Obwody elektryczne pr

ą

du przemiennego

2

Pr

ą

d przemienny

Klasyfikacja pr

ą

dów zmiennych

3

Pr

ą

d przemienny

Przykłady pr

ą

dów

Pr

ą

d nieokresowy

4

Pr

ą

d przemienny

Przykłady pr

ą

dów

Pr

ą

dy okresowe

przemienny

t

ę

tni

ą

cy

t

T

t

i

t

i

T

∀

+

=

∃

)

(

)

(

:

Pr

ą

d okresowy

Pr

ą

d przemienny

0

)

(

0

=

∫

T

dt

t

i

5

Pr

ą

d przemienny

Przykłady pr

ą

dów

Pr

ą

dy okresowe

sinusoidalny

odkształcony

Pr

ą

d sinusoidalny

Pr

ą

d odkształcony

)

sin(

)

(

ϕ

+

ω

=

t

I

t

i

m

∑

∞

=

ϕ

+

ω

=

1

)

sin(

)

(

k

k

k

k

m

t

I

t

i

6

Pr

ą

d przemienny

Ź

ródło napi

ę

cia przemiennego

Strumie

ń

przenikaj

ą

cy obwód w

poło

ż

eniu poziomym

d

l

B

m

=

Φ

Strumie

ń

przenikaj

ą

cy obwód w

poło

ż

eniu dowolnym

)

cos(

cos

ϕ

+

ω

Φ

=

α

Φ

=

Φ

t

m

m

Zgodnie z prawem indukcji elektromagnetycznej siła elektromotoryczna
indukowana w obwodzie

)

sin(

)

sin(

ϕ

+

ω

=

ϕ

+

ω

ω

Φ

=

Φ

=

t

E

t

dt

d

e

m

m

7

Pr

ą

d przemienny

Wielko

ś

ci charakteryzuj

ą

ce pr

ą

d przemienny

Okres:

Cz

ę

stotliwo

ść

:

Pulsacja (cz

ę

stotliwo

ść

k

ą

towa):

Faza chwilowa:

Faza pocz

ą

tkowa:

[s]

T

[Hz]

1

T

f

=

[rad/s]

2

2

T

f

π

=

π

=

ω

ϕ

+

ω

=

ϕ

t

t)

(

ϕ

)

sin(

)

(

ϕ

+

ω

=

t

I

t

i

m

8

Pr

ą

d przemienny

Warto

ść

skuteczna pr

ą

du lub napi

ę

cia

Warto

ść

równowa

ż

nego pr

ą

du stałego, przy którym wydzielana jest ta sama

ilo

ść

ciepła, co przy pr

ą

dzie okresowym nazywamy warto

ś

ci

ą

skuteczn

ą

Wydzielana energia dla pr

ą

dów okresowych

∫

=

T

dt

t

i

R

W

0

2

)

(

Wydzielana energia dla pr

ą

du stałego

T

I

R

W

2

=

∫

=

T

dt

t

i

R

T

I

R

0

2

2

)

(

∫

=

T

dt

t

i

T

I

0

2

)

(

1

∫

=

T

dt

t

u

T

U

0

2

)

(

1

Warto

ść

skuteczna

pr

ą

du

Warto

ść

skuteczna

napi

ę

cia

9

Pr

ą

d przemienny

Warto

ść

skuteczna sygnałów sinusoidalnych

2

2

1

)

2

2

cos(

1

(

2

1

)

sin(

)

(

2

0

2

0

2

0

2

2

0

2

T

I

dt

I

dt

t

I

dt

t

I

dt

t

i

m

T

m

T

m

T

m

T

=

=

ϕ

+

ω

−

=

=

ϕ

+

ω

=

∫

∫

∫

∫

2

1

2

T

I

T

I

m

=

m

m

I

I

I

707

,

0

2

2

=

=

m

m

U

U

U

707

,

0

2

2

=

=

Warto

ść

skuteczna

pr

ą

du

Warto

ść

skuteczna

napi

ę

cia

)

2

cos

1

(

2

1

sin

2

α

−

=

α

10

Pr

ą

d przemienny

Warto

ść

szczytowa pr

ą

du (amplituda)

)

(

max

]

