8. Liniowe układy dyskretne.doc, 1/19

UKŁADY DYSKRETNE

1

Pojęcie układu

• matematyczną definicją (modelem) układu jest jednoznaczne przekształcenie

(operator) odwzorujące sygnał wejściowy

x

w sygnał wyjściowy

y

jest to tzw. ujęcie transmisyjne

[ ]

x

T

y =

y

x

T

→

• w ogólnym przypadku układ może być wielowejściowy i wielowyjściowy

• powyższa definicja układu ma charakter uniwersalny i może odnosić się do różnych

klas sygnałów

• jeśli dziedzina

X

i przeciwdziedzina

Y

operatora

T

są zbiorami sygnałów

dyskretnych w czasie, układ nazywamy dyskretnym

1

opracowano na podstawie [1-7], wersja z dnia 02.10.2014

materiał nie jest pełnym i ścisłym pod względem formalnym opracowaniem poszczególnych tematów, stanowi

jedynie szkielet, wokół którego budowany jest wykład

y

x

T [..]

pobudzenie

odpowiedź

8. Liniowe układy dyskretne.doc, 2/19

UKŁADY DYSKRETNE (cd)

Klasyfikacja układów

• układ stacjonarny (niezmienny względem przesunięcia, inwariantny w czasie)

- operator przesunięcia w czasie sygnałów dyskretnych

( )

{

} (

)

0

0

n

n

x

n

x

P

n

−

=

- operator

T

określony w dziedzinie sygnałów dyskretnych nazywamy stacjonarnym,

jeśli dla każdych

( )

n

x

i

0

n

zachodzi przemienność

( )

[

]

{

}

( )

[

]

{

}

n

x

T

P

n

x

P

T

n

n

0

0

=

układ opisany operatorem stacjonarnym nazywamy układem stacjonarnym;
układ opisany operatorem nie spełniającym warunku stacjonarności nazywamy
układem niestacjonarnym

- dla stacjonarnych układów dyskretnych spełniona jest zależność

jeżeli

( )

( )

[

]

n

x

T

n

y

=

to

(

)

(

)

[

]

0

0

n

n

x

T

n

n

y

−

=

−

8. Liniowe układy dyskretne.doc, 3/19

UKŁADY DYSKRETNE (cd)

- operatory: mnożenia skalarnego

( )

( )

n

ax

n

y

=

oraz opóźnienia

( )

(

)

1

−

= n

x

n

y

w dziedzinie sygnałów dyskretnych są operatorami stacjonarnymi

- operator typu

( )

( )

n

x

n

n

y

=

w dziedzinie sygnałów dyskretnych jest operatorem

niestacjonarnymi

• układ liniowy

-

układ dyskretny nazywamy liniowym jeśli spełnia zasadę superpozycji, tzn.
odpowiedź układu na ważoną sumę sygnałów wejściowych równa jest sumie
ważonych odpowiednio odpowiedzi oddzielnie na każdy z sygnałów, w przeciwnym
przypadku układ nazywamy nieliniowym

( )

( )

( )

[

]

( )

[

]

( )

[

]

( )

( )

n

by

n

ay

n

x

bT

n

x

aT

n

bx

n

ax

T

n

y

2

1

2

1

2

1

+

=

+

=

+

=

w ogólnym przypadku

( )

( )

( )

( )

∑

∑

=

=

=

→

=

M

k

k

k

T

M

k

k

k

n

y

a

n

y

n

x

a

n

x

1

1

gdzie

( )

( )

[

]

M

k

n

x

T

n

y

k

k

...,

,

2

,

1

=

=

8. Liniowe układy dyskretne.doc, 4/19

UKŁADY DYSKRETNE (cd)

• układ przyczynowy

jeżeli układ opisany operatorem

T

odwzorowuje zbiór sygnałów

X

w zbiór

sygnałów

Y

i jeżeli

[ ]

1

1

x

T

y =

oraz

[ ]

2

2

x

T

y =

wówczas operator

T

określony

w zbiorze sygnałów dyskretnych

X

nazywa się operatorem przyczynowym jeśli dla

każdych

( ) ( )

X

n

x

n

x

∈

2

1

,

i każdego

0

n

z równości

( )

( )

0

2

1

,

n

n

n

x

n

x

<

=

wynika równość

( )

( )

