10. Przekształcenie Z.doc, 1/14

10. Przekształcenie Z.doc, 2/14

PRZEKSZTAŁCENIE Z 1

PRZEKSZTAŁCENIE Z (cd)

• przekształcenie Z jest efektywnym narzędziem do analizy i syntezy sygnałów i układów

• przekształcenie Z nie jest zbieżne dla wszystkich wartości zmiennej z , niezbędne staje czasu dyskretnego i jest odpowiednikiem przekształcenia Laplace’a dla układów czasu się zbadanie warunków zbieżności

ciągłego

•

• zbiór wartości z , dla których transformata

transformatą Z ciągu (funkcji argumentu całkowitego) { x( n)} jest funkcja zespolona

Z danego ciągu jest zbieżna (osiąga

skończoną wartość) nazywa się obszarem zbieżności, oznaczanym jako ROC ( ang.

zmiennej zespolonej z zdefiniowana równaniem

Region of Convergence)

∞

X ( z)

∑ x( n) −

=

n

z

przykład 1

n=−∞

gdzie:

X ( z) - transformata Z ciągu { x( n)}, inaczej X ( z) = Z{ x( n)}





1

−

2

−

−

1. x( n) =  ,

1 ,

3 ,

4 ,

0 

3

⇒ X ( z)

4

=1+ 3 z + 4 z + 3 z , ROC: z > 0

z

- zmienna zespolona

↑



• powyższa transformata nazywana jest transformatą dwustronną

• transformata Z jednostronna określona jest wyrażeniem





−

x n =

2

⇒ X z = z + z + +

0 < z <

∞

2. ( )

 ,

1 ,

3

,

4 ,

0 

3

( )

2

3

4 3 z

, ROC:

∞



↑



X ( z)

∑ x( n) −

=

n

z

n =0

3. x( n) = δ( n) ⇒ X ( z) = 1 , ROC: z ≥ 0

• dla ciągów przyczynowych obie transformaty są równoważne

z przytoczonych przykładów można zauważyć, że transformata Z jest prostym, alternatywnym przedstawieniem sygnału, w którym współczynnik przy zmiennej 1 opracowano na podstawie [1-5], wersja z dnia 02.10.2014

zespolonej z stanowi wartość próbki sygnału a wykładnik zmiennej zespolonej z zawiera informację o położeniu próbki w czasie

materiał nie jest pełnym i ścisłym pod względem formalnym opracowaniem poszczególnych tematów, stanowi jedynie szkielet, wokół którego budowany jest wykład

10. Przekształcenie Z.doc, 3/14

10. Przekształcenie Z.doc, 4/14

PRZEKSZTAŁCENIE Z (cd)

PRZEKSZTAŁCENIE Z (cd)

przykład 2

• jeśli zmienną zespoloną z przedstawimy w postaci wykładniczej n

 1 

j arg z

x( n) =   (

1 n)

=

z

z e

 2 

wówczas można udowodnić, że transformata Z danego ciągu jest zbieżna w pierścieniu



2

3

n



płaszczyzny zmiennej z

x( n)   1   1   1 

 1 



=  ,

1  ,  ,  ,...,  , 

...

  2   2   2 

 2 



r < z < r





1

2

2

n

∞

n

gdzie: r

r

1 może osiągać wartość zero, natomiast 2 może dążyć do nieskończoności X ( z)

1 −1  1  −2

 1  −

=1+ z +

n

1

  z +... +   z + ... = ∑

−1 

 z 

2

 2 

 2 

Im z

Im z

Im z

n=

2

0 



r 2

r 2

wyznaczając sumę nieskończonego szeregu geometrycznego otrzymujemy r

r

1

1

Re z

Re z

Re z

1

X ( z)

1

=

, ROC: z >

1

1

2

1

−

− z

2

• określenie obszaru zbieżności jest bardzo istotne; istnieją funkcje posiadające identyczne z przytoczonego przykładu można zauważyć, że transformata Z umożliwia uzyskanie transformaty Z , różniące się jedynie obszarem zbieżności; zatem transformata Z jest alternatywnej, znacznie bardziej zwartej reprezentacji sygnału wzajemnie jednoznaczna po uwzględnieniu obszaru zbieżności