,

0

[

t

i

I

T

t

m

∈

=

Warto

ść

szczytowa pr

ą

du okresowego

Warto

ść

szczytowa pr

ą

du sinusoidalnego

I

I

m

2

=

11

Pr

ą

d przemienny

Warto

ść ś

rednia pr

ą

du

∫

=

T

ś

r

dt

t

i

T

I

0

)

(

1

Warto

ść ś

rednia pr

ą

du okresowego

Warto

ść ś

rednia pr

ą

du sinusoidalnego

(przemiennego)

0

=

ś

r

I

12

Pr

ą

d przemienny

Warto

ść ś

rednia półokresowa

m

m

m

T

m

T

T

I

T

I

T

I

T

t

I

T

dt

t

T

dt

t

i

T

I

π

=

⋅

π

⋅

=













−

−

ω

−

⋅

=

















ω

ω

−

⋅

=

ω

=

=

∫

∫

2

2

/

2

2

)

1

1

(

2

cos

2

sin

2

)

(

2

/

1

2

/

0

2

/

0

2

/

0

13

Pr

ą

d przemienny

Faza pocz

ą

tkowa, synchronizm, przesuni

ę

cie fazowe

Faza pocz

ą

tkowa

)

sin(

)

(

1

1

1

ϕ

+

ω

=

t

U

t

u

m

ϕ

=

ϕ

+

ω

=

ϕ

→

0

)

0

(

t

t

)

sin(

)

(

2

2

2

ϕ

+

ω

=

t

U

t

u

m

Je

ś

li to mówimy,

ż

e

przebiegi s

ą

synchroniczne

2

1

ϕ

=

ϕ

2

1

ϕ

−

ϕ

Ró

ż

nic

ę

nazywamy

przesuni

ę

ciem fazowym

przebiegów sinusoidalnych

Napi

ę

cie u

2

wyprzedza w fazie napi

ę

cie u

1

Napi

ę

cie u

1

opó

ź

nia si

ę

w fazie wzgl

ę

dem

napi

ę

cia u

2

14

Pr

ą

d przemienny

Przedstawienie sygnałów sinusoidalnych za pomoc

ą

wektorów

Rozwa

ż

my wektor wiruj

ą

cy wokół

ś

rodka

układu współrz

ę

dnych z pr

ę

dko

ś

ci

ą

obrotow

ą

ω

m

U

ϕ

długo

ść

wektora

faza pocz

ą

tkowa wektora

15

Pr

ą

d przemienny

Przedstawienie sygnałów sinusoidalnych za pomoc

ą

wektorów

Rzut wektora na o

ś

współrz

ę

dnych Y jest

równy

)

sin(

)

(

sin

ϕ

+

ω

=

ϕ

t

U

t

U

m

m

Sygnał sinusoidalny mo

ż

emy

uto

ż

samia

ć

z wiruj

ą

cym wektorem o

odpowiedniej amplitudzie i fazie

16

Pr

ą

d przemienny

Przedstawienie sygnałów sinusoidalnych za pomoc

ą

wektorów

)

sin(

)

(

1

1

1

ϕ

+

ω

=

t

U

t

u

m

)

sin(

)

(

2

2

2

ϕ

+

ω

=

t

U

t

u

m

17

Pr

ą

d przemienny

Dodawanie przebiegów sinusoidalnych

)

sin(

)

(

1

1

1

ϕ

+

ω

=

t

U

t

u

m

)

sin(

)

(

2

2

2

ϕ

+

ω

=

t

U

t

u

m

Suma przebiegów

)

sin(

)

sin(

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

2

1

ϕ

+

ω

+

ϕ

+

ω

=

=

+

=

t

U

t

U

t

u

t

u

t

u

m

m

Suma rzutów wiruj

ą

cych wektorów jest równa

rzutowi sumy wektorów. Wynika z tego,

ż

e

sygnały sinusoidalne mo

ż

emy dodawa

ć

wektorowo

18

Pr

ą

d przemienny

Dodawanie przebiegów sinusoidalnych

Współrz

ę

dne wektorów

)

sin

,

cos

(

)

,

(

1

1

1

1

1

1

1

ϕ

ϕ

=

=

m

m

y

x

U

U

U

U

U

r

)

sin

,

cos

(

)

