1

Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydzia l WILi´

S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2007/2008

Zad.1. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Zbada´c, czy pole wektorowe ~

F

= [3x

2

+ y, x, 2z] spe lnia warunek wystarczaj¸acy istnienia potencja lu i wyznaczy´c

ten potencja l.

Zad.2. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Wyznaczy´c moment statyczny wzgl¸edem p laszczyzny OXY krzywej L : {x

2

+ y

2

= 4, z = 2} o g¸esto´sci masy

ρ

(x, y, z) = xyz + x

2

z

.

Zad.3. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Obliczy´c

R

L

x

2

ydx

+ xy(y + 1)dy, je˙zeli L jest krzyw¸a L : {x

2

+ y

2

+ 2y = 0} zorientowan¸a ujemnie wzgl¸edem

swojego wn¸etrza.

Zad.4. [2p+3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

a) Poda´c twierdzenie Greena.

b) Korzystaj¸ac z twierdzenia Greena obliczy´c

R

L

(x + y)dx + 2xdy, je˙zeli L jest tr´

ojk¸atem o wierzcho lkach A(0,0),

B(2,0) o C(0,2) zorientowanym dodatnio wzgl¸edem swojego wn¸etrza.

Zad.5. [6p+2p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

a) Dana jest linia ´srubowa

L

: ~r(t) = [a cos t, a sin t, bt], a, b > 0, t ∈ R

Obliczy´c krzywizn¸e krzywej L w dowolnym jej punkcie. Wyznaczy´c k¸at, jaki tworzy p laszczyzna ´sci´sle styczna

do L w dowolnym jej punkcie z osi¸a OZ.

b) Poda´c definicj¸e punktu wyprostowania krzywej. Czy linia ´srubowa rozwa˙zana w punkcie a) posiada punkty

wyprostowania?

2

Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydzia l WILi´

S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2008/2009

Zad.1. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Zbada´c, czy pole wektorowe ~

F

= [2xze

2

y

+ sin z, 2x

2

ze

2

y

, x

2

e

2

y

+ x cos z + 3z

2

] spe lnia warunek wystarczaj¸acy

istnienia potencja lu i wyznaczy´c ten potencja l.

Zad.2. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Wyznaczy´c moment statyczny wzgl¸edem p laszczyzny OYZ krzywej L : {x(t) = t, y(t) = t

2

, z

(t) =

2
3

t

3

, t

∈ [0, 1]}

o g¸esto´sci masy ρ(x, y, z) =

1

1+2

y

.

Zad.3. [4p+3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

a) Obliczy´c

R

L

(x − y)dx + (y + x)dy, je˙zeli L jest krzyw¸a L : {x

2

+ y

2

+ 2y = 0} zorientowan¸a ujemnie wzgl¸edem

swojego wn¸etrza.

b) Poda´c twierdzenie Greena oraz sprawdzi´c tez¸e tego twierdzenia dla ca lki liczonej w punkcie a).

Zad.4. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Dla krzywej o r´ownaniu:

L

: ~r(t) = [t,

1

t

+ 1,

1

t

− t]

wyznaczy´c r´ownanie prostej stycznej i p laszczyzny ´sci´sle stycznej w punkcie P (−1, 0, 0).

Zad.5. [5p+2p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

a) Wykaza´c, ˙ze krzywizna i skr¸ecenie krzywej L : {2y = x

2

,

6z = x

3

} s¸a sobie r´owne.

b) Co znaczy, ˙ze punkt M

0

( ~

OM

= ~r(t

0

)) jest punktem wyprostowania krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma

punkty wyprostowania?

3

Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydzia l WILi´

S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2009/2010

Zad.1. [6p+3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

a) Zbada´c, czy pole wektorowe ~

F

= [−2z

2

e

−2x

+ 2 cos y, −2x sin y − 3z

2

,

2ze

−2x

− 6yz] spe lnia warunek wystar-

czaj¸acy istnienia potencja lu i wyznaczy´c ten potencja l.

b) Sformu lowa´c twierdzenie o niezale˙zno´sci ca lki krzywoliniowej od drogi oraz obliczy´c

R

⌢

AB

(−2z

2

e

−2x

+ 2 cos y)dx + (−2x sin y − 3z

2

)dy + (2ze

−2x

− 6yz)dz.

je˙zeli A(0, 4, 0) i B(0, 0, 2).

Zad.2. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczy´c mas¸e luku, b¸ed¸acego cz¸e´sci¸a okr¸egu x

2

+ y

2

= 4 le˙z¸acego w pierwszej ´cwiartce uk ladu ws´o lrz¸ednych,

je˙zeli g¸esto´s´c masy ρ(x, y, z) = x

2

y

2

.

Zad.3. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Obliczy´c

R

L

(x

3

−y)dx+xydy, je˙zeli L jest lukiem L : {y

2

= 4x} skierowanym od punktu A(1, 2) do punktu B(0, 0).

Zad.4. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Dla krzywej o r´ownaniu:

L

: ~r(t) = [t + 3 sin t, 2 cos t, 3t − sin t]

wyznaczy´c r´ownanie prostej binormalnej i p laszczyzny normalnej w punkcie P (0, 2, 0).

Zad.5. [4p+3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

a) Obliczy´c krzywizn¸e i skr¸ecenie krzywej L : {2y = x

2

,

3z = x

3

} w punkcie P (0, 0, 0).

b) Co znaczy, ˙ze punkt M

0

( ~

OM

= ~r(t

0

)) jest punktem sp laszczenia krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma

punkty sp laszczenia?

