3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 1/11

3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 2/11

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH 1

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH (cd)

• sygnał okresowy x( t) , o okresie T

− ∞,∞

0 można rozwinąć w przedziale nieskończonym (

)

• przy założeniu, że okres T 0 dąży do nieskończoności szereg trygonometryczny lub wykładniczy

• w praktyce analizie częstotliwościowej poddawane są sygnały ograniczone w czasie oraz na ogół

lim x ( t) = x( t) T

nieokresowe

T →∞

0

• potrzeba stworzenia narzędzi analitycznych do badania dowolnych sygnałów, w tym nieokresowych, o dowolnym czasie trwania

• sygnał x ( t)

T

można zapisać w postaci

• rozpatrzmy dowolny ograniczony w czasie sygnał nieokresowy x( t) oraz jego okresowe

∞

x ( t) =

x t

nT

T

∑ ( + )

powielenie x ( t )

0

T

n=−∞

x( t)

• ponieważ x ( t)

T

jest sygnałem okresowym można go rozwinąć w przedziale t

nieograniczonym w wykładniczy szereg Fouriera

0

∞

x

π

T ( t)

2

x ( t)

a e

0

ω =

T

∑

ω

=

ji

t

i

, gdzie

0

T

i=−∞

0

t

współczynniki rozwinięcia

0

T 0

t +

0

0

T

a = 1

x ( t) e

dt

i

∫

− ω

ji 0 t

T

T

0

t 0

1 opracowano na podstawie [1-4], wersja z dnia 02.10.2014

materiał nie jest pełnym i ścisłym pod względem formalnym opracowaniem poszczególnych tematów, stanowi jedynie szkielet, wokół którego budowany jest wykład 3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 3/11

3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 4/11

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH (cd) ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH (cd) po podstawieniu otrzymamy

ostatecznie

∞

t +



T

0

0



∞

t +

 T

0

0



1

1

x t

x t e

0 dt e

0

x t e

0 dt e

0

T ( ) = ∑ 

T ( )

ji

t

ji

t

ji

t

ji

t



∫

− ω

 ω =



∑  T ( )

T

2π

 ∫

− ω

 ω ω



0

para całkowych przekształceń Fouriera:

i=−∞

0

i=−∞



t 0



 t 0



∞

jeśli T → ∞

1

0

wówczas okresowe powielenie xT ( t) staje się równoważne sygnałowi x( t) =

X ( )

∫

ω

ω e j t ω

d

2π

2π −∞

x( t) , pulsacja podstawowa ω =

ω

0

dąży do nieskończenie małej wartości ω

d , i

∞

T

0

0

X ( )

ω = x( t)

∫

− ω

e j tdt

(kolejna harmoniczna) przechodzi w ciągłą pulsację bieżącą ω zaś sumę dyskretną

−∞

można zastąpić sumą ciągłą (całką)

∞

∞





1

x( t)

jω

=

t 

e

x( t)

∫

e j tdt d

2π

 ∫

− ω

 ω



Uwaga

−∞

 −∞



przekształcenie całkowe Fouriera przedstawia sygnał w postaci nieskończonej sumy wielkość

nieskończenie małych składowych harmonicznych określonych na całej (ciągłej) osi

∞

pulsacji

X ( )

ω = x( t)

∫

− jω

e

tdt

widmo X ( )

ω jest zespoloną funkcją pulsacji, niosącą informacje zarówno

−∞

o amplitudzie jak i fazie elementarnych składowych harmonicznych nazywa się charakterystyką widmową sygnału x( t ) 3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 5/11

3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 6/11

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH (cd) ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH (cd)

• charakterystyką widmową sygnału x( t) (prostą transformatę Fouriera) można

• widmo gęstości energii sygnału x( t) (dla sygnałów o ograniczonej energii) przedstawić w postaci trygonometrycznej oraz wykładniczej Φ (ω) = X ( )2

ω

x

∞

∞

∞

X ( )

ω = x( t) − jω t

e

dt =

x( t)cosω tdt − j x( t)sin ω tdt =

∫

∫

∫

dostarcza informacji o rozkładzie energii na poszczególne składowe częstotliwościowe

−∞

−∞

−∞

• energia całkowita (twierdzenieParsevala)

= (

∞

∞

∞

A

)

ω − jB( )

ω = X ( ) jϕ(ω)

ω e

2

1

1

2

E =

x

x

( t) dt =

Φ x( )

ω ω

d =

X (ω)

∫

∫

∫

ω

d

gdzie:

2π

2π

−∞

−∞

−∞

B ω

X ( )

ω =

2

A ( )

ω + 2

B ( )

ω

(

ϕ )

ω = arg X (ω)

( )

= − arctg (

A ω)

• widmo gęstości mocy sygnału x( t) (dla sygnałów o ograniczonej mocy średniej)

arg X (ω)

Im X ( )

ω ≠ 0

Ψ

1

lim

x (

)

ω =

Φ T (ω)

T →∞ T

arg X ( ) 

ω = 

0

Im X (ω) = 0 i X (ω) ≥ 0



Φ

x t

πsgn( )

ω

Im X (ω) = 0 i X (ω) < 0

gdzie

T (

)

ω jest widmem energii wycinka sygnału

( )

T

o długości T

• moc średnia sygnału

moduł charakterystyki widmowej sygnału nazywa się charakterystyką

∞

∞

amplitudowo–częstotliwościową (widmo amplitudowe) 1

2

1

P = lim

x

x

( t) dt =

Ψ x( )

ω ω

d

T

∞

→

∫

∫

T

2π

argument charakterystyki widmowej sygnału nazywa się charakterystyką

−∞

−∞

fazowo–częstotliwościową (widmo fazowe) 3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 7/11

3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 8/11

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH (cd) ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH (cd) Warunki istnienia transformaty Fouriera

Wybrane właściwości transformaty Fouriera

•

przekształcenie Fouriera nie zawsze może być wyznaczone dla wszystkich sygnałów x( t )

• dane są pary transformat

(np. nie są F -transformowalne w zwykłym sensie sygnały mocy, natomiast sygnały energii są prawie zawsze F -transformowalne)

x( t) ↔ X ( )

ω oraz y( t) ↔ Y ( )

ω

• w rozważaniach teoretycznych przekształcenie Fouriera w sensie zwykłym zapewnia spełnienie warunków Dirichleta

właściwości

warunek 1

twierdzenie o liniowości

sygnał x( t ) jest bezwzględnie całkowalny (dostateczny, ale nie konieczny)

∞

ax( t) + by( t) ↔ aX ( ) ω + bY ( )

ω

x( t) dt < ∞

∫

−∞

twierdzenie o splocie w dziedzinie czasu

warunek 2

x( t)∗ y( t) ↔ X ( ) ω Y ( )

ω

sygnał x( t ) posiada skończoną liczbę ekstremów warunek 3

twierdzenie o splocie w dziedzinie częstotliwości sygnał x( t ) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości 1

x( t) y( t) ↔

X ( )

ω ∗ Y ( )

•

ω

w celu rozszerzenia zakresu stosowalności analizy częstotliwościowej na sygnały nie posiadające 2π

F -tranformaty w sensie zwykłym (np. sygnał stały, skok jednostkowy, sygnały harmoniczne, sygnały dystrybucyjne) wprowadzane są uogólnienia, np. przekształcenie Fouriera w sensie granicznym

3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 9/11

3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 10/11

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH (cd) ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH (cd)

twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie czasu twierdzenie o energii (Parsevala)

− ω

∞

∞

x( t − t ) ↔ X ( ) j

0

t

ω e

2

1

2

0

x( t) dt =

X ( )

∫

∫ ω ω

d

2π

−∞

−∞

twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie częstotliwości (o modulacji) x( t) − ω

j 0

e

t ↔ X (ω + ω )

twierdzenie o różniczkowaniu w dziedzinie czasu 0

dx( t)

x( t)

1

cosω t ↔

X ω − ω + X ω + ω

0

[ (

)

(

)

0

0 ]

↔ ω

j X ( )

ω

2

dt

x( t)

1

sin ω t ↔

X ω − ω − X ω + ω

0

[ (

)

(

)

0

0 ]

2 j

uogólnione twierdzenie Rayleigha

∞

∞

1

x( t) y*( t) dt =

X ( )

ω Y *( )

∫

∫

ω dω

2π

−∞

−∞

iloczyn skalarny sygnałów jest proporcjonalny do iloczynu skalarnego ich widm 3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 11/11

BIBLIOGRAFIA

1. Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G.: Teoria sygnałów. Kompendium wiedzy na temat sygnałów i metod ich przetwarzania, Helion, Gliwice, 2006

2. Szabatin J.: Podstawy teorii sygnałów. Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa, 2003.

3. Baskakow S.I.: Sygnały i układy radiotechniczne. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1991.

4. Lathi B.P.: Systemy telekomunikacyjne. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne WNT, Warszawa, 1972.