,

(

2

2

2

2

2

2

2

ϕ

ϕ

=

=

m

m

y

x

U

U

U

U

U

r

Po zsumowaniu

)

sin

sin

,

cos

cos

(

)

,

(

2

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

ϕ

ϕ

ϕ

+

ϕ

=

+

+

=

+

=

m

m

m

m

y

y

x

x

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

r

r

r

)

cos(

2

)

sin

sin

(

)

cos

cos

(

2

1

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

1

2

2

2

1

1

ϕ

−

ϕ

+

+

=

ϕ

ϕ

+

ϕ

+

ϕ

=

=

m

m

m

m

m

m

m

m

m

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

r

Amplituda

Faza

2

2

1

1

2

2

1

1

cos

cos

)

sin

sin

tan

ϕ

+

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

ϕ

m

m

m

m

x

y

U

U

U

U

U

U

19

Pr

ą

d przemienny

Analiza obwodów zawieraj

ą

ce element R, L, C

Elementy bierne idealne

Elementy bierne rzeczywiste

Obwody z elementami skupionymi, to obwody
w których długo

ść

fali elektromagnetycznej

zwi

ą

zanej z rozprzestrzenianiem si

ę

sygnałów

jest du

ż

a w stosunku do wymiarów obwodów

20

Pr

ą

d przemienny

Analiza obwodów zawieraj

ą

ce element R, L, C

Rezystor idealny

i

R

u

=

)

sin(

)

(

ϕ

+

ω

=

t

R

I

t

u

m

)

sin(

)

(

ϕ

+

ω

=

t

I

t

i

m

m

m

I

R

U

=

I

R

U

=

dla warto

ś

ci szczytowych

dla warto

ś

ci skutecznych

21

Pr

ą

d przemienny

Analiza obwodów zawieraj

ą

ce element R, L, C

Cewka idealna

)

sin(

)

(

ϕ

+

ω

=

t

I

t

i

m

dt

di

L

u

=

)

2

/

sin(

)

cos(

π

+

ϕ

+

ω

ω

=

ϕ

+

ω

ω

=

=

t

LI

t

LI

dt

di

L

u

m

m

m

L

m

m

I

X

I

L

U

=

ω

=

I

X

I

L

U

L

=

ω

=

dla warto

ś

ci szczytowych

dla warto

ś

ci skutecznych

Ω

=

ω

=

]

[

,

L

L

X

L

X

reaktancja indukcyjna

Napi

ę

cie na cewce wyprzedza

pr

ą

d o

π

/2

)

2

/

sin(

cos

π

+

α

=

α

22

Pr

ą

d przemienny

Analiza obwodów zawieraj

ą

ce element R, L, C

Idealny kondensator

∫

=

=

dt

i

C

u

dt

du

C

i

1

,

)

sin(

)

(

ϕ

+

ω

=

t

U

t

u

m

)

2

/

sin(

)

cos(

π

+

ϕ

+

ω

ω

=

ϕ

+

ω

ω

=

=

t

LU

t

CU

dt

du

C

i

m

m

m

C

m

m

I

X

I

C

U

=

ω

=

1

I

X

I

C

U

C

=

ω

=

1

dla warto

ś

ci szczytowych

dla warto

ś

ci skutecznych

Ω

=

ω

=

]

[

,

1

C

C

X

C

X

reaktancja
pojemno

ś

ciowa

Pr

ą

d płyn

ą

cy przez

kondensator wyprzedza
napi

ę

cie o

π

/2

)

2

/

sin(

cos

π

+

α

=

α

23

Pr

ą

d przemienny

Dwójnik szeregowy R, L, C

I

R

U

R

=

I

X

I

L

U

L

L

=

ω

=

I

X

I

C

U

C

C

=

ω

=

1

(

)

I

Z

I

X

X

X

R

I

C

L

R

U

U

U

U

C

L

C

L

R

=

−

+

=













ω

−

ω

+

=

−

+

=

2

2

2

2

2

2

1

)