4

Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydzia l WILi´

S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2010/2011

Zad.1. [6p+3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

a) Zbada´c, czy pole wektorowe ~

F

= [3ye

3

x

+ ze

x

+ y

2

z

2

, e

3

x

+ 2xyz

2

, e

x

+ 2xy

2

z

] spe lnia warunek wystarczaj¸acy

istnienia potencja lu i wyznaczy´c ten potencja l.

b) Sformu lowa´c twierdzenie o niezale˙zno´sci ca lki krzywoliniowej od drogi oraz obliczy´c

R

⌢

AB

(3ye

3

x

+ ze

x

+ y

2

z

2

)dx + (e

3

x

+ 2xyz

2

)dy + (e

x

+ 2xy

2

z

)dz.

je˙zeli A(0, 2, 0) i B(0, 0, 1).

Zad.2. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczy´c moment bezw ladno´sci wzgl¸edem pocz¸atku uk ladu wsp´o lrz¸ednych luku, b¸ed¸acego cz¸e´sci¸a okr¸egu

x

2

+ y

2

= 1 le˙z¸acego w drugiej ´cwiartce uk ladu ws´o lrz¸ednych, je˙zeli g¸esto´s´c masy ρ(x, y, z) = x

2

y

2

.

Zad.3. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Obliczy´c

R

L

(2x

2

+ y

2

)dx − x

2

ydy

, je˙zeli L jest lukiem L : {y = 2

√

x

} skierowanym od punktu A(1, 2) do punktu

B

(4, 4).

Zad.4. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Dla krzywej o r´ownaniu:

L

: ~r(t) = [t + 1, 2t

2

− 1, t

3

+ t]

wyznaczy´c r´ownanie prostej stycznej i p laszczyzny ´sci´sle stycznej w punkcie P (1, −1, 0).

Zad.5. [4p+3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

a) Obliczy´c krzywizn¸e i promie´

n krzywizny krzywej L : {x

2

+ y

2

= 1, z = y} w punkcie P (1, 0, 0).

b) Co znaczy, ˙ze punkt M

0

( ~

OM

= ~r(t

0

)) jest punktem wyprostowania krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma

punkty wyprostowania?

5

Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydzia l WILi´

S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2011/2012

Zad.1. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Wykaza´c, ˙ze pole wektorowe ~

F

= [z

2

cos x −

4

y

x

3

,

2

x

2

+

4

z

3

y

3

,

2z sin x −

6

z

2

y

2

] jest potencjalne dla x > 0, y > 0, z ∈ R.

Wyznaczy´c potencja l tego pola a nast¸epnie obliczy´c ca lk¸e

R

L

(z

2

cos x −

4

y

x

3

)dx + (

2

x

2

+

4

z

3

y

3

)dy + (2z sin x −

6

z

2

y

2

)dz.

gdzie luk L : {y = x, z = (1 − x)(2 − x)} dla x ∈ [1, 2].

Zad.2. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczy´c moment bezw ladno´sci wzgl¸edem osi OY jednorodnego luku L : {y = ln x} dla x ∈ [1, 2].

Zad.3. [2p+5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

a) Sformu lowa´c twierdzenie Greena.

b) Korzystaj¸ac z twierdzenia Greena obliczy´c ca lk¸e

R

L

(x − 4y)dx + (6x + 2y)dy ,

gdzie luk L jest lukiem zamkni¸etym zorientowanym ujemnie, z lo˙zonym z wykres´

ow funkcji y = 0, y =

√

−2x − x

2

.

Zad.4. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Wyznaczy´c r´ownanie prostej stycznej i p laszczyzny ´sci´sle stycznej do krzywej ~r(t) = [1 +

1

t

,

1 −

1

t

,

1

t

2

] w punkcie

odpowiadaj¸acym t

0

= 1.

Zad.5. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

Wyznaczy´c punkty krzywej L : ~r(t) = [

2

t

,

ln t, −t

2

], w kt´

orych prosta binormalna do tej krzywej jest r´ownoleg la

do p laszczyzny x − y + 8z + 2 = 0.

6

Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydzia l WILi´

S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2012/2013

Zad.1. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Wykaza´c, ˙ze pole wektorowe ~

F

= [2 sin(y + z) − e

y+2z

,

2x cos(y + z) − xe

y+2z

,

2x cos(y + z) − 2xe

y+2z

+ 2z] jest

potencjalne. Wyznaczy´c potencja l tego pola a nast¸epnie obliczy´c ca lk¸e

R

L

(2 sin(y + z) − e

y+2z

)dx + (2x cos(y + z) − xe

y+2z

)dy + (2x cos(y + z) − 2xe

y+2z

+ 2z)dz.

gdzie luk L : {y =

√

1 − x

2

, z

= x − 1} dla x ∈ [0, 1].

Zad.2. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczy´c

R

L

px

2

+ y

2

dl

, gdzie L jest okr¸egiem o r´ownaniu x

2

+ y

2

= 2x.

Zad.3. [2p+4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

a) Sformu lowa´c twierdzenie Greena.

b) Korzystaj¸ac z twierdzenia Greena obliczy´c

R

L

ydx

+ 2xdy, gdzie luk L jest brzegiem kwadratu o wierzcho lkach

O

(0, 0), A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1) zorientowanym ujemnie wzgl¸edem swego wn¸etrza.

Zad.4. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Wyznaczy´c r´ownanie prostej binormalnej i p laszczyzny normalnej do krzywej ~r(t) = [2t −

1

t

2

, t

+

3

t

,

−

1

t

3

] w

punkcie odpowiadaj¸acym t

0

= −1.

Zad.5. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

Wykaza´c, ˙ze krzywizna i skr¸ecenie krzywej L : {2y = x

2

,

6z = x

3

} s¸a sobie r´owne w ka˙zdym punkcie krzywej L.