0

2

1

,

n

n

n

y

n

y

<

=

układ opisany operatorem przyczynowym nazywamy układem przyczynowym;
w przeciwnym wypadku układ nazywamy układem nieprzyczynowym

z powyższych definicji wynika, że dla układu przyczynowego z równości

( )

0

0

n

n

n

x

<

≡

dla

, wynika równość

( )

0

0

n

n

n

y

<

≡

dla

- zatem

odpowiedź

układu przyczynowego nie może poprzedzać wymuszenia

inaczej układ dyskretny nazywamy przyczynowym jeśli wartość sygnału na jego

wyjściu

( )

n

y

w dowolnym momencie czasu

n

zależy jedynie od bieżącej

i poprzednich wartości sygnały wejściowego i nie zależy od przyszłych wartości
sygnału wejściowego w przeciwnym przypadku układ nazywamy nieprzyczynowym

układ nieprzyczynowy jest nierealizowalny praktycznie

8. Liniowe układy dyskretne.doc, 5/19

UKŁADY DYSKRETNE (cd)

• liniowość, stacjonarność i przyczynowość są immanentnymi cechami układu, zależnymi

jedynie od jego struktury wewnętrznej i niezależnymi od klasy przetwarzanych
sygnałów

• odpowiedź układu na pobudzenie testowe (przy założeniu zerowych warunków

początkowych) jest jego charakterystyką opisującą w dziedzinie czasu relacje
„wejście -wyjście”

• rolę pobudzenia testowego pełni impuls Kroneckera

( )

n

δ

• odpowiedź impulsową

( )

n

h

układu nazywamy jego reakcję (sygnał wyjściowy) na

pobudzenie w postaci impulsu Kroneckera

( )

n

δ

przy zerowych warunkach

początkowych

znajomość odpowiedzi impulsowej pozwala wyznaczyć reakcję układu na dowolne
pobudzenie

h(n)

δ(n)

zerowe warunki

początkowe

8. Liniowe układy dyskretne.doc, 6/19

UKŁADY DYSKRETNE (cd)

• ponieważ impuls Kroneckera

( )

n

δ

przyjmuje wartości zerowe dla

0

<

n

wobec tego

dla układów przyczynowych reakcja na to pobudzenie również musi spełniać warunek

( )

0

0

<

=

n

n

h

dla

każdy układ fizyczny jest przyczynowy stąd powyższy warunek stanowi podstawowy
warunek realizowalności

• układ (system) dyskretny nazywamy stabilnym jeśli dowolny wejściowy sygnał

ograniczony w wartościach wywołuje na jego wyjściu ograniczoną w wartościach

odpowiedź, czyli istnieją skończone wartości

x

M

oraz

y

M

takie, że dla wszystkich

n

dla

( )

∞

<

≤

x

M

n

x

otrzymujemy

( )

∞

<

≤

y

M

n

y

w przeciwnym przypadku układ nazywamy niestabilnym

układy liniowe, niezmienne względem przesunięcia, są stabilne wtedy i tylko wtedy,
kiedy ich odpowiedź impulsowa spełnia warunek

( )

∞

<

∑

∞

−∞

=

n

n

h

• stacjonarne układy liniowe LS (ang. LTI Linear Time-Invariant), nazywane również

układami liniowymi niezmiennymi względem przesunięcia, są podstawową klasą
rozważanych układów i przedmiotem naszych dalszych rozważań

8. Liniowe układy dyskretne.doc, 7/19

UKŁADY DYSKRETNE (cd)

• dowolny sygnał w dyskretnej dziedzinie czasu można zapisać

( )

( ) (

)

∑

∞

−∞

=

−

δ

=

k

k

n

k

x

n

x

• odpowiedź impulsowa układu opisanego operatorem przekształcenia

T

( )

( )

[

]

n

T

n

h

δ

=

• dla układów niezmiennych względem przesunięcia (stacjonarnych)

(

)

(

)

[

]

k

n

T

k

n

h

−

δ

=

−

• odpowiedź układu na wymuszenie

( )

n

x

( )

( )

[

]

( ) (

)













−

δ

=

=

∑

∞

−∞

=

k

k

n

k

x

T

n

x

T

n

y

• z właściwości liniowości

( )

( ) (

)

[

]

∑

∞

−∞

=

−

δ

=

k

k

n

T

k

x

n

y

8. Liniowe układy dyskretne.doc, 8/19

UKŁADY DYSKRETNE (cd)