10. Przekształcenie Z.doc, 5/14

10. Przekształcenie Z.doc, 6/14

PRZEKSZTAŁCENIE Z (cd)

PRZEKSZTAŁCENIE Z (cd)

przykład 3

przykład 3 (cd)

n

n

wyznaczyć transformatę Z sygnałów x( n) = α

(

1 n) oraz y( n) = −α (

1 − n − )

1 ,

0 < α < 1

n

ad y( n) = −α

(

1 − n − )

1

n

Im z

ad x( n) = α

(

1 n)

y( n)

Im

n

z

-3 - 2 - 1

α

Re z

0 1 2 3

x( n)

1

α

Re z

-1

n

0 1 2 3

1

−

∞

podst.

:

k

Y ( z) = ∑(− α n ) −

z n =

= −∑( 1−

α z)

1

∞

∞

=

n

1

−

k = − n

− α

X ( z)

n −

=

α z n =

∑

∑( 1−

α z )

1

=

n=−∞

k =

1

z

1

1

−

n=

− α

0

n=0

1

z

ROC: z < α

ROC: z > α

10. Przekształcenie Z.doc, 7/14

10. Przekształcenie Z.doc, 8/14

PRZEKSZTAŁCENIE Z (cd)

PRZEKSZTAŁCENIE Z (cd)

• obszarem zbieżności dla ciągu ograniczonego, czyli o elementach niezerowych dla

• ważną klasą transformat Z są transformaty będące funkcjami wymiernymi, tzn. będące n ≤ n ≤ n , jest cała płaszczyzna zmiennej zespolonej z oprócz z = ∞ , jeśli n < 0

stosunkami wielomianów zmiennej z

1

2

1

oraz oprócz z = 0 , jeśli n > 0

•

X z =

2

pierwiastkami wielomianu licznika są te wartości zmiennej z , dla których ( ) 0,

nazywa się je zerami funkcji X ( z)

• obszarem zbieżności dla ciągu prawostronnego, czyli o elementach niezerowych dla n ≥ n , jest obszar na zewnątrz koła oprócz z = ∞ , jeśli n < 0 ; jeśli ciąg jest

• wartości zmiennej z , dla których X ( z) dąży do nieskończoności nazywa się biegunami 1

1

przyczynowy, tzn. jeśli n ≥ 0 , to obszar zbieżności jest zewnętrze koła z włączeniem funkcji X ( z) , dodatkowo bieguny mogą występować dla z = 0 lub z = ∞

1

punktu w nieskończoności

• bieguny transformaty X ( z) nie mogą występować w obszarze zbieżności, ponieważ

• obszarem zbieżności dla ciągu lewostronnego, czyli o elementach niezerowych dla transformata Z nie jest zbieżna w biegunie

n ≤ n , jest obszar wewnątrz koła oprócz z = 0 , jeśli n > 0 ; jeśli ciąg niezerowy dla 2

2

• bieguny transformaty Z sygnału (układu) stabilnego mieszczą się wewnątrz koła n < 0 to obszar zbieżności obejmuje punkt z = 0

jednostkowego

Im z

• obszarem zbieżności dla ciągu nieograniczonego (dwustronnego), czyli o elementach r 1

j

niezerowych dla − ∞ < n < ∞ , jest obszar wewnątrz pierścienia (lub transformata nie jest Re z

zbieżna)

1

• obszarem zbieżności przyczynowego sygnału stabilnego jest obszar na zewnętrz koła o promieniu co najmniej z ≥ 1

10. Przekształcenie Z.doc, 9/14

10. Przekształcenie Z.doc, 10/14

PRZEKSZTAŁCENIE Z (cd)

PRZEKSZTAŁCENIE Z (cd)

• odwrotne przekształcenie Z określone jest wyrażeniem Właściwości przekształcenia Z

1

x( n) =

zn 1 X ( z)

