Algebra liniowa 2

II kolokwium

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

A

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Napisać macierz w bazie standardowej przestrzeni

rzutu prostokąt-

R

3

nego na prostą

, gdzie

.

l

: x = 2t, y = t, z = −3t

t ∈ R

2. Macierz przekształcenia liniowego

ma w bazie

L

: V → V

przestrzeni liniowej

postać

Znaleźć

{

→

v

1

,

→

v

2

}

V

A

L

=







3 1
2 1





.

wektory

.

L

2

(

→

v

1

)

, L

−

1

(

→

v

2

)

3. Wyznaczyć wartości i wektory własne macierzy

.










1 0 0
1 2 0
1 2 3










4. Obliczyć cosinus kąta zawartego między wektorami

,

→

u = (

1, 0 )

w przestrzeni

z iloczynem skalarnym wektorów

→

v = (

3, 2 )

R

2

określonym wzorem

→

u = ( x

1

, y

1

)

,

→

v = ( x

2

, y

2

)

.

(

→

u

,

→

v ) =

3x

1

x

2

−

2x

1

y

2

−

2x

2

y

1

+

4y

1

y

2

Odpowiedzi do zestawu

A

1.

;

1

14










4

2 −6

2

1 −3

−

6 −3

9










2.

;

L

2

(

→

v

1

) =

11

→

v

1

+

8

→

v

2

, L

−

1

(

→

v

2

) = −

→

v

1

+

3

→

v

2

3.

,

;

W

1

=

lin { ( 2, −2, 1 ) } W

2

=

lin { ( 0, 1, −2 ) }

;

W

3

=

lin { ( 0, 0, 1 ) }

4.

.

arccos

5

57

Algebra liniowa 2

II kolokwium

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

B

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Uzasadnić, że

jest macierzą obrotu w przes-

A =

1
9










8

4 −1

1 −4 −8

−

4

7 −4










trzeni

. Wyznaczyć oś oraz kąt tego obrotu.

R

3

2. Niech

będzie symetrią względem płaszczyzny

S

: R

3

→

R

3

xOz

.

Sprawdzić, że jest przekształceniem liniowym i znaleźć jego

S

macierz w bazie

.

{ (

0, 0, 1 ), ( 0, 1, 1 ), ( 1, 1, 1 ) }

3. Obliczyć

, jeżeli jest przekształceniem liniowym

K

100

(

0, 1 )

K

o własności

K (

4, −1 ) = ( −12, 3 ), K ( −1, 1 ) = ( −3, 3 ) .

4. Zortogonalizować i następnie unormować wektory

(

0, 1, 0, 0 ), ( 1, 1, −1, 0 ), ( 2, 3, 4, 1 ) .

Odpowiedzi do zestawu

B

1. kierunek osi obrotu

, kąt obrotu

;

→

v = (

5, 1, −1 )

α =

2π

3

2.

;










1

2

2

1 −1 −2
0

0

1










3.

;

(

0, 3

100

)

4.

.

(

0, 1, 0, 0 ), (

1

2

, 0, −

1

2

, 0 ), (

3

19

, 0,

3

19

,

1

19

)

Algebra liniowa 2

II kolokwium

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

C

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Uzasadnić, że

jest macierzą obrotu w przes-

C =

1
9










−

4

4

7

1

8 −4

−

8 −1 −4










trzeni

. Wyznaczyć oś oraz kąt tego obrotu.

R

3

2. W bazie

przestrzeni

{ (

1, 0, 1 ), ( 0, 1, 1 ), ( 1, 1, 3 ) }

R

3

znaleźć macierz przekształcenia liniowego

.

L ( x

, y, z ) = ( z − x, z − y, x + y )

3. Znaleźć wartości własne oraz podprzestrzenie własne macierzy

.










1 2 −3
1 2 −3
1 2 −3










4. Znaleźć wektor unormowany ortogonalny do wektora

f

h = x −

1

w przestrzeni

z iloczynem skalarnym danym wzorem

R

1

[

x]

dla

.

(

f

, g ) = f ( 1 ) g ( 1 ) + f ( 2 ) g ( 2 )

f

, g ∈ R

1

[

x]

Odpowiedzi do zestawu

C

1. kierunek osi obrotu

, kąt obrotu

;

→

v = (

1, 5, −1 )

α =

2π

3

2.

;










0 1

4

1 0

4

0 0 −2










3.

;

W

0

=

lin { ( 3, 0, 1 ), ( −2, 1, 0 ) }

4.

lub

.

f = x −

2

f =

2 − x

Algebra liniowa 2

II kolokwium

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

D

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Napisać macierz w bazie standardowej przestrzeni

symetrii

R

3

względem prostej

, gdzie

.

l

: x = −t, y = 4t, z = 2t

t ∈ R

2. Macierz przekształcenia liniowego

ma w bazie

L

: V → V

przestrzeni liniowej

postać

.

{

→

v

1

,

→

v

2

}

V

A

L

=







0

1

1 −2







Znaleźć wektor

.

L

3

(

→

v

1

+

→

v

2

)

3. Wyznaczyć wartości i wektory własne przekształcenia liniowego

.

L ( x

, y, z ) = ( 3x, 2x + 2y, x + y + z )

4. Wektory

uzupełnić do bazy

→

u = (

1, 3, −2 ),

→

v = (−

1, 1, 1 )

ortogonalnej przestrzeni

i znaleźć współrzędne wektora

E

3

w tej bazie.

→

x = (

12, −4, 7 )

Odpowiedzi do zestawu

D

1.

;

1

21










−

19 −8

−

4

−

8 11

16

−

4 16 −13










2.

;

3

→

v

1

−

7

→

v

2

3.

,

,

W

1

=

lin { ( 0, 0, 1 ) } W

2

=

lin { ( 0, 1, 1 ) }

;

W

3

=

lin { ( 2, 4, 3 ) }

4. współrzędne

w bazie

, gdzie

[ −

1, −3, 2 ]

{

→

u

,

→

v

,

→

w }

.

→

w = (

5, 1, 4 )