systemy liczenia 4FZSJCO54J2OZ6M57W4ECNGQOG3XPSDMMJ6QLMA


Systemy liczenia i kodowania informacjiSpis treści

Spis tabel

  1. Sposoby przedstawiania liczb - zasada systemu pozycyjnego

Termin „liczba” kojarzy się nam na ogół z jej zapisem w systemie dziesiętnym. Ta sama liczba może być przedstawiona na wiele sposobów. Wybór reprezentacji dyktują warunki techniczne. Symbole używane do zapisu liczb nazywamy cyframi. W życiu codziennym do zapisu liczb używamy tak zwanego pozycyjnego systemu dziesiętnego.

    1. System dziesiętny

Polega on na tym, że liczby przedstawia się za pomocą 10 symboli cyfrowych (bo jest to system dziesiętny), a mianowicie 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zaś znaczenie cyfry zależy nie tylko od niej samej, ale i od jej pozycji (miejsca) w stosunku do innych cyfr (stąd nazwa systemu pozycyjnego).

Na przykład liczba 7710 ( Indeks „10” znajdujący za liczbą informuje w jakim systemie dana liczba jest zapisana) zawiera dwie takie same cyfry, ale ta na lewo oznacza siedem dziesiątek a ta na prawo tylko siedem jednostek.

OGÓLNA ZASADA SYSTEMU POZYCYJNEGO JEST TAKA, ŻE KOLEJNE POZYCJE, IDĄC OD PRAWEJ STRONY DO LEWEJ, OZNACZAJĄ CORAZ WYŻSZE POTĘGI TAK ZWANEJ PODSTAWY SYSTEMU. Dla systemu dziesiętnego podstawą systemu jest oczywiście DZIESIĘĆ. Stąd kolejne pozycje w systemie dziesiętnym oznaczają:

... 103 = 1000 102 = 100 101 = 10 100 = 1

Liczbę Liczbę Liczbę Liczbę

tysięcy setek dziesiątek jednostek

Przykład: 63810 = 6•102 + 3•101 + 8•100

W tym zapisie każda cyfra znajdująca się o jedną pozycję w lewo jest zawsze dziesięciokrotnie większa od analogicznej cyfry stojącej obok niej z prawej strony.

W pozycyjnym systemie dziesiętnym największą liczbę, jaka można zapisać przy użyciu pojedynczej cyfry jest liczba dziewięć a liczbę dziesięć zapisuje się już przy użyciu dwóch cyfr: 1 i 0.

    1. System dwójkowy

Jeśli za podstawę systemu przyjmujemy liczbę DWA to otrzyma się SYSTEM DWÓJKOWY. W systemie dwójkowym istnieją tylko dwie cyfry: 0;1 za pomocą których możemy zapisać dowolną liczbę. Dowolna liczba dwójkowa zawiera więc same zera i jedynki.

W systemie dwójkowym największą liczbę, jaka można przedstawić przy użyciu pojedynczej cyfry jest liczba jeden.

Ponieważ podstawą systemu jest liczba dwa, kolejne pozycje oznaczają:

... 23 = 8 22 = 4 21 = 2 20 = 1

Liczbę Liczbę Liczbę Liczbę

ósemek czwórek dwójek jednostek

Na przykład, jeśli ktoś posługujący się systemem dwójkowym napisze 10112, to ma na myśli:

1•23+0•22+1•21+1•20 czyli liczbę, którą w systemie dziesiętnym zapisuje się tak: 1110.

    1. System czwórkowy

Jeżeli za podstawę systemu przyjmiemy liczbę CZTERY to otrzyma się SYSTEM CZWÓRKOWY. Istnieją w nim tylko 4 cyfry za pomocą których możemy zapisać dowolną liczbę: 0,1,2,3, a kolejne pozycje w liczbie oznaczają :

... 43 = 64 42 = 16 41 = 4 40 = 1

Liczba Liczba Liczba Liczba

sześćdziesiątek- szesnastek czwórek jednostek

czwórek

Jeśli ktoś posługujący się systemem czwórkowym napisze 3124, to ma na myśli:

3•42+1•41+2•40 czyli liczbę, którą w systemie dziesiętnym zapisuje się tak: 5410.

W systemie czwórkowym największą liczbę, jaką można zapisać przy użyciu pojedynczej cyfry jest liczba trzy.

