Algebra liniowa 2

I kolokwium

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

D

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Zbadać liniową niezależność funkcji

f

= x + 1, g =

x

2

, h

= x + 2

w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na

a) przedziale

; b) zbiorze

.

[ 1, ∞ )

R

2. Wskazać te wartości parametru

, dla których zachodzi równość

b

∈ R

.

lin

{ ( 2, 1, 0, b ), ( 0, 1, 2, 2 ), ( 0, 1, 1, 2 ), ( b, 0, 2, b ) } = R

4

3. Znaleźć współrzędne wektora

w bazie

( 1, 2, 1 )

.

{ ( 1, 1, 1 ), ( 2, 3, 1 ), ( 3, 7, 0 ) }

4. Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni rozwiązań układu równań

.














x

− 2y + z + 3t = 3x

x

− 2y + z + 3t = 3y

x

− 2y + z + 3t = 3z

x

− 2y + z + 3t = 3t

Odpowiedzi do zestawu

D

1. funkcje są a) liniowo zależne; b) liniowo niezależne;
2. równość zachodzi dla

;

b

∈ R − {0, 4}

3. współrzędne wektora

;

[ 4, −3, 1 ]

4. wymiar jest równy , bazę tworzy wektor

.

1

( 1, 1, 1, 1 )

Algebra liniowa 2

I kolokwium

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

F

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Współrzędne wektorów

w pewnej bazie przestrzeni

x

+ 1, x − 1 , x

2

wynoszą odpowiednio

.

R

2

[x]

[ 1, 2, 0 ], [ 0, 1, 2 ], [ 1, 0, −3 ]

Znaleźć tę bazę.

2. Podać wymiar i bazę przestrzeni liniowej

lin

{ ( 1, 0, 2, −1, 1 ),

( 1, 1, 0, 2, −1 ), ( 3, 2, 2, 3, −1 ), ( 1, −1, 4, −4, 3 ) }

3. Określić, w zależności od parametru

, liczbę rozwiązań układu

s

∈ R

równań

.










x

+ s

2

y

+ z = −s

x

+ y − sz = s

2

y

+ z = 1

4. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań

.














x

+ 3y + 2z − u =

1

x

+ 4y

+ 2u = −1

3x

+ 11y + 2z + 3u = −1

x

+ 2y + 4z − 4u =

3

Odpowiedzi do zestawu

F

1. baza

;

{ 4x

2

+ 3x − 9, −2x

2

− x + 5, x

2

+ x − 3 }

2. wymiar , baza

;

2

{ ( 1, 0, 2, −1, 1 ), ( 1, 1, 0, 2, −1 ) }

3. układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele
rozwiązań, nie posiada rozwiązań odpowiednio dla

s

∈ R \ { −1, 2 }, s = −1, s = 2

4.

, gdzie

.

x

= 7 − 8z + 10u, y = −2 + 2z − 3u

z

, u

∈ R

Algebra liniowa 2

I kolokwium

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

J

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Napisać macierz przejścia z bazy

{ 3x − 1, 3x + 1, x

2

− x +

1
3

}

do bazy

przestrzeni

.

{ x

2

, 1, x

}

R

2

[x]

2. Zbadać liniową niezależność wektorów

( 1, 0, 2, 1, 2 ), ( 2, 1, 1, 2, 1 ),

w zależności od parametru

.

( 5, 1, 7, 5, p )

p

∈ R

3. Określić liczbę rozwiązań układu równań

.














x

+ 2y + z

= 1

y

+ t = 0

x

+ 5y + 3z + 2t = 0

−x − 2y − 5z + 2t = 0

4. Znaleźć wszystkie rozwiązania niejednorodnego układu równań z niewia-

domymi

jeżeli wiadomo, że

x

, y, z, t

x

= 1, y = 0, z = −1, t = 3

jest jednym z jego rozwiązań , a jego macierz główna ma postać

.










1

−2 1 1

2

−3 0 2

1

1 3 1










Odpowiedzi do zestawu

J

1. macierz przejścia

;











1
3

−

1
2

1
6

0

1
2

1
6

1

0 0











2. wektory są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

;

p

≠ 7

3. układ jest sprzeczny;
4.

, gdzie

.

x

= 4 − t, y = 0, z = −1

t

∈ R

Algebra liniowa 2

I kolokwium

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

K

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Wskazać bazę przestrzeni liniowej

lin

{ ( 1, 2, 3, 4, 5 ),

zawierającą wektor

.

( 1, 1, 0, 1, 1 ), ( 2, 3, 3, 5, 7 ) }

( 0, 1, 3, 3, 4 )

2. Wykorzystując macierz przejścia z bazy do bazy podać współrzędne

wektora

w bazie

.

4

→

b

1

− 2

→

b

2

{ 4

→

b

1

+ 2

→

b

2

, 6

→

b

1

−

→

b

2

}

3. Podać wartość parametru , dla którego przestrzeń rozwiązań podane-

β

go układu równań ma największy wymiar i znaleźć bazę tej przestrzeni:

.










x

− y + z − t = 0

−x + βy − z + t = 0

x

− y + βz − βt = 0

4. Rozwiązać układ równań

.















x

+ y + 2z =

5

x

+ 3y − z = −1

3x

+ 5y + 3z =

9

3x

+ 7y

=

3

2x

+ y + z =

4

Odpowiedzi do zestawu

K

1. jedną z baz jest

;

{ ( 0, 1, 3, 3, 4 ), ( 1, 1, 0, 1, 1 ), ( 2, 3, 3, 5, 7 ) }

2. współrzędne wektora

;

[−

1
2

, 1

]

3.

, baza

;

β = 1

{ ( 1, 0, 0, 1 ), ( 0, 1, 0, −1 ), ( 0, 0, 1, 1 ) }

4.

.

x

= 1, y = 0, z = 2