L6.1 Systemy liczenia stosowane

w informatyce

opracowała mgr Anna Śliwińska

Projekt współfinansowany przez

Unię Europejską w ramach

Europejskiego Funduszu Społecznego

Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie

Program Operacyjny Kapitał Ludzki – Priorytet 9 – Działanie 9.1 – Poddziałanie 9.1.2

System pozycyjny



To sposób zapisywania liczb znany od
wczesnego średniowiecza polegający na
używaniu cyfr

c

n

….c

3

, c

2

, c

1

,c

0

które zapisane obok siebie interpretuje
się jako sumę iloczynów tych liczb i potęg
liczby naturalnej n, nazywanej podstawą
systemu, o wykładnikach równych
numerowi pozycji cyfry w ciągu:

Rodzaje systemów stosowanych

w informatyce

Powszechnie używamy systemu dziesiętnego

w informatyce zaś stosuje się zamiennie
systemy:



Dwójkowy (binarny) np.: liczba 1011100



Ósemkowy (oktalny)np.: 567201



Szesnastkowy (heksadecymalny) np.: 115C

Jest to spowodowane tym, iż w komputerach

łatwo uzyskać dwa różne stany fizyczne (impuls
lub brak impulsu).

System dziesiętny

System dziesiętny jest systemem pozycyjnym,

co oznacza, że wartość liczby zależy od

pozycji na której się ona znajduje np. w

liczbie 333 każda cyfra oznacza inną wartość

bowiem:

333= 3*100+3*10+3*1

każdą z cyfr mnożymy przez tzw. wagę pozycji,

która jest kolejną potęgą liczby 10 będącej

podstawą systemu liczenia co możemy

zapisać jako:

333

(10)

=3*10

2

+ 3*10

1

+ 3*10

0

Można stworzyć dowolny pozycyjny system

liczenia o podstawie np. 2, 3, 4, 7, 8, 16.

W technice komputerowej praktyczne

zastosowanie znalazły systemy:



o podstawie 2 - tzw. system binarny

(dwójkowy) używany do przechowywania

i przetwarzania danych przez układy

elektroniczne komputera



o podstawie 16 - tzw. system

heksadecymalny (szesnastkowy), używany

głównie do prezentacji niektórych

danych

m.in. adresów komórek pamięci

System binarny

Liczbę w systemie binarnym możemy więc

przedstawić jako:

10111

(2)

= 1*2

4

+0*2

3

+1*2

2

+1*2

1

+1*2

0

Każdą z cyfr mnożymy przez kolejną potęgę liczby 2

będącej podstawą systemu liczenia w

systemie binarnym otrzymany wynik jest

liczbą dziesiętna odpowiadającą podanej.

10111

(2)

= 23

(10)

System szesnastkowy

Analogicznie do systemu dziesiętnego czy binarnego liczbę

w systemie szesnastkowym (o podstawie 16) możemy

przedstawić jako:

2541

(16)

= 2*16

3

+ 5*16

2

+ 4*16

1

+ 1*16

0

natomiast cyframi mogą być liczby:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11,12,13,14,15

A B C D E F

aby zapis liczby był jednoznaczny, tzn. każdej pozycji powinna

odpowiadać tylko 1 cyfra cyfry od 10 do 15 zastąpiono

w zapisie literami: A, B, C, D, E, F.

Od systemu do systemu



Posługiwanie się różnymi systemami

liczenia wymaga umiejętności nie tylko

przedstawiania liczb w różnych

systemach ale również konwersji

(zamiany) liczby przedstawionej

w jednym systemie na liczbę w innym

systemie.



Najwygodniej jest to powierzyć

komputerowi ale należy poznać zasady

takiej zamiany

Zamiana liczby dziesiętnej

na dwójkową

Podstawowy sposób polega na

kolejnym dzieleniu liczby dziesiętnej

przez 2.

Jeśli nie ma reszty to wpisujemy 0

a jak jest reszta to 1.

Liczbę zapisujemy od najstarszego do

najmłodszego bitu więc:
69

(10)

= 1000101

(2)

Każdą pozycję liczby binarnej nazywamy bitem (binary digit)
i jest to najmniejsza jednostka ilości informacji

69

1 najmłodszy

34

0

17

1

8

0

4

0

2

0

1

1

najstarszy

Zamiana liczby binarnej
na dziesiętną

Przypomnijmy, że aby obliczyć dziesiętną

wartość liczby binarnej mnożymy cyfrę
stojącą na każdej pozycji przez jej wagę,
czyli kolejną potęgę liczby 2 będącej
podstawą systemu

1000101

(2)

=1*2

6

+ 0*2

5

+ +0*2

4

+0*2

3

+ 1*2

2

+ 0*2

1

+ 1*2

0

=

=64+0+0+0+4+0+1=69

Zamiana liczby binarnej
na heksadecymalną

Liczba dziesiętna 69 to binarnie: 1000101

Algorytm zamiany liczby binarnej na heksadecymalną

jest następujący:

dzielimy liczbę binarną na tzw. kęsy

o długości 4 bity

(licząc od ostatniej pozycji) czyli:

100 0101

Dla każdego kęsa znajdujemy wartość dziesiętną

i zapisujemy ją w postaci heksadecymalnej

binarnie

100 0101

dziesiętnie

4

5

heksadecymalnie

45

tak więc: 45

(16)

=4*16

1

+ 5*16

0

=64+5= 69

Kod ASCII

Do przechowywania i przetwarzania danych przez układy

elektroniczne komputera używany jest system binarny.

Tekst wprowadzany do komputera za pomocą klawiatury należy

przedstawić jednoznacznie tzn. przyporządkować literom

i innym znakom alfanumerycznym - liczby (numery).

W 1965 r. powstał w kod

ASCII

używany przez wszystkich

użytkowników i twórców oprogramowania.

Jest to kod 7 bitowy, a więc możemy za jego pomocą

przedstawić 2

7

czyli 128 znaków.

W 1981 r. IBM wprowadził rozszerzony do 8 bitów kod,

co pozwala na przedstawienie 256 znaków

(w tym znaki specjalne, graficzne, matematyczne

i diakrytyczne znaki narodowe)

Fragment kodu ASCII

A

l

a

65

108

97

1000001 1101100 1100001

Piszemy Ala w systemie dwójkowym

dziesiętnie

binarnie

Bibliografia



Zdzisław Płoski „Słownik encyklopedyczny
Informatyka, komputer i Internet”
Wydanie III Wyd. Europa Wrocław 2002



http://fizar.pu.kielce.pl/fizyka/utk/prezentac
je/systlicz.ppt



http://www.programuj.com/artykuly/rozne
/sysliczb.php