5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 1/16

UKŁADY - PODSTAWOWE DEFINICJE

1

Pojęcie układu

• matematyczną definicją (modelem) układu jest jednoznaczne przekształcenie

(operator) odwzorujące sygnał wejściowy

x

w sygnał wyjściowy

y

jest to tzw. ujęcie transmisyjne

[ ]

x

T

y =

y

x

T

→

y

x

T [..]

pobudzenie

odpowiedź

• w ogólnym przypadku układ może być wielowejściowy i wielowyjściowy

• powyższa definicja układu ma charakter uniwersalny i może odnosić się do różnych

klas sygnałów

• jeśli dziedzina

X

i przeciwdziedzina

Y

operatora

T

są zbiorami sygnałów ciągłych

w czasie, układ nazywamy analogowym

1

opracowano na podstawie [1-3], wersja z dnia 02.10.2014

materiał nie jest pełnym i ścisłym pod względem formalnym opracowaniem poszczególnych tematów, stanowi

jedynie szkielet, wokół którego budowany jest wykład

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 2/16

UKŁADY - PODSTAWOWE DEFINICJE (cd)

Symbole operacji na schematach funkcjonalnych

• sumator

x

2

y= x

1

+ x

2

x

1

• układ mnożenia

y= x

1

x

2

x

1

x

2

• układ mnożenia przez stałą

y= A x

x

A

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 3/16

UKŁADY - PODSTAWOWE DEFINICJE (cd)

Klasyfikacja układów

• układ stacjonarny (niezmienny względem przesunięcia, inwariantny w czasie)

- układ nazywamy układem stacjonarnym, jeśli dla każdych

( )

t

x

i

0

t

zachodzi

przemienność

( )

[ ]

{

}

( )

[ ]

{

}

t

x

T

P

t

x

P

T

t

t

0

0

=

gdzie

0

t

P

jest operatorem przesunięcia w czasie sygnałów analogowych

( )

[ ]

(

)

0

0

t

t

x

t

x

P

t

−

=

- w przeciwnym wypadku układ nazywamy układem niestacjonarnym

- dla stacjonarnych układów analogowych spełniona jest zależność

jeżeli

( )

( )

[ ]

t

x

T

t

y

=

to

(

)

(

)

[

]

0

0

t

t

x

T

t

t

y

−

=

−

- operatory: różniczkowania, całkowania, opóźnienia w czasie, podnoszenia do

kwadratu, pierwiastkujący i logarytmujący w dziedzinie sygnałów analogowych są
operatorami stacjonarnymi

- operator typu

( )

( )

t

x

t

t

y

=

w dziedzinie sygnałów analogowych jest operatorem

niestacjonarnymi

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 4/16

UKŁADY - PODSTAWOWE DEFINICJE (cd)

• układ liniowy

-

układ analogowy nazywamy liniowym jeśli spełnia zasadę superpozycji, tzn.
odpowiedź układu na ważoną sumę sygnałów wejściowych równa jest sumie
ważonych odpowiednio odpowiedzi oddzielnie na każdy z sygnałów, w przeciwnym
przypadku układ nazywamy nieliniowym

( )

( )

( )

[

]

( )

[

]

( )

[

]

( )

( )

t

by

t

ay

t

x

bT

t

x

aT

t

bx

t

ax

T

t

y

2

1

2

1

2

1

+

=

+

=

+

=

w ogólnym przypadku

( )

( )

( )

( )

∑

∑

=

=

=

→

=

M

k

k

k

T

M

k

k

k

t

y

a

t

y

t

x

a

t

x

1

1

gdzie

( )

( )

[

]

M

k

t

x

T

t

y

k

k

...,

,

2

,

1

=

=

ilustracja graficzna

a

y

x

2

x

1

b

T

a

y

x

2

x

1

b

T

T

operator przekształcenia

T

jest liniowy wtedy i tylko wtedy kiedy

'

y

y =

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 5/16

UKŁADY - PODSTAWOWE DEFINICJE (cd)

• układ przyczynowy

- jeżeli układ opisany operatorem

T

odwzorowuje zbiór sygnałów

X

w zbiór

sygnałów

Y

i jeżeli

[ ]

1

1

x

T

y =

oraz

[ ]

2

2

x

T

y =

wówczas układ jest

układem

przyczynowym

jeśli dla każdych

( ) ( )

X

t

x

t

x

∈

2

1

,

i każdego

0

t

z równości

( )

( )

0

2

1

,

t

t

t

x

t

x

<

=

wynika równość

( )

( )

0

2

1

,

t

t

t

y

t

y

<

=

z powyższych definicji wynika, że dla układu przyczynowego z równości

( )

0

0

t

t

t

x

<

≡

dla

, wynika równość

( )