(

43

42

1

24

Pr

ą

d przemienny

Dwójnik szeregowy R, L, C

2

2

1













ω

−

ω

+

=

C

L

R

Z

impedancja dwójnika,
opór pozorny

C

L

X

ω

−

ω

=

1

reaktancja dwójnika,
opór bierny

R

rezystancja dwójnika,
opór czynny

I

Z

U

=

m

m

I

Z

U

=

dla warto

ś

ci szczytowych

dla warto

ś

ci skutecznych

R

C

L

R

X

ω

−

ω

=

=

ϕ

1

arctan

arctan

25

Pr

ą

d przemienny

Dwójnik szeregowy R, L, C

0

>

X

k

ą

t fazowy dodatni, obwód ma

charakter indukcyjny

0

<

X

k

ą

t fazowy ujemny, obwód ma

charakter pojemno

ś

ciowy

0

=

X

k

ą

t fazowy równy zeru, obwód ma

charakter rezystancyjny

Trójk

ą

t impedancji

R

X

Z

26

Pr

ą

d przemienny

Dwójnik równoległy R, L, C

)

sin(

)

(

ϕ

+

ω

=

t

U

t

u

m

)

sin(

1

)

(

ϕ

+

ω

=

t

U

R

t

i

m

R

)

sin(

)

(

ϕ

+

ω

ω

=

t

U

C

t

i

m

C

)

2

/

sin(

1

)

2

/

sin(

1

)

(

π

+

ϕ

+

ω

ω

−

=

π

−

ϕ

+

ω

ω

=

t

U

L

t

U

L

t

i

m

m

L

27

Pr

ą

d przemienny

Dwójnik równoległy R, L, C

m

m

m

U

Z

U

L

C

R

I

1

1

1

2

=













ω

−

ω

+

=

2

1

1

1













ω

−

ω

+

=

L

C

R

Z

G

R

=

1

B

B

B

X

X

X

L

C

L

C

=

−

=

−

=

1

1

1

Y

Z

=

1

konduktancja,
przewodno

ść

czynna

susceptacja,
przewodno

ść

bierna

admitancja,
przewodno

ść

pozorna

28

Pr

ą

d przemienny

Dwójnik równoległy R, L, C

2

1

1

1













ω

−

ω

+

=

L

C

R

Z

2

2

)

(

L

C

B

B

G

Y

−

+

=

0

>

B

k

ą

t fazowy ujemny, obwód ma

charakter pojemno

ś

ciowy

0

<

B

k

ą

t fazowy dodatni, obwód ma

charakter indukcyjny

0

=

B

k

ą

t fazowy równy zeru, obwód ma

charakter rezystancyjny

G

B

Y

Trójk

ą

t admitancji

[simens]

S

1

]

[

]

[

]

[

=

=

=

Y

B

G

29

Pr

ą

d przemienny

Moc chwilowa

[

]

)

2

cos(

cos

)

2

cos(

)

cos(

2

1

)

sin(

)

sin(

)

(

i

u

i

u

i

u

m

m

i

u

m

m

t

I

U

I

U

t

I

U

t

t

I

U

t

p

ϕ

+

ϕ

+

ω

−

ϕ

=

ϕ

+

ϕ

+

ω

−

ϕ

−

ϕ

=

ϕ

+

ω

ϕ

+

ω

=

[

]

)

cos(

)

cos(

2

1

sin

sin

β

+

α

−

β

−

α

=

β

α

Cz

ęść

stała

Cz

ęść

przemienna o

warto

ś

ci

ś

rednie zero

30

Pr

ą

d przemienny

Moc czynna, bierna i pozorna

(wat)

W

1

]

[

,

cos

=

ϕ

=

P

I

U

P

moc czynna

(war)

var

1

]

[

,

sin

=

ϕ

=

Q

I

U

Q

amper)

-

(wolto

A

V

1

]

[

,

⋅

=

=

S

I

U

S

moc bierna

moc pozorna

Q>0 odbiornik rezystancyjno-
indukcyjny

Q<0 odbiornik rezystancyjno-
pojemno

ś

ciowy

31

Pr

ą

d przemienny

Poprawa współczynnika mocy

ϕ

=

cos

U

P

I

Pr

ą

d pobierany przez odbiornik o mocy

czynnej P

Straty mocy na rezystancji przewodów

ϕ

=

=

∆

2

2

2

2

cos

U

P

R

I

R

P

p

p

Warunek całkowitej kompensacji
współczynnika mocy

C

L

X

X

=

L

L

X

U

I

U

Q

2

=

=

2

2

U

Q

C

Q

U

X

C

ω

=

⇒

=