1

Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2007/2008

Zad.1. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Zbadać, czy pole wektorowe ~

F = [3x2 + y, x, 2z] spe lnia warunek wystarczaj¸acy istnienia potencja lu i wyznaczyć ten potencja l.

Zad.2. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Wyznaczyć moment statyczny wzgl¸edem p laszczyzny OXY krzywej L : {x2 + y2 = 4, z = 2} o g¸estości masy ρ(x, y, z) = xyz + x2z.

Zad.3. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Obliczyć R x2ydx + xy(y + 1)dy, jeżeli L jest krzyw¸a L : {x2 + y2 + 2y = 0} zorientowan¸a ujemnie wzgl¸edem L

swojego wn¸etrza.

Zad.4. [2p+3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

a) Podać twierdzenie Greena.

b) Korzystaj¸ac z twierdzenia Greena obliczyć R (x + y)dx + 2xdy, jeżeli L jest trójk¸atem o wierzcho lkach A(0,0), L

B(2,0) o C(0,2) zorientowanym dodatnio wzgl¸edem swojego wn¸etrza.

Zad.5. [6p+2p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

a) Dana jest linia śrubowa

L : ~r(t) = [a cos t, a sin t, bt], a, b > 0, t ∈ R

Obliczyć krzywizn¸e krzywej L w dowolnym jej punkcie. Wyznaczyć k¸at, jaki tworzy p laszczyzna ściśle styczna do L w dowolnym jej punkcie z osi¸a OZ.

b) Podać definicj¸e punktu wyprostowania krzywej. Czy linia śrubowa rozważana w punkcie a) posiada punkty wyprostowania?

2

Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2008/2009

Zad.1. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Zbadać, czy pole wektorowe ~

F = [2xze2y + sin z, 2x2ze2y, x2e2y + x cos z + 3z2] spe lnia warunek wystarczaj¸acy istnienia potencja lu i wyznaczyć ten potencja l.

Zad.2. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Wyznaczyć moment statyczny wzgl¸edem p laszczyzny OYZ krzywej L : {x(t) = t, y(t) = t2, z(t) = 2 t3, t ∈ [0, 1]}

3

o g¸estości masy ρ(x, y, z) =

1

.

1+2y

Zad.3. [4p+3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

a) Obliczyć R (x − y)dx + (y + x)dy, jeżeli L jest krzyw¸a L : {x2 + y2 + 2y = 0} zorientowan¸a ujemnie wzgl¸edem L

swojego wn¸etrza.

b) Podać twierdzenie Greena oraz sprawdzić tez¸e tego twierdzenia dla ca lki liczonej w punkcie a).

Zad.4. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Dla krzywej o równaniu:

L : ~r(t) = [t, 1 + 1, 1 − t]

t

t

wyznaczyć równanie prostej stycznej i p laszczyzny ściśle stycznej w punkcie P (−1, 0, 0).

Zad.5. [5p+2p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

a) Wykazać, że krzywizna i skr¸ecenie krzywej L : {2y = x2, 6z = x3} s¸a sobie równe.

b) Co znaczy, że punkt M0( ~

OM = ~r(t0)) jest punktem wyprostowania krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma punkty wyprostowania?

3

Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2009/2010

Zad.1. [6p+3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

a) Zbadać, czy pole wektorowe ~

F = [−2z2e 2

2

− x + 2 cos y, −2x sin y − 3z2, 2ze− x − 6yz] spe lnia warunek wystarczaj¸acy istnienia potencja lu i wyznaczyć ten potencja l.

b) Sformu lować twierdzenie o niezależności ca lki krzywoliniowej od drogi oraz obliczyć R

(−2z2e 2

2

− x + 2 cos y)dx + (−2x sin y − 3z2)dy + (2ze− x − 6yz)dz.

⌢

AB

jeżeli A(0, 4, 0) i B(0, 0, 2).

Zad.2. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczyć mas¸e luku, b¸ed¸acego cz¸eści¸a okr¸egu x2 + y2 = 4 leż¸acego w pierwszej ćwiartce uk ladu wsó lrz¸ednych, jeżeli g¸estość masy ρ(x, y, z) = x2y2.

Zad.3. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Obliczyć R (x3−y)dx+xydy, jeżeli L jest lukiem L : {y2 = 4x} skierowanym od punktu A(1, 2) do punktu B(0, 0).

L

Zad.4. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Dla krzywej o równaniu:

L : ~r(t) = [t + 3 sin t, 2 cos t, 3t − sin t]

wyznaczyć równanie prostej binormalnej i p laszczyzny normalnej w punkcie P (0, 2, 0).

Zad.5. [4p+3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

a) Obliczyć krzywizn¸e i skr¸ecenie krzywej L : {2y = x2, 3z = x3} w punkcie P (0, 0, 0).

b) Co znaczy, że punkt M0( ~

OM = ~r(t0)) jest punktem sp laszczenia krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma punkty sp laszczenia?