    1. System ósemkowy

Gdy za podstawę systemu przyjęta zostanie liczba OSIEM to otrzyma się SYSTEM ÓSEMKOWY.

W systemie ósemkowym istnieje tylko 8 cyfr: 0,1,2,3,4,5,6,7, a kolejne pozycje w liczbie oznaczają:

... 82 = 64 81 = 8 80 = 1

Liczba Liczba Liczba

sześćdziesiątek- ósemek jednostek

czwórek

Jeśli ktoś posługujący się systemem ósemkowym napisze 2538, to ma na myśli:

2•82+5•81+3•80, czyli liczbę, która w systemie dziesiętnym zapisuje się tak: 17110.

Największa liczbę, jaka można zapisać w systemie ósemkowym przy użyciu pojedynczej cyfry jest liczba siedem.

    1. System szesnastkowy

Gdy za podstawę systemu przyjęta zostanie liczba SZESNAŚCIE to otrzyma się SYSTEM SZESNASTKOWY.

W systemie szesnastkowym kolejne miejsca w liczbie oznaczają:

... 162 = 256 161 = 16 160 = 1

Liczbę Liczbę Liczbę

dwustu- szesnastek jednostek

pięćdziesiątek-

szóstek

Istnieje w nim 16 cyfr : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,C, D, E, F

Do zapisania cyfr dziesięć, jedenaście,... piętnaście, wykorzystano litery od A do F.

Jeżeli ktoś posługujący się systemem szesnastkowym napisze 1A316, to ma na myśli:

1•162+10•161+3•160, czyli liczbę, która w systemie dziesiętnym zapisuje się jako 41910.

Największą liczbę, jaka można zapisać w systemie szesnastkowym za pomocą pojedynczej cyfry jest liczba piętnaście (litera F).

    1. Relacje pomiędzy poszczególnymi systemami numeracji

  1. Relacje pomiędzy poszczególnymi systemami numeracji 

  2. System

    dziesiętny

    System

    dwójkowy

    System

    czwórkowy

    System

    ósemkowy

    System

    szesnastkowy

    0

    0000

    0

    0

    0

    1

    0001

    1

    1

    1

    2

    0010

    2

    2

    2

    3

    0011

    3

    3

    3

    4

    0100

    10

    4

    4

    5

    0101

    11

    5

    5

    6

    0110

    12

    6

    6

    7

    0111

    13

    7

    7

    8

    1000

    100

    10

    8

    9

    1001

    101

    11

    9

    10

    1010

    102

    12

    A

    11

    1011

    103

    13

    B

    12

    1100

    110

    14

    C

    13

    1101

    111

    15

    D

    14

    1110

    112

    16

    E

    15

    1111

    113

    17

    F

    1. Nieprzydatność systemu dziesiętnego w urządzeniach komputera

    System dziesiętny przedstawiania liczb stosowany powszechnie w nauce, technice i życiu codziennym, okazał się bardzo niewygodny w maszynach elektronicznych.

    Przy przechowywaniu liczb w urządzeniu technicznym korzystnie jest wartość każdej cyfry przedstawić jako stan pewnego zjawiska fizycznego, np. napięcia na kondensatorze. W systemie dziesiętnym (systemie o podstawie 10) należałoby dziesięciu cyfrom przypisać dziesięć różnych wartości napięcia. Rozpoznawanie cyfry, zakodowanej w formie napięcia, wymagałoby niezawodnego rozróżniania tych napięć, podobnie jak czyni to woltomierz cyfrowy. Jest to technicznie możliwe, lecz w każdym razie gdyby taki układ zbudowano, to pracowałby on niestabilnie. Z tego względu urządzenia elektroniczne preferują tzw. SYSTEM DWÓJKOWY (binarny), gdyż łatwiej i pewniej jest używać tylko dwóch skrajnych stanów, np. 0 Volt i napięcia zbliżonego do pewnej wartości maksymalnej, przypuśćmy 5 Volt. Technologia wytwarzania elementów dwustanowych jest prosta i tania, co decyduje o opłacalności produkcji masowej.

    1. Konwersja systemów

    Ponieważ komputer posługuje się systemem dwójkowym, a ludzie - dziesiętnym, przekształcenie postaci zapisu liczb (tzw. konwersja systemów) z systemu dwójkowego na dziesiętny i odwrotnie jest czynnością dość częstą.