• ostatecznie na podstawie (stacjonarność)

(

)

(

)

[

]

k

n

T

k

n

h

−

δ

=

−

( )

( ) (

)

( ) (

)

∑

∑

∞

−∞

=

∞

−∞

=

−

=

−

=

k

k

k

n

x

k

h

k

n

h

k

x

n

y

powyższa operacja nazywa się operacją splotu (dyskretnego) i wyraża relację
pomiędzy sygnałem na wyjściu układu LS (odpowiedzią) a sygnałem
wejściowym (pobudzeniem) i odpowiedzią impulsową tego układu

8. Liniowe układy dyskretne.doc, 9/19

DYSKRETNY SPLOT SYGNAŁÓW

Wprowadzenie

• operacja splotu opisuje operację filtracji jednego sygnału przez drugi; w systemach

liniowych jest podstawowym narzędziem do opisu wzajemnej zależności pomiędzy
sygnałem wejściowym, odpowiedzią impulsową systemu i sygnałem wyjściowym

• w systemach cyfrowych (dyskretnych) nabiera szczególnego znaczenia – stanowi

matematyczną podstawę ich opisu

• właściwości splotu dyskretnego

- właściwość przemienności

( )

( ) ( )

( ) ( )

n

x

n

h

n

h

n

x

n

y

∗

=

∗

=

y(n)

x(n)

h(n)

y(n)

h(n)

x(n)

8. Liniowe układy dyskretne.doc, 10/19

DYSKRETNY SPLOT SYGNAŁÓW (cd)

- właściwość łączności

( )

( )

( )

[

]

( )

( )

( )

( )

[

]

n

h

n

h

n

x

n

h

n

h

n

x

n

y

2

1

2

1

∗

∗

=

∗

∗

=

- właściwość rozdzielności względem dodawania

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

[

]

n

h

n

h

n

x

n

h

n

x

n

h

n

x

2

1

2

1

+

∗

=

∗

+

∗

y(n)

h

1

(n)

+

h

2

(n)

x(n)

y(n)

h

2

(n)

h

1

(n)

x(n)

y(n)

h

1

(n)

∗

h

2

(n)

x(n)

h

1

(n)

y(n)

h

2

(n)

x(n)

8. Liniowe układy dyskretne.doc, 11/19

DYSKRETNY SPLOT SYGNAŁÓW (cd)

• w dyskretnej dziedzinie czasu definiuje się pojęcie splotu liniowego, splotu okresowego

oraz splotu kołowego (cyklicznego); pojęcia te definiuje się w oparciu o operacji
liniowego i kołowego odwracania i przesuwania ciągu

• operacja odwracania ciągu w czasie (inwersja ciągu)

• operacja kołowego odwracania ciągu w czasie (kołowa inwersja ciągu)

x

mod N

(n)

x[(0)

mod4]=x(0)

x[(-1)

mod4]=x(3)

x[(-2)

mod4]=x(2)

x(n)

n

N=4

0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7

-4 -3 -2 -1

-8 -7 -6 -5

n

~

x

(n)

0 1 2 3

n

x

(-n)

~

0 1 2 3 4 5 6 7

-4 -3 -2 -1

8

-7 -6 -5

n

x

mod N

(-n)

0 1 2 3

n

x[(-3)

mod4]=x(1)

x

mod N

(n)

0 1 2 3

n

x

(-n)

~

x

(-n)

x(n)

n

n

N=4

0 1 2 3

0

-3 -2 -1

0 1 2 3 4 5 6 7

-4 -3 -2 -1

-8 -7 -6 -5

n

~

x

(n)

0 1 2 3 4 5 6 7

-4 -3 -2 -1

8

-7 -6 -5

n

8. Liniowe układy dyskretne.doc, 12/19

DYSKRETNY SPLOT SYGNAŁÓW (cd)

• liniowe przesunięcie ciągu

• kołowe (cykliczne) przesunięcie ciągu

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-4 -3 -2 -1

-8 -7 -6 -5

n

n

x

mod N

(n-3)

x

mod N

(n-2)

x

mod N

(n-1)

x

mod N

(n)

x(n)

~

x

(n)

n

n

n

n

n

N=4

n

n

x

(n-1)

~

x

(n-2)

~

x

(n-3)