0

0

t

t

t

y

<

≡

dla

- zatem

odpowiedź układu

przyczynowego nie może poprzedzać wymuszenia

inaczej układ analogowy nazywamy przyczynowym jeśli wartość sygnału na jego

wyjściu

( )

t

y

w dowolnym momencie czasu

t

zależy jedynie od bieżącej

i poprzednich wartości sygnały wejściowego i nie zależy od przyszłych wartości
sygnału wejściowego w przeciwnym przypadku układ nazywamy nieprzyczynowym

układ nieprzyczynowy jest nierealizowalny praktycznie

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 6/16

UKŁADY - PODSTAWOWE DEFINICJE (cd)

• liniowość, stacjonarność i przyczynowość są immanentnymi cechami układu, zależnymi

jedynie od jego struktury wewnętrznej i niezależnymi od klasy przetwarzanych
sygnałów

• stacjonarne układy liniowe LS (ang. LTI Linear Time-Invariant), nazywane również

układami liniowymi niezmiennymi względem przesunięcia, są podstawową klasą
rozważanych układów i przedmiotem naszych dalszych rozważań

• z przetwarzaniem sygnału w układzie wiąże się przekształcenie jego widma, operacja

przetwarzania widma nazywa się filtracją a realizujący ją układ w teorii sygnałów
utożsamiany jest z filtrem

• układ statyczny (bez pamięci) – układ dla którego w dowolnej chwili czasu wartość

sygnału na wyjściu zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej samej
chwili

• jeśli wartość sygnału na wyjściu układu w dowolnej chwili zależy od wartości sygnału

wejściowego w chwilach poprzedzających lub następujących po nim to taki układ
nazywamy układem dynamicznym (z pamięcią)

• układ nazywamy stabilnym ze względu na wymuszenie jeśli dowolny ograniczony

sygnał wejściowy powoduje powstanie ograniczonego sygnału wyjściowego

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 7/16

OPIS UKŁADU W DZIEDZINIE CZASU

• odpowiedź układu na pobudzenie testowe (przy założeniu zerowych warunków

początkowych) jest jego charakterystyką opisującą w dziedzinie czasu relacje
„wejście -wyjście”

• rolę pobudzenia testowego pełnią sygnały: impuls Diraca

( )

t

δ

oraz skok jednostkowy

( )

t

1

• odpowiedź impulsową

( )

t

h

układu nazywamy jego reakcję (sygnał wyjściowy) na

pobudzenie w postaci impulsu Diraca

( )

t

δ

przy zerowych warunkach początkowych

h(t)

δ(t)

zerowe warunki

początkowe

znajomość odpowiedzi impulsowej pozwala wyznaczyć reakcję układu na dowolne
pobudzenie

impulsu Diraca

( )

t

δ

nie można wytworzyć w układzie fizycznym, zatem odpowiedź

impulsowa stanowi narzędzie służące do teoretycznego opisu układów

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 8/16

OPIS UKŁADU W DZIEDZINIE CZASU (cd)

• odpowiedź jednostkową

( )

t

r

układu nazywamy jego reakcję (sygnał wyjściowy) na

pobudzenie w postaci skoku jednostkowego

( )

t

1

przy zerowych warunkach

początkowych

r(t)

1111(t)

zerowe warunki

początkowe

znajomość odpowiedzi jednostkowej pozwala wyznaczyć reakcję układu na dowolne
pobudzenie

skok jednostkowy

( )

t

1

można z dobrym przybliżeniem wytworzyć w układzie

fizycznym, zatem odpowiedź jednostkowa stanowi narzędzie służące do badania
układów fizycznych

• ponieważ impuls Diraca

( )

t

δ

przyjmuje wartości zerowe dla

0

<

t

wobec tego dla

układów przyczynowych reakcja na to pobudzenie również musi spełniać warunek

( )

0

0

<

=

t

t

h

dla

każdy układ fizyczny jest przyczynowy stąd powyższy warunek stanowi podstawowy
warunek realizowalności układu i jest równoważny warunkowi

( )

0

0

<

=

t

t

r

dla

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 9/16

OPIS UKŁADU W DZIEDZINIE CZASU (cd)

• związek pomiędzy odpowiedzią impulsową

( )

t

h

a odpowiedzią jednostkową

( )

t

r

jeżeli

T

jest operatorem przekształcenia to

( )

( )

[ ]

t

T

t

h

δ

=

oraz

( )

( )

[ ]

t

T

t

r

1

=

wykorzystując

( )

( )

t

dt

d

t

1

=

δ

otrzymujemy

( )

( )

[ ]

( )

( )

[ ]

( )

t

r

dt

d

t

T

dt

d

t

dt

d

T

t

T

t

h

=

=









=

δ

=

1

1

oraz

( )

( )

∫

=

t

dt

t

h

t

r

0

'

'

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 10/16

OPIS UKŁADU W DZIEDZINIE CZASU (cd)

• związek pomiędzy sygnałami na wejściu i na wyjściu układu

wykorzystując właściwość splotu dystrybucji delta

( ) ( )