∫ −

dz

• obszar zbieżności wymiernej transformaty Z nie może zawierać żadnych biegunów, 2π j

jest on zatem ograniczony przez bieguny, przez zero, lub nieskończoność (transformata Z nie jest zbieżna w biegunie)

gdzie operacja całkowania odbywa się po konturze zamkniętym, obejmującym początek płaszczyzny zespolonej, leżącym całkowicie wewnątrz obszaru zbieżności funkcji X ( z)

• twierdzenia graniczne

• stosowane są najczęściej trzy metody wyznaczania odwrotnej transformaty Z

suma wszystkich próbek sygnału równa jest transformacie Z tego sygnału dla z = 1

∞

- bezpośrednie obliczenie powyższej całki po konturze zamkniętym, ze względu na

∑ x( n)= X( )1

trudności w całkowaniu zazwyczaj korzysta się z twierdzenia Cauchy’ego o residuach n=−∞

1

−

- rozwijanie transformaty Z w szereg potęgowy względem z (dzielenie wielomianów) jeśli x( n) jest przyczynowe to

- rozkład transformaty Z na ułamki (przedstawienie transformaty w postaci liniowej lim X ( z) = x(0)

→∞

kombinacji składników, których odwrotne transformaty Z mogą być łatwo obliczone lub z

odczytane z tablic)

10. Przekształcenie Z.doc, 11/14

10. Przekształcenie Z.doc, 12/14

PRZEKSZTAŁCENIE Z (cd)

PRZEKSZTAŁCENIE Z (cd)

Właściwości przekształcenia Z (cd)

twierdzenie o splocie w dziedzinie czasu

• dane są pary transformat

x( n) ↔ X ( z)

x( n)∗ y( n) ↔ X ( z) Y ( z) oraz y( n) ↔ Y ( z)

właściwości

twierdzenie o splocie w dziedzinie częstotliwości

twierdzenie o liniowości

ax( n) + by( n) ↔ aX ( z) + bY ( z) 1

x( n) y( n) ↔

X ( z)⊗ Y ( z)

2π j

twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie czasu

(splot kołowy w dziedzinie transformaty)

x( n − n

−

↔

0 )

z n 0 X ( z)

twierdzenie o różniczkowaniu w dziedzinie transformaty

(stąd

1

−

z - operator opóźnienia jednostkowego)

nx( n)

dX ( z)

↔ −

x( n)

y( n)= x( n-1)

z

z-1

dz

twierdzenie o mnożeniu przez ciąg wykładniczy (zespolony)

x( n) an

X ( a 1

−

↔

z)

10. Przekształcenie Z.doc, 13/14

10. Przekształcenie Z.doc, 14/14

PRZEKSZTAŁCENIE Z (cd)

BIBLIOGRAFIA

• związek transformaty Z z transformatą Fouriera sygnału dyskretnego 1. Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G.: Teoria sygnałów. Kompendium wiedzy na temat θ

przyjmując z =

j

e ( θ - unormowana pulsacja) otrzymujemy

sygnałów i metod ich przetwarzania. Helion, Gliwice, 2006.

2. Zieliński T.P.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań. WKŁ,

∞

∞

∞

−

− n

θ

n

j

− jθ n

jθ

Warszawa 2005.

X ( z) = ∑ x( n) z

=

x n e

x n e

X e

θ

j

∑ ( )( ) = ∑ ( )

= ( )

z =

3. Papoulis A.: Obwody i układy. WKŁ, Warszawa, 1988.

n=−∞

e

n=−∞

n=−∞

4. Oppenheim A.V.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. WKŁ, Warszawa, 1979.

(przekształcenie Z jest uogólnieniem przekształcenia Fouriera sygnału dyskretnego) 5. Proakis J.G., Manolakis D.G.: Digital Signal Processing. Principles, Algorithms, and transformata Fouriera jest równoważna transformacie Z dla wszystkich z należących Applications. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1996.

do okręgu jednostkowego

Im z

|X( e jθ)|

j

e jθ

Re z

θ

θ

1

π

2π