; b) f (x) = -cosëÅ‚ x + +1; c) f (x) = 2sinëÅ‚ x - ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
3 4 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1 Ä„
öÅ‚
d) f (x) = ctgëÅ‚ x - ÷Å‚ -1
ìÅ‚
2 6
íÅ‚ Å‚Å‚
(PP) Trygonometria.
² = 600 , h= 18cm. Oblicz
Odp: V = 1296 3cm3
3
2. a) oblicz ctgÄ… Å" ctg² sinÄ… = , cos ² = -15 , Ä…, ² "(Ä„ ) odp: 2/5
5 17 2;Ä„
8
ctgÄ… = - i
15
3
ëÅ‚ öÅ‚
8
Ä… " Ä„ ;2Ä„ odp: tgÄ… = -15 ;sinÄ… = -15
ìÅ‚ ÷Å‚
8 17;cosÄ… = 17
2
íÅ‚ Å‚Å‚
3
sinÄ… = - i ctgÄ… > 0 :
4
Ä…
39
odp: tgÄ… =
13
19 4 Ä„ 7 2 - 3
öÅ‚
a) ctg Ä„ Å" cosëÅ‚- Ä„ + tg3Ä„ + cos2 + cos2 Ä„ odp:
ìÅ‚ ÷Å‚
6 3 9 18 2
íÅ‚ Å‚Å‚
0
b) tg270 Å" ctg120 Å" tg450 Å" ctg(- 78) Å" tg630 odp: -1
Ä„
öÅ‚
a) y = 3sin x - 4 odp : y " - 4;-1 b) y = 1+ 2 - 3sinëÅ‚ x + odp : y " 1;6
ìÅ‚ ÷Å‚
6
íÅ‚ Å‚Å‚
1
c) y = odp : y " (-";-1 > *" < 1;+") , d) y = sin(cos x) odp : y " - sin1;sin1
cos x
Ä„ Ä„ 1 1
e) y = cosëÅ‚ sin xöÅ‚ odp : y " 0;1 , f) y = sinëÅ‚ cos xöÅ‚ odp : y " - ;
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 6 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
6. Narysuj wykres funkcji:
1 Ä„ Ä„ îÅ‚ Ä„ Å‚Å‚ 1 1
öÅ‚ öÅ‚ öÅ‚
a) y = cosëÅ‚ x + -1 ; b) y = 2sinëÅ‚2x - ÷Å‚ -1 ; c) y = cosëÅ‚ x - ÷łśł
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
ïÅ‚- ìÅ‚ 4 Å‚Å‚ ; d) y = - tg 2 x
2 4 3 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Ä„ Ä„
öÅ‚ öÅ‚
e) y = 2sgn(sin x) f) y = -tgëÅ‚2x - ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
; g) y = - sinëÅ‚2 x + + 2 ; h) y = -sin(3x - Ä„ )
ìÅ‚
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1- sin2 x
i) y = + sin x ; j) y = 1- cos2 x Å" ctgx ; k) f (x)= cos x Å" tgx gdzie x "(0;2Ä„ )
2cos x
1
na podstawie wykresu i), j y(x)= dla x "(0;2Ä„ )
2
x3ctgx - x2tgx
a) f (x) = ; b) f (x) = ; odp: a) parzysta; b) nieparzysta
sin x -1 cos2 x -1
Ä„ Ä„
a) 2sin2 2x = 1; odp : x = + k ,k " C ;
8 4
x 2 4
b) 4cos2 = 1, odp : x = ą Ą + 4kĄ (" x = ą Ą + 4kĄ , k " C ;
2 3 3
Ä„ Ä„
3
c) tg x - tgx = 0; odp : x = kĄ (" x = + k , k " C
4 2
Ä„ 2 Ä„
