Algebra liniowa 2

II kolokwium

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

E

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

     Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Wykresem funkcji  

  jest płaszczyzna

z = f ( x

, y )

 .

π

: 3x − y + 5z = 0

Uzasadnić, że funkcja     jest przekształceniem liniowym  

.

f

R

2

→

R

2. Napisać macierz w bazie standardowej przestrzeni  

  rzutu prosto-

R

3

kątnego na prostą 

 

 .

l

: x = −y = 2z

3. Znaleźć wartości i wektory własne przekształcenia liniowego

 

 .

L ( x

, y, z ) = ( x − z, x − z, x − z )

4. Wektory  

  uzupełnić do bazy ortogonalnej przestrzeni  

x +

1, 3x − 2

  z iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem

R

2

[

x]

 .  

(

p

, q ) = p ( −1 ) q ( −1 ) + p ( 0 ) q ( 0 ) + p ( 1 ) q ( 1 )

  

Odpowiedzi do zestawu

  

E

1.   funkcja  

 

  jest przekształceniem liniowym;  

f ( x

, y ) =

y −

3x

5

2.   

 ;

1
9










4 −4

2

−

4

4 −2

2 −2

1










3.   

; 

W

0

=

lin { ( 1, 0, 1 ), ( 0, 1, 0 ) }

4.   uzupełnieniem jest wektor  

 .

3x

2

−

2

Algebra liniowa 2

II kolokwium

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

F

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

     Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Przekształcenie liniowe  

  przeprowadza wektor  

 

L

: R

2

→

R

2

(

1, 0 )

na wektor  

, a wektor  

  na wektor  

. Znaleźć 

(

3, −2 )

(

1, 1 )

(

4, −1 )

obraz wektora  

  po trzykrotnym złożeniu tego przekształcenia.

(

1, −2 )

2. Znaleźć macierz w bazie standardowej przestrzeni  

  rzutu prosto- 

R

3

kątnego na płaszczyznę

.

π

: x + 4y − z = 0

3. Wskazać bazę przestrzeni  

  złożoną z wektorów własnych macierzy

R

3

  .










1 0 1
0 2 0
1 0 1










4. Znaleźć kąt między wektorami  

w przestrzeni  

p =

3 − 2x, q = 2 − x

  z iloczynem skalarnym danym wzorem

R

1

[

x]

   dla  

(

p

, q ) = p ( 1 ) q ( 1 ) + p ( 2 ) q ( 2 )

p

, q ∈ R

1

[

x]

.

Odpowiedzi do zestawu

  

F

1.    obrazem jest wektor  

 ;

( −

9, −4 )

2.    

 

;

1

18










17 −4 1
−

4

2 4

1

4 17










3.    baza własna  

;

{ (

1, 0, −1 ), ( 1, 0, 1 ), ( 0, 1, 0 ) }

4.    kąt    .

π
4

Algebra liniowa 2

II kolokwium

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

G

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

     Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Wykresem funkcji  

  jest płaszczyzna

z = g ( x

, y )

.

π

: 2x + 5y − 4z = 2

Zbadać, czy funkcja     jest przekształceniem liniowym  

.

g

R

2

→

R

2. Napisać macierz obrotu o kąt     wokół osi  

  w przestrzeni  

  

π
2

Oz

R

3

w bazie  

 .

{ (

0, 1, −1 ), ( 0, 0, 1 ), ( 1, −1, 0 ) }

3. Wyznaczyć wartości i wektory własne przekształcenia liniowego

. 

K ( x

, y, z ) = ( x + 2y + 3z, 2y, −z )

4. Wektory  

  uzupełnić do bazy ortogonal-

(

1, 1, 0, 0 ), ( 0, 0, 1, 0 )

nej przestrzeni  

  i podać współrzędne wektora  

E

4

(

0, 1, 0, 0 )

w tej bazie.

Odpowiedzi do zestawu

  

G

1.   funkcja  

 

      nie jest przekształceniem 

g ( x

, y ) =

2x + 5y

4

−

1
2

      liniowym;  

2.   

 ; 










−

1 0 2

−

2 1 2

−

1 0 1










3.  

,  

,

W

−

1

=

lin { ( 3, 0, −2 ) } W

1

=

lin { ( 1, 0, 0 ) }

     

;

W

2

=

lin { ( 2, 1, 0 ) }

4.   współrzędne  

  w bazie  

 

[

1
2

, 0, 1, 0 ]

{ (

1, 1, 0, 0 ),

      

 

 .

(

0, 0, 1, 0 ), (−

1
2

,

1
2

, 0, 0 ), ( 0, 0, 0, 1 ) }

Algebra liniowa 2

II kolokwium

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

H

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

     Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Napisać macierz w bazie standardowej przestrzeni  

  symetrii

R

3

względem płaszczyzny

.

π

: 3x − 3y + z = 0

2. Przekształcenie  

  jest określone wzorem

L

: R

2

[

x] → R

2

[

x]

  dla  

(

Lp ) ( x ) = (

2 − x ) p ( x )

p ∈ R

2

[

x]

.

Uzasadnić liniowość tego przekształcenia i podać jego macierz w bazie  

. 

{

1, x, x

2

}

3. Znaleźć wartości własne i odpowiadające im podprzestrzenie własne 

przekształcenia liniowego

 .

L ( x

, y, z ) = ( y, y, y )

4. Sprawdzić, że wektory  

  tworzą 

(

2, −1, 3 ), ( −1, 4, 2 ), ( 2, 1, −1 )

bazę ortogonalną przestrzeni  

  i podać współrzędne wektora  

E

3

 w tej bazie.

(

0, 1, −1 )

Odpowiedzi do zestawu

  

H

1.   

 

;  

1

19










1 18 −6

18

1

6

−

6

6 17










2.   

 ; 










0

2

0

0 −1

4

0

0 −2










3.   

 płaszczyzna 

  prosta  

 ;  

W

0

=

xOz

, W

1

=

l

: x = y = z

4.  

  .

[ −

2
7

,

2

21

,

1
3

]