Przykladowe egzaminy

December 29, 2010

1. Obliczyc granice ciagow.

lim

n→∞

n

r

1

π

n

+

1

e

n

,

lim

n→∞

n

√

4

n

+ 5

n

+ sin n,

lim

n→∞

n

√

n + n

2

+ n

3

.

2. Zbadac zbieznosc szeregow.

∞

X

n=3

 n + 2

n − 2



n

2

,

∞

X

n=1

n

(2n)!

,

∞

X

n=1

 n + 2

n



n

2

1

3

n

∞

X

n=1

(n!)

2

(2n)!

,

∞

X

n=1

 2n

2

+ 1

3n

2

− 1



n

n

2

,

∞

X

n=1

1

n!(2n)!

.

3. Obliczyc granice funkcji w miare mozliwosci nie uzywajac refuly de

l’Hospitala.

lim

x→1

1 − x

lnx

,

lim

x→∞

√

x − 6x

3x + 1

,

lim

x→0

e

sin x

− 1

arcsinx

,

lim

x→

π

2

ln sin x

1

tgx

.

4. Wyznaczyc dziedziny, przedzialy monotonicznosci i ekstrema funkcji

f (x) = x

3

e

−x

,

g(x) = x

2

e

1
x

,

h(x) =

lnx

x

.

5. Geometria analityczna.

1

• Znalezc wektor prostopadly do plaszczyzny wyznaczonej przez

punkty A = (1, 1, 1), B = (0, 1, 3), C = (2, 0, 4). Napisac row-
nanie parametryczne prostej AC.

• Wyznaczyc objetosc rownolegloscianu opartego na wektorach AC, AB, AD,

gdzie punkty A, B, C sa jak w poprzednim zadaniu, a D = (2, 3, 4).

• Obliczyc pole trojkata ABC, gdy A = (1, 2, 3), B = (−1, 0, 2), C =

(2, 3, −1).

• Wyznaczyc punkty wspolne prostej

l :











x = 1 + 2t,

y = 2 + 2t,

z = 3 + 3t,

z plaszczyzna π prostopadla do prostej l i przechadzaca przez
punkt M = (1, 1, 2).

• Wyznaczyc rownanie plaszczyzny zawierajacej punkty A = (0, 0, 2), B =

(4, 0, 1), C = (2, 1, 2) oraz obliczyc odleglosc punktu (0, 0, 0) od tej
plaszczyzny.

• Napisac rownanie prostej przechodzacej przez punkt A i srodek

boku BC, gdzie A, B, C sa jak w poprzednim zadaniu.

6. Obliczyc calki nieoznaczone.

Z

(cos x + cos 2x + cos 3x)dx,

Z

x

2

e

2x

dx,

Z

1

x

√

lnx

dx,

Z

tg

2

x + e

tgx

cos

2

x

dx,

Z

x

2

e

3x

dx,

Z

arctgx +

1

arctgx

+ cos(arctgx)

1 + x

2

dx.

2