      1. Konwersja dwójkowo - dziesiętna

    Ponieważ podstawą liczenia systemu dwójkowego jest liczba DWA (zapisywana jako 10 - czytaj: jeden zero) to kolejne pozycje oznaczają (wagi bitów):

    Nr bitu

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    Waga bitu

    27 = 128

    26=64

    25=32

    24=16

    23=8

    22=4

    21=2

    20=1

    Bity są ponumerowane od prawej do lewej, zaczynając od 0. WAGA BITU to podstawa systemu podniesiona do potęgi odpowiadającej numerowi bitu. Waga bitu zerowego wynosi 1. We wszystkich systemach pozycyjnego zapisu liczb całkowitych, skrajnie prawa pozycja jest zawsze równa liczbie 1 bo jest to podstawa systemu do potęgi zero.

    Aby znaleźć dziesiętny odpowiednik liczby dwójkowej najprościej dokonać jej rozwinięcia. Każdej pozycji przypisana jest waga, a wykładnikiem potęgi jest numer pozycji.

    Przykład

    Przekształcenie liczby dwójkowej 11011011 na liczbę dziesiętną

    10100112 = 1•26+0•25+1•24+0•23+0•22+1•21+1•20 = 8310

      1. Konwersja dziesiętno - dwójkowa

    W celu przekształcenia liczby wyrażonej w systemie dziesiętnym na system dwójkowy należy liczbę tę dzielić kolejno przez 2, dopóki iloraz nie będzie równy zero. Po każdym dzieleniu należy zapisać otrzymaną resztę. Zapis liczby w systemie dwójkowym otrzymamy odczytując kolejno reszty z dzielenia, począwszy od ostatniej reszty do pierwszej.

    PRZYKŁAD: przekształcenie liczby 43710 na liczbę zapisaną w systemie dwójkowy.

    Dzielenie Iloraz Reszta Inny sposób zapisu

    przez 2 cząstkowy

    437 : 2 218 1 437 = 436 + 1

    218 : 2 109 0 218 = 218 + 0

    109 : 2 54 1 109 = 108 + 1

    54 : 2 27 0 54 = 54 + 0

    27 : 2 13 1 27 = 26 + 1

    13 : 2 6 1 13 = 12 + 1

    6 : 2 3 0 6 = 6 + 0

    3 : 2 1 1 3 = 2 + 1

    1 = 0 + 1

    WYNIK : 1101101012 (kierunek odczytywania - od dołu)

    Liczba dziesiętna 43710 ma w systemie dwójkowym postać 1101101012

    Powyższa metoda tłumaczenia liczb z systemu dziesiętnego na dwójkowy może być zastosowana wyłącznie do liczb całkowitych.

      1. Konwersja szesnastkowo - dziesiętna

    W celu znalezienia wartości liczby szesnastkowej w zapisie dziesiętnym należy zastosować ten sam algorytm, który został podany dla konwersji dwójkowo - dziesiętnej.

    Przykład

    Znajdź wartość następującej liczby szesnastkowej w zapisie dziesiętnym:

    C1C0A6E16

    C1C0A6E16 = 12•167+1•166+12•165+0•164+8•163+10•162+6•161+14•160 = 325062103810

      1. Konwersja dziesiętno - szesnastkowa

    Konwersja ta przebiega zgodnie z algorytmem podanym dla konwersji dziesiętno - binarnej (dwójkowej), przy czym dzielnikiem jest tu liczba 16. Liczba dzieleń jest równa liczbie cyfr zapisu szesnastkowego.

    Konwersja liczby 325062103810 do zapisu szesnastkowego przebiega w następujący sposób:

    I

    2 0 3 1 6 3 8 1 4

    3 2 5 0 6 2 1 0 3 8 : 1 6

    3 2

    0 5 0

    4 8

    2 6

    1 6

    1 0 2

    9 6

    6 1

    4 8

    1 3 0

    1 2 8

    2 3

    1 6

    7 8

    6 4

    1 4 → E

    II

    1 2 6 9 7 7 3 8

    2 0 3 1 6 3 8 1 4 : 1 6

    1 6

    4 3

    3 2

    1 1 1

    9 6

    1 5 6

    1 4 4

    1 2 3

    1 1 2

    1 1 8

    1 1 2

    6 1

    4 8

    1 3 4

    1 2 8

    6 → 6

    III

    7 9 3 6 0 8

    1 2 6 9 7 7 3 8 : 1 6

    1 1 2

    1 4 9

    1 4 4

    5 7

    4 8

    9 7

    9 6

    1 3 8

    1 2 8

    1 0 → A

    IV

    4 9 6 0 0

    7 9 3 6 0 8 : 1 6

    6 4

    1 5 3

    1 4 4

    9 6

    9 6

    0 0 8 → 8

    V

    3 1 0 0

    4 9 6 0 0 : 1 6

    4 8

    1 6

    1 6

    0 → 0

    VI

    1 9 3

    3 1 0 0 : 1 6

    1 6

    1 5 0

    1 4 4

    6 0

    4 8

    1 2 → C

    VII

    1 2

    1 9 3 : 1 6

    1 6

    3 3

    3 2

    1 → 1

    VIII

    1 2 → C

    Otrzymana liczba to: C 1 C 0 8 A 6 E16

    Ze względu na dość żmudny proces dzielenia przez liczbę 16 można również dokonać konwersji dziesiętno binarnej, a następnie kolejne czwórki bitów odpowiednio przedstawić w zapisie szesnastkowym, np.:

    0x08 graphic
    3250621038 = 3250621638 + 0

    1625310519 = 1625310518 + 1 E

    812655259 = 812655258 + 1

    0x08 graphic
    406327629 = 406327628 + 1

    203163814 = 203163814 + 0

    101581907 = 101581906 + 1 6

    50790953 = 50790952 + 1

    0x08 graphic
    25395476 = 25395476 + 0

    12697738 = 12697738 + 0

    6348869 = 6348868 + 1 A

    3174434 = 3174434 + 0

    0x08 graphic
    1587217 = 1587216 + 1

    793608 = 793608 + 0

    396804 = 396804 + 0 8

    198402 = 198402 + 0

    0x08 graphic
    99201 = 99200 + 1

    49600 = 49600 + 0

    24800 = 24800 + 0 0

    12400 = 12400 + 0

    6200 = 6200 + 0

    0x08 graphic
    3100 = 3100 + 0

    1550 = 1550 + 0 C

    775 = 774 + 1

    387 = 386 + 1

    0x08 graphic
    193 = 192 + 1

    96 = 96 + 0 1

    48 = 48 + 0

    24 = 24 + 0

    0x08 graphic
    12 = 12 + 0

    6 = 6 + 0 C

    3 = 2 + 1

    1 = 0 + 1

    Otrzymana liczba to: C 1 C 0 8 A 6 E16

      1. Konwersja ósemkowo - dziesiętna

    W celu znalezienia wartości liczby ósemkowej w zapisie dziesiętnym należy zastosować ten sam algorytm, który został podany dla konwersji dwójkowo - dziesiętnej.

    Przykład

    Znajdź wartość następującej liczby ósemkowej w zapisie dziesiętnym:

    265728

    265728 = 2•84+6•83+5•82+7•81+2•80 = 1164210

      1. Konwersja dziesiętno - ósemkowa

    Konwersja ta przebiega zgodnie z algorytmem podanym dla konwersji dziesiętno - binarnej (dwójkowej), przy czym dzielnikiem jest tu liczba 8.

    Ze względu na dość żmudny proces dzielenia przez liczbę 8 można dokonać konwersji dziesiętno binarnej, a następnie kolejne trójki bitów odpowiednio przedstawić w zapisie ósemkowym, np.:

    Zamień liczbę 1164210 na liczbę zapisaną w systemie ósemkowym.

    Dokonujemy konwersji liczby 1164210 na liczbę zapisaną w systemie dwójkowym

    0x08 graphic
    0x08 graphic
    0x08 graphic
    0x08 graphic
    0x08 graphic
    1164210 = 0101101011110102

    2 6 5 7 2

    Otrzymana liczba to: 2 6 5 7 2 8

      1. Konwersja czwórkowo - dziesiętna

    W celu znalezienia wartości liczby czwórkowej w zapisie dziesiętnym należy zastosować ten sam algorytm, który został podany dla konwersji dwójkowo - dziesiętnej.

    Przykład

    Znajdź wartość następującej liczby czwórkowej w zapisie dziesiętnym:

    23113224

    23113224 = 2•46+3•45+1•44+1•43+3•42+2•41+2•40 = 1164210

      1. Konwersja dziesiętno czwórkowa

    Konwersja ta przebiega zgodnie z algorytmem podanym dla konwersji dziesiętno - binarnej (dwójkowej), przy czym dzielnikiem jest tu liczba 4.