( )

t

x

t

x

t

=

∗

δ

na podstawie

definicji splotu możemy napisać

( )

(

) ( )

∫

∞

∞

−

τ

τ

τ

−

δ

=

d

x

t

t

x

odpowiedź układu opisanego operatorem przekształcenia

T

na sygnał

( )

t

x

( )

( )

[ ]

( ) ( )

[

]

(

) ( )

















τ

τ

τ

−

δ

=

∗

δ

=

=

∫

∞

∞

−

d

x

t

T

t

x

t

T

t

x

T

t

y

uwzględniając liniowość operacji całkowania

( )

(

) ( )

[

]

(

)

[

]

( )

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

τ

τ

τ

−

δ

=

τ

τ

τ

−

δ

=

d

x

t

T

d

x

t

T

t

y

ze stacjonarności układu wynika

( )

[ ]

( )

(

)

[

]

(

)

τ

−

=

τ

−

δ

⇒

=

δ

t

h

t

T

t

h

t

T

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 11/16

OPIS UKŁADU W DZIEDZINIE CZASU (cd)

ostatecznie więc

( )

(

) ( )

( ) ( )

t

x

t

h

d

x

t

h

t

y

∗

=

τ

τ

τ

−

=

∫

∞

∞

−

ze względu na przemienność operacji splatania

( )

( ) (

)

( ) ( )

t

h

t

x

d

t

x

h

t

y

∗

=

τ

τ

−

τ

=

∫

∞

∞

−

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 12/16

OPIS UKŁADU W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI

• właściwości rozważanych stacjonarnych układów liniowych w dziedzinie częstotliwości

(pulsacji) opisują ich charakterystyki amplitudowo-fazowe

• dla stacjonarnych układów liniowych opisywanych

F

-transformowalną (zarówno

w sensie zwykłym jak i granicznym) odpowiedzią impulsową

( )

t

h

ich charakterystykę

amplitudowo-fazową określa transformata Fouriera

( )

( )

∫

∞

∞

−

ω

−

=

ω

dt

e

t

h

j

H

t

j

dla układów przyczynowych

( )

( )

∫

∞

ω

−

=

ω

0

dt

e

t

h

j

H

t

j

zależność charakterystyki od argumentu

ω

j

wynika z jej związku z transmitancją

układu określoną w dziedzinie transformaty Laplace’a

( )

( )

ω

=

=

ω

j

s

s

H

j

H

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 13/16

OPIS UKŁADU W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI (cd)

• związek pomiędzy widmem sygnału na wyjściu układu a widmem pobudzenia

i charakterystyką amplitudowo-fazową określa tzw. równanie transmisyjne układu

( )

( ) ( )

ω

ω

=

ω

X

j

H

Y

wykorzystując odwrotne przekształcenie Fouriera możemy zapisać

( )

( ) ( )

[

]

ω

ω

=

−

X

j

H

F

t

y

1

• opis układu w dziedzinie czasu i częstotliwości

y(t)=h(t) ∗ x(t)

x(t)

h(t)

Y(ω)=H( j ω) ·X(ω)

X(ω)

H( jω)

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 14/16

OPIS UKŁADU W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI (cd)

• charakterystykę amplitudowo-fazową można przedstawić w postaci biegunowej lub

algebraicznej

( )

( )

( )

ω

ω

=

ω

j

H

j

e

j

H

j

H

arg

( )

( )

( )

ω

+

ω

=

ω

j

H

j

j

H

j

H

Im

Re

• ponieważ charakterystyka amplitudowo-fazowa jest transformatą Fouriera funkcji

rzeczywistej, zatem jest funkcją hermitowską, tzn.

( )

(

)

ω

−

=

ω

j

H

j

H

*

co oznacza, że charakterystyka amplitudowa i charakterystyka rzeczywista są
funkcjami parzystymi, a charakterystyka fazowa i charakterystyka urojona – funkcjami
nieparzystymi

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 15/16

załącznik

wyznaczanie splotu metodą graficzną

( )

(

) ( )

∫

+

τ

τ

τ

−

=

x

h

t

t

d

x

t

h

t

y

0

h(-τ-t

1

)

h(-τ)

t

x

+t

h

t

x

t

h

t

1

0

τ

h(τ)

0

τ

x(τ)

0

τ

0

τ

x(τ)

0

τ

h(-τ-t

1

)x(τ)

P

1

t

1

0

t

y(t)

t

1

P

1

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 16/16

BIBLIOGRAFIA

1. Szabatin J.: Przetwarzanie sygnałów. Materiały dydaktyczne Politechniki Warszawskiej,

2003,

www.ise.pw.pl/~szabatin

.

2. Baskakow S.I.: Sygnały i układy radiotechniczne. PWN, Warszawa, 1991.

3. Proakis J.G., Manolakis D.G.: Digital signal processing. Principles, Algorithms, and

Applications. Third Edition. Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 1996.