~

x

mod N

(

n)≡

≡x[(n) mod N ]

x[(0-1)

mod4]=x(3)

x[(1-1)

mod4]=x(0)

x[(2-1)

mod4]=x(1)

np.:

0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-4 -3 -2 -1

-8 -7 -6 -5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-4 -3 -2 -1

-8 -7 -6 -5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-4 -3 -2 -1

-8 -7 -6 -5

~

x

(n)

n

x

(n-4)

~

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-4 -3 -2 -1

-8 -7 -6 -5

0 1 2 3

0 1 2 3

0 1 2 3

0 1 2 3

x

mod N

(n-4)

n

x

(n)

~

0 1 2 3

x[(3-1)

mod4]=x(2)

x

mod N

(n)

n

0 1 2 3

x(n-1)

x(n)

x(n-2)

n

N=4

0 1 2 3

n

0 1 2 3

n

0 1 2 3 4 5

4

8. Liniowe układy dyskretne.doc, 13/19

DYSKRETNY SPLOT SYGNAŁÓW (cd)

Splot liniowy ciągów

( )

n

x

i

( )

n

h

o skończonej długości odpowiednio

1

N

i

2

N

( )

( ) (

) ( ) ( )

2

,...,

0

,

2

1

2

0

2

1

−

+

=

∗

=

−

=

∑

−

+

=

N

N

n

n

h

n

x

k

n

h

k

x

n

y

N

N

k

h

(n)

x

(k)

n

n

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

h

(-k)

k

k

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

y(n)

n

0

1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

h

(1-k)

k

k

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

y(n)

n

0

1

2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

k

k

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

y(n)

n

0 1 2

3

4 5 6

-1

-2

-3

-4

k

k

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

y(n)

n

0 1 2 3

4

5 6

-1

-2

-3

-4

k

k

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

y(n)

n

0 1

2

3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

n=0

n=1

n=2

n=3

n=4

h

(2-k)

h

(3-k)

h

(4-k)

x

(k)

x

(k)

x

(k)

x

(k)

x

(n)

N

1

=3

N

2

=4

k

k

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

y(n)

n

0 1 2 3 4

5

6

-1

-2

-3

-4

n=5

h

(5-k)

x

(k)

k

k

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

y(n)

n

0 1 2 3 4 5

6

-1

-2

-3

-4

n=6

h

(6-k)

x

(k)

8. Liniowe układy dyskretne.doc, 14/19

DYSKRETNY SPLOT SYGNAŁÓW (cd)

Splot okresowy ciągów

( )

n

x

~

i

( )

n

h

~

o jednakowych okresach

N

N

N

=

=

2

1

( )

( ) (

)

( ) ( )

n

h

n

x

k

n

h

k

x

n

y

N

k

~

~

~

~

~

1

0

∗

=

−

=

∑

−

=

n

n

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

k

k

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

n

0

1 2 3

4

5 6

-1

-2

-3

-4

n=0

N

1

=4

7

7

~

x

(n)

h

(n)

~

7

~

x

(k)

7

h

(-k)

~

7

~

y

(n)

k

k

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

n

0

1

2 3 4

5

6

-1

-2

-3

-4

n=1

7

~

x

(k)

7

7

~

y

(n)

h

(1-k)

~

k

k

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

n

0 1

2

3 4 5

6

-1

-2

-3

-4

n=2

7

~

x

(k)

7

7

~

y

(n)

h

(2-k)

~

k

k

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

n

0 1 2

3

4 5 6

-1

-2

-3

-4

n=3

7

~

x

(k)

7

7

~

y

(n)

h

(3-k)

~

N

2

=4

8. Liniowe układy dyskretne.doc, 15/19

DYSKRETNY SPLOT SYGNAŁÓW (cd)

Splot kołowy (splot cykliczny) dla ciągów o długości

N

N

N

=

=

2

1

( )

( )

(

)

( )

( )

1

,...,

0

,

1

0

mod

−

=

⊗

=

−

=

∑

−

=

N

n

n

h

n

x

k

n

h

k

x

n

y

N

k

N

h

.mod N

(-k)

x

(k)

k

k

0 1 2

0 1 2

y(n)

n

0

1 2

n=0

n

n

0 1 2 3

0 1 2 3

N

1

=4

N

2

=4

x

(n)

h

(n)