    Ze względu na dość żmudny proces dzielenia przez liczbę 4 można dokonać konwersji dziesiętno binarnej, a następnie kolejne dwójki bitów odpowiednio przedstawić w zapisie czwórkowym, np.:

    Zamień liczbę 1164210 na liczbę zapisaną w systemie czwórkowym.

    Dokonujemy konwersji liczby 1164210 na liczbę zapisaną w systemie dwójkowym

    1164210 = 101101011110102

    0x08 graphic
    0x08 graphic
    0x08 graphic
    0x08 graphic
    0x08 graphic
    0x08 graphic
    0x08 graphic

    2 3 1 1 3 2 2

    Otrzymana liczba to: 23113224

    1. Zasady wykonywania działań arytmetycznych w systemie dwójkowym

      1. Dodawanie

    Dwie liczby dwójkowe dodaje się tak jak dwie liczby dziesiętne tzn. dodaje się najpierw ostatnią cyfrę jednej liczby do ostatniej cyfry drugiej liczby, następnie przedostatnią cyfrę pierwszej liczby do przedostatniej cyfry drugiej liczby itd., ponieważ jednak w liczbach dwójkowych występują jedynie cyfry 0 i 1, to przy dodawaniu występują tylko 3 następujące przypadki:

    0 + 0 = 0

    0 + 1 = 1

    1 + 1 = 10 ( 1+1 daje nam zero w danej pozycji cyfrowej oraz przeniesienie 1 do następnej pozycji).

    W systemie dziesiętnym 1+1=2, ale w systemie dwójkowym liczbę 2 zapisuje się jako 10

    Stosując te zasady łatwo dodać do siebie dwie przykładowe liczby dwójkowe:

    0 0 0 1 0 1 1 0 (dwadzieścia dwa) 1•24+0•23+1•22+1•21+0•20= 2210

    + 0 0 0 0 1 0 1 1 (jedenaście) 1•23+0•22+1•21+1•20= 1110

    -----------

    0 0 1 0 0 0 0 1 (trzydzieści trzy) 1•25+0•24+0•23+0•22+0•21+1•20= 3310

    Nieco trudniejsza jest operacja dodawania, gdyby trzeba dodać nie dwie liczby, jak w podanym przykładzie, lecz cały szereg liczb. W tym wypadku pewne kłopoty sprawia pamiętanie jedynek przenoszonych do starszych pozycji cyfrowych. Aby nie komplikować schematów liczących komputera ta trudność rozwiązana została w ten sposób, że w urządzeniach arytmetycznych komputera są sumowane wyłącznie 2 liczby. Do sumy 2 liczb dodaje się liczbę trzecią, do sumy 3 liczb liczbę czwartą itd.

    Przykład

    Dodaj do siebie w zapisie dwójkowym następujące liczby dziesiętne 16; 23; 61; 95

    000100002 (1610)

    001101112 (2310)

    010100012 (8110)

    + 010111112 (9510)

    -------

    110101112 (21510)

      1. Odejmowanie

        1. Kod prosty liczby (KP)

    Wprowadzamy pozycję znaku (po lewej stronie)

    Zapis znaku:

    L ≥ 0 to znak = 0

    L ≤ 0 to znak = 1

    Znak oddzielamy od liczby kropką

    +1410 to 0.000011102

    -1410 to 1.000011102

        1. Kod uzupełnieniowy(KU) liczby

    Kod uzupełnieniowy (dopełnieniowy) liczby która jest nie ujemna = kodowi prostemu (KP)

    Kod uzupełnieniowy liczby ujemnej:

    Oto jak wyznaczyć dwójkową postać liczby - 1410:

    1.000011102 -1410

    1.111100012 negacja wszystkich bitów (znak pozostaje bez zmian)

    + 0.000000012 inkrementacja (dodajemy liczbę jeden)

    ----------

    1.111100102

    W identyczny sposób można zmienić na przeciwny, znak liczby ujemnej:

    1.111100102 -1410

    1.000011012 negacja wszystkich bitów

    + 0.000000012 inkrementacja

    ----------

    0.000011102

    System uzupełnienia dwójkowego jest korzystny z technicznego punktu widzenia. Z odejmowania można zrezygnować, zastępując je prostą negacją i dodawaniem, zaś dodawanie liczb dodatnich i ujemnych jest prowadzone w myśl jednolitych reguł. Działanie:

    +7 - 7 można zastąpić działaniem +710 + (-710)

    Przykład:

    Wykonujemy działanie 810 - 1310

    Na początku zapiszemy liczbę - 1310 używając kodu uzupełniającego:

    1.000011012 -1310

    1.111100102 negacja wszystkich bitów

    + 0.000000012 inkrementacja

    ---------

    1.111100112

    Następnie wykonujemy dodawanie liczby 810 + (-1310)

    0.000010002 810

    + 1.111100112 -1310

    ---------

    1.111110112

    Jeżeli wynik jest ujemny (liczba 1 przed kropką) to należy go przenieść z kodu uzupełniającego na kod prosty wykonując następujące czynności:

    1.111110112 -510 K. uzupełniający

    1.000001002 negacja wszystkich bitów

    + 0.000000012 inkrementacja

    ---------

    1.000001012 -510 K. prosty

    Jeżeli wynik jest ≥ 0 to KU = KP

      1. Mnożenie

    Mnożenie w systemie dwójkowym wykonuje się tak jak w systemie dziesiętnym, metodą mnożenia przez poszczególne cyfry mnożnika oraz sumowania otrzymanych w ten sposób cząstkowych iloczynów.

    Ponieważ w liczbach dwójkowych występują jedynie cyfry 0 i 1, to przy mnożeniu występują tylko następujące przypadki:

    0 • 0 = 0

    0 • 1 = 0

    1 • 0 = 0

    1 • 1 = 1

    Posługując się tymi regułami można pomnożyć dwie dowolne liczby dwójkowe.

    Przykład

    Wykonamy działanie 1410 1510 = 21010

    1 1 1 02 Liczba 1410

    • 1 1 1 12 Liczba 1510

    ---------------------

    + 1 1 1 0

    1 1 1 0

    1 1 1 0

    1 1 1 0

    ---------------------

    1 1 0 1 0 0 1 02 Liczba 21010

    Sprawdzenie:

    1•27+1•26+0•25+1•24+0•23+0•22+1•21+0•20 = 21010

      1. Dzielenie

    Dzielenie w systemie dwójkowym wykonuje się pisemnie tak jak w systemie dziesiętnym.

    Przykład

    Podziel liczbę 8510 przez 510 w systemie dwójkowym.

    8510 → 10101012

    510 → 1012

    0 0 1 0 0 0 1

    1 0 1 0 1 0 12 : 1 0 12

    1 0 1

    0 0 0 0 1 0 1

    1 0 1

    0 0 0

    0 0 1 0 0 0 121710

    Podziel 12610 przez 2110

    12610 → 11111102

    2110 → 101012

    1 1 0

    1 1 1 1 1 1 02 : 101 012

    1 0 1 0 1

    1 0 1 0 0

    1 0 1 0 1

    0 0 0 0 0 0 0

    1102610

    Podziel 24610 przez 310

    24610 → 111101102

    310 → 000000112

    8210 → 010100102

    0 1 0 1 0 0 1 0

    1 1 1 1 0 1 1 02 : 112

    1 1

    0 0 1 1 0 1 1 0

    1 1

    0 0 0 1 1 0

    1 1

    0 0 0

    2



    Wyszukiwarka

    Podobne podstrony:
    prezentacja L6 01 Systemy liczenia
    Niedziesiątkowe systemy liczenia, Pedagogika
    I LO Systemy liczenia, ETI Edukacja technicyno inf,, KONSPEKTY, Konspekty
    09a binarny system liczenia standard TTL, ZSS
    I LO Systemy liczenia c.d, ETI Edukacja technicyno inf,, KONSPEKTY, Konspekty
    prezentacja L6 01 Systemy liczenia
    Niedziesiątkowe systemy liczenia, Pedagogika
    Matematyka wedyjska to system szybkiego liczenia w pamięci
    System finansowy w Polsce 2
    Systemy operacyjne
    Systemy Baz Danych (cz 1 2)
    Współczesne systemy polityczne X
    System Warset na GPW w Warszawie
    003 zmienne systemowe
    elektryczna implementacja systemu binarnego
    09 Architektura systemow rozproszonychid 8084 ppt
    SYSTEMY EMERYTALNE

    więcej podobnych podstron