I kolokwium
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
D
1
2
3
4
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Zbadać liniową niezależność funkcji f = x + 1, g =
x 2 , h = x + 2
w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na
a) przedziale [ 1, ∞ ) ; b) zbiorze R.
2. Wskazać te wartości parametru b ∈ R, dla których zachodzi równość
lin { ( 2, 1, 0, b ), ( 0, 1, 2, 2 ), ( 0, 1, 1, 2 ), ( b, 0, 2, b ) } = R .4
3. Znaleźć współrzędne wektora ( 1, 2, 1 ) w bazie
{ ( 1, 1, 1 ), ( 2, 3, 1 ), ( 3, 7, 0 ) } .
4. Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni rozwiązań układu równań
Odpowiedzi do zestawu D
x − 2 y + z + 3 t = 3 x
x − 2 y + z + 3 t = 3 y
.
1. funkcje są a) liniowo zależne; b) liniowo niezależne;
x − 2 y + z + 3 t = 3 z
2. równość zachodzi dla b ∈ R − {0, 4};
x − 2 y + z + 3 t = 3 t
3. współrzędne wektora [ 4, −3, 1 ];
4. wymiar jest równy 1, bazę tworzy wektor ( 1, 1, 1, 1 ) .
I kolokwium
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
F
1
2
3
4
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Współrzędne wektorów x + 1, x − 1 , x 2 w pewnej bazie przestrzeni R2[ x] wynoszą odpowiednio [ 1, 2, 0 ], [ 0, 1, 2 ], [ 1, 0, −3 ].
Znaleźć tę bazę.
2. Podać wymiar i bazę przestrzeni liniowej lin { ( 1, 0, 2, −1, 1 ),
( 1, 1, 0, 2, −1 ), ( 3, 2, 2, 3, −1 ), ( 1, −1, 4, −4, 3 ) }
3. Określić, w zależności od parametru s ∈ R, liczbę rozwiązań układu równań
x + s 2 y + z = − s
x + y − sz = s 2 .
y + z = 1
Odpowiedzi do zestawu F
4. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań
1. baza { 4 x 2 + 3 x − 9, −2 x 2 − x + 5, x 2 + x − 3 };
x + 3 y + 2 z − u = 1
2. wymiar 2, baza { ( 1, 0, 2, −1, 1 ), ( 1, 1, 0, 2, −1 ) } ;
x + 4 y
+ 2 u = −1
3. układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele
.
rozwiązań, nie posiada rozwiązań odpowiednio dla
3 x + 11 y + 2 z + 3 u = −1
s ∈ R \ { −1, 2 }, s = −1, s = 2
x + 2 y + 4 z − 4 u = 3
4. x = 7 − 8 z + 10 u, y = −2 + 2 z − 3 u, gdzie z, u ∈ R.
I kolokwium
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
J
1
2
3
4
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Napisać macierz przejścia z bazy { 3 x − 1, 3 x + 1, x 2 − x + 1 }
3
do bazy { x 2, 1, x } przestrzeni R2[ x].
2. Zbadać liniową niezależność wektorów ( 1, 0, 2, 1, 2 ), ( 2, 1, 1, 2, 1 ),
( 5, 1, 7, 5, p ) w zależności od parametru p ∈ R.
3. Określić liczbę rozwiązań układu równań
x + 2 y + z
= 1
y
+ t = 0
.
x + 5 y + 3 z + 2 t = 0
Odpowiedzi do zestawu J
− x − 2 y − 5 z + 2 t = 0
1 −1 1
4. Znaleźć wszystkie rozwiązania niejednorodnego układu równań z niewia-
3
2
6
1
domymi x, y, z, t jeżeli wiadomo, że x = 1, y = 0, z = −1, t = 3
1. macierz przejścia 0
1
;
2
6
jest jednym z jego rozwiązań , a jego macierz główna ma postać
1 0 0
1 −2 1 1
2. wektory są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy p ≠ 7;
2 −3 0 2 .
3. układ jest sprzeczny;
1 1 3 1
4. x = 4 − t, y = 0, z = −1, gdzie t ∈ R.
I kolokwium
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
K
1
2
3
4
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Wskazać bazę przestrzeni liniowej lin { ( 1, 2, 3, 4, 5 ),
( 1, 1, 0, 1, 1 ), ( 2, 3, 3, 5, 7 ) } zawierającą wektor ( 0, 1, 3, 3, 4 ).
2. Wykorzystując macierz przejścia z bazy do bazy podać współrzędne
→
→
→
→
→ →
wektora 4 b 1 − 2 b 2 w bazie { 4 b 1 + 2 b 2, 6 b 1 − b 2 } .
3. Podać wartość parametru β, dla którego przestrzeń rozwiązań podane-
go układu równań ma największy wymiar i znaleźć bazę tej przestrzeni:
x − y + z − t = 0
− x + β y − z + t = 0 .
x − y + β z − β t = 0
Odpowiedzi do zestawu K
x + y + 2 z = 5
1. jedną z baz jest
x + 3 y − z = −1
{ ( 0, 1, 3, 3, 4 ), ( 1, 1, 0, 1, 1 ), ( 2, 3, 3, 5, 7 ) } ;
4. Rozwiązać układ równań 3 x + 5 y + 3 z =
9 .
2. współrzędne wektora [−1, 1 ] ;
2
3 x + 7 y
=
3
3. β = 1, baza { ( 1, 0, 0, 1 ), ( 0, 1, 0, −1 ), ( 0, 0, 1, 1 ) };
2 x + y + z = 4
4. x = 1, y = 0, z = 2 .