3

3

3

x

(k)

k

k

0 1 2

0 1 2

y(n)

n

0

1

2

n=1

3

3

3

h

.mod N

(1-k)

x

(k)

k

k

0 1 2

0 1 2

y(n)

n

0 1

2

n=2

3

3

3

h

.mod N

(2-k)

x

(k)

k

k

0 1 2

0 1 2

y(n)

n

0 1 2

n=3

3

3

3

h

.mod N

(3-k)

8. Liniowe układy dyskretne.doc, 16/19

DYSKRETNY SPLOT SYGNAŁÓW (cd)

• splot kołowy po uzupełnieniu ciągów zerami do długości

1

'

2

1

−

+

=

N

N

N

( )

( )

(

)

( )

( )

1

'

,...,

0

,

'

'

'

'

'

1

'

0

'

mod

−

=

⊗

=

−

=

∑

−

=

N

n

n

h

n

x

k

n

h

k

x

n

y

N

k

N

h'

mod N'

(-k)

x'

(k)

k

k

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

y'(n)

n

0

1 2 3 4

n=0

n

n

0 1 2 3

0 1 2 3

N

1

=6

N

2

=6

x'

(n)

h'

(n)

4 5

4 5

5

5

5

x'

(k)

k

k

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

y'(n)

n

0

1

2 3 4

n=1

5

5

5

h'

mod N'

(1-k)

x'

(k)

k

k

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

y'(n)

n

0 1

2

3 4

n=2

5

5

5

h'

mod N'

(2-k)

x'

(k)

k

k

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

y'(n)

n

0 1 2

3

4

n=3

5

5

5

h'

mod N'

(3-k)

x'

(k)

k

k

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

y'(n)

n

0 1 2 3

4

n=4

5

5

5

h'

mod N'

(4-k)

x'

(k)

k

k

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

y'(n)

n

0 1 2 3 4

n=5

5

5

5

h'

mod N'

(5-k)

8. Liniowe układy dyskretne.doc, 17/19

DYSKRETNY SPLOT SYGNAŁÓW (cd)

• podsumowanie

y'(n)

n

0 1 2 3 4 5

y(n)

n

0 1 2 3

n

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

7

~

y

(n)

y(n)

n

0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

splot liniowy

splot okresowy

splot kołowy

splot kołowy ciągów

uzupełnionych zerami

8. Liniowe układy dyskretne.doc, 18/19

Dodatek

Funkcja 'mod' (arytmetyka modulo)

funkcja 'podłoga'

 

=

x

największa liczba całkowita

x

≤

( )





0

mod

≠

−

=

y

y

x

y

x

y

x

dla

,

( )

x

x

=

0

mod

(

y

- modulnik)

przykłady

( )

 

0

6

0

6

0

6

mod

0

=

−

=

( )

 

0

6

6

6

6

6

mod

6

=

−

=

( )





0

6

6

6

6

6

mod

6

=

−

−

−

=

−

( )

 

2

6

2

6

2

6

mod

2

=

−

=

( )

 

2

6

8

6

8

6

mod

8

=

−

=

( )





4

6

2

6

2

6

mod

2

=

−

−

−

=

−

( )





4

6

8

6

8

6

mod

8

=

−

−

−

=

−

( )

( )

( ) ( )





4

6

8

6

8

6

mod

8

−

=

−

−

−

=

−

( )

( )

( )

( )





2

6

8

6

8

6

mod

8

−

=

−

−

−

−

−

=

−

−

oznaczamy również w skrócie:

( )

[

]

( )

n

x

N

n

x

N

mod

mod

≡

8. Liniowe układy dyskretne.doc, 19/19

BIBLIOGRAFIA

1. Szabatin J.: Przetwarzanie sygnałów. Materiały dydaktyczne Politechniki Warszawskiej,

2003,

www.ise.pw.pl/~szabatin

.

2. Oppenheim A.V.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. WKŁ, Warszawa, 1979.

3. Zieliński T.P.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań. WKŁ,

Warszawa 2005.

4. Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G.: Teoria sygnałów. Kompendium wiedzy na temat

sygnałów i metod ich przetwarzania, Helion, Gliwice, 2006

5. Lyons R.G.: Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów. WKŁ,

Warszawa, 2003.

6. Proakis J.G., Manolakis D.G.: Digital signal processing. Principles, Algorithms, and

Applications. Third Edition. Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 1996.

7. Smith S.W.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Praktyczny poradnik dla inżynierów i

naukowców. Wydawnictwo BTC, Warszawa, 2007.