4

Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2010/2011

Zad.1. [6p+3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

a) Zbadać, czy pole wektorowe ~

F = [3ye3x + zex + y2z2, e3x + 2xyz2, ex + 2xy2z] spe lnia warunek wystarczaj¸acy istnienia potencja lu i wyznaczyć ten potencja l.

b) Sformu lować twierdzenie o niezależności ca lki krzywoliniowej od drogi oraz obliczyć R

(3ye3x + zex + y2z2)dx + (e3x + 2xyz2)dy + (ex + 2xy2z)dz.

⌢

AB

jeżeli A(0, 2, 0) i B(0, 0, 1).

Zad.2. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczyć moment bezw ladności wzgl¸edem pocz¸atku uk ladu wspó lrz¸ednych luku, b¸ed¸acego cz¸eści¸a okr¸egu x2 + y2 = 1 leż¸acego w drugiej ćwiartce uk ladu wsó lrz¸ednych, jeżeli g¸estość masy ρ(x, y, z) = x2y2.

Zad.3. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

√

Obliczyć R (2x2 + y2)dx − x2ydy, jeżeli L jest lukiem L : {y = 2 x} skierowanym od punktu A(1, 2) do punktu L

B(4, 4).

Zad.4. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Dla krzywej o równaniu:

L : ~r(t) = [t + 1, 2t2 − 1, t3 + t]

wyznaczyć równanie prostej stycznej i p laszczyzny ściśle stycznej w punkcie P (1, −1, 0).

Zad.5. [4p+3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

a) Obliczyć krzywizn¸e i promień krzywizny krzywej L : {x2 + y2 = 1, z = y} w punkcie P (1, 0, 0).

b) Co znaczy, że punkt M0( ~

OM = ~r(t0)) jest punktem wyprostowania krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma punkty wyprostowania?

5

Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2011/2012

Zad.1. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Wykazać, że pole wektorowe ~

F = [z2 cos x − 4y , 2 + 4z3 , 2z sin x − 6z2 ] jest potencjalne dla x > 0, y > 0, z ∈ R.

x3

x2

y3

y2

Wyznaczyć potencja l tego pola a nast¸epnie obliczyć ca lk¸e

R (z2 cos x − 4y )dx + ( 2 + 4z3 )dy + (2z sin x − 6z2 )dz.

x3

x2

y3

y2

L

gdzie luk L : {y = x, z = (1 − x)(2 − x)} dla x ∈ [1, 2].

Zad.2. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczyć moment bezw ladności wzgl¸edem osi OY jednorodnego luku L : {y = ln x} dla x ∈ [1, 2].

Zad.3. [2p+5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

a) Sformu lować twierdzenie Greena.

b) Korzystaj¸ac z twierdzenia Greena obliczyć ca lk¸e

R (x − 4y)dx + (6x + 2y)dy ,

L

√

gdzie luk L jest lukiem zamkni¸etym zorientowanym ujemnie, z lożonym z wykresów funkcji y = 0, y =

−2x − x2.

Zad.4. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Wyznaczyć równanie prostej stycznej i p laszczyzny ściśle stycznej do krzywej ~r(t) = [1 + 1 , 1 − 1 , 1 ] w punkcie t

t

t2

odpowiadaj¸acym t0 = 1.

Zad.5. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

Wyznaczyć punkty krzywej L : ~r(t) = [ 2 , ln t, −t2], w których prosta binormalna do tej krzywej jest równoleg la t

do p laszczyzny x − y + 8z + 2 = 0.

6

Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2012/2013

Zad.1. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Wykazać, że pole wektorowe ~

F = [2 sin(y + z) − ey+2z, 2x cos(y + z) − xey+2z, 2x cos(y + z) − 2xey+2z + 2z] jest potencjalne. Wyznaczyć potencja l tego pola a nast¸epnie obliczyć ca lk¸e R (2 sin(y + z) − ey+2z)dx + (2x cos(y + z) − xey+2z)dy + (2x cos(y + z) − 2xey+2z + 2z)dz.

L

√

gdzie luk L : {y = 1 − x2, z = x − 1} dla x ∈ [0, 1].

Zad.2. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczyć R px2 + y2dl, gdzie L jest okr¸egiem o równaniu x2 + y2 = 2x.

L

Zad.3. [2p+4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

a) Sformu lować twierdzenie Greena.

b) Korzystaj¸ac z twierdzenia Greena obliczyć R ydx + 2xdy, gdzie luk L jest brzegiem kwadratu o wierzcho lkach L

O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1) zorientowanym ujemnie wzgl¸edem swego wn¸etrza.

Zad.4. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Wyznaczyć równanie prostej binormalnej i p laszczyzny normalnej do krzywej ~r(t) = [2t − 1 , t + 3 , − 1 ] w t2

t

t3

punkcie odpowiadaj¸acym t0 = −1.

Zad.5. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

Wykazać, że krzywizna i skr¸ecenie krzywej L : {2y = x2, 6z = x3} s¸a sobie równe w każdym punkcie krzywej L.