d) sin 3x = cos 2x; odp : x = + kĄ (" x = + 2kĄ ,k " C ;
10 5 2
Ä„
e) 2cos x - 3 = 3; odp : x = + kĄ , k " C ;
2
Ä„ Ä„
f) sin x Å" cos x - sin2 x - cos x + sin x = 0 odp : x = + 2kÄ„ (" x = + kÄ„ , k " C ;
2 4
Ä„ Ä„
3 2
g) ctg x - ctg x - 3ctgx + 3 = 0 odp : x = + kĄ (" x = ą + kĄ , k " C ;
4 6
Ä„ 1 Ä„ Ä„ Ä„ 7
öÅ‚ öÅ‚
h) sin2 ëÅ‚ x - ÷Å‚ - sinëÅ‚ x - ÷Å‚
= 0 odp : x = + kĄ (" x = + 2kĄ (" x = Ą + 2kĄ , k " C ;
ìÅ‚ ìÅ‚
3 2 3 3 2 6
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚- Ä„ 3 Ä„ Ä„ 3 4
öÅ‚
i) -1 d" tgx < 3 '" x " ; Ä„ odp : x "< - ; )*" < Ä„ ; Ä„ ) ;
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 4 3 4 3
íÅ‚ Å‚Å‚
1 Ä„ Ä„ 5
j) -1 < cos x d" '" x "(- Ä„ ;2Ä„ ) odp : x " (-Ä„ ;- > *" < ;Ä„ ) *" (Ä„ ; Ä„ > ;
2 3 3 3
2 Ä„ 3 5 7
k) sin2 x e" '" x "(0;2Ä„ ) odp : x "< ; Ä„ > *" < Ä„ ; Ä„ > ;
2 4 4 4 3
Ä„ 2 4 5
l) sin 3x d" 0 '" x "< 0;2Ä„ > odp : x "< ; Ä„ > *" < Ä„ ; Ä„ > *" < Ä„ ;2Ä„ > ;
3 3 3 3
1 Ä„ 3
tgx + e" 2 '" x "(0;2Ä„ ) odp : x " (0; ) *" (Ä„ ; Ä„ )
tgx 2 2
1 Ä„
a) y = cos(Ä„x) ; b) y = ctg( 3x)+ 2 ; c) y = ctgëÅ‚ [x]öÅ‚ ; d) y = sin 2x + sin(- 4x);
ìÅ‚ ÷Å‚
2 4
íÅ‚ Å‚Å‚
x x x Ä„ 3
e) y = ctg - sin ; f) y = ctg( 3x)+ tg odp:a) T=2;b)T= ;c)T=4; d)T= Ä„ ;e) T= 6Ä„ ;f) nie
2 3 3 3
 cosx = ½, oblicz:
a) sin x Å" cos x ; b) sin x + cos x ; c) sin3 x - cos3 x ; d) sin4 x - cos4 x
3 7 11 7
odp: a) ; b) ; c) ; e) Ä…
8 2 16 4
2
sin2 Ä… - tg Ä…
6
a) sin6 Ä… + 3sin2 Ä… Å" cos2 Ä… + cos6 Ä… = 1; b) tg Ä… = ;
2
cos2 Ä… - ctg Ä…
1- sin4 Ä… - cos4 Ä… 2
c) = ; d) 2(sin6 Ä… + cos6 Ä…)+1 = 3(sin4 Ä… + cos4 Ä…)
1- sin6 Ä… - cos6 Ä… 3
m ( m " R ) równanie:
Ä„
öÅ‚
a) 2sinëÅ‚2x - ÷Å‚ -1 = m -1 odp : m "< -4;-1 > *" < 1;4 > ;
ìÅ‚
3
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„
öÅ‚
b) 1- 3cosëÅ‚3x + = m odp : m "< 0;4 >
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
1 2
öÅ‚
c) 2cos3x = m + 3 - 4 odp: m " - 9;-5 *" -1;3 d) sinëÅ‚2 x - Ä„ +1 = m -1
ìÅ‚ ÷Å‚
2 3
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 3 5
odp: m " - ; *" ; e) 2sin2 x + cos2 x = m + 2 -1 odp: m " - 5;-4 *" 0;1
2 2 2 2