3. PARAMETRY SYGNAŁÓW ELEKTRYCZNYCH

3.1. Parametry napięcia przemiennego

Napięcie jest jedną z podstawowych wielkości, charakteryzujących
obwody elektryczne i elektroniczne. Ze względu na zmienność w cza-
sie napięcia dzielimy na stałe i zmienne. Napięcie, którego przebieg w
funkcji czasu zmienia się zgodnie z zależnością:

u (t) = u( t + nT )

(3.1)

gdzie:

t – bieżący czas;
n – liczba całkowita;
T – okres rozpatrywanego napięcia;

nazywamy napięciem okresowo zmiennym. Napięcia okresowe dzielą
się na napięcia tętniące i przemienne. Szczególnym przypadkiem na-
pięcia przemiennego jest napięcie sinusoidalne.

Okres T – to czas, w ciągu którego, nastąpił jeden cykl zmian

przebiegu:









2

T

(3.2)

Okres napięcia sinusoidalnego to czas T (mierzony w jednostkach

czasu, tj. w sekundach i jednostkach pochodnych); okres funkcji sinus
to kąt pełny



2

(mierzony w jednostkach kątów, tj. w radianach albo

w stopniach), stąd konieczny jest współczynnik przeliczeniowy



(mierzony w radianach na sekundę).

Nosi on nazwę pulsacji. Jego wartość wynika z zależności:









2

T

(okres funkcji sinus musi odpowiadać okresowi przebiegu).

Stąd:

f

2

T

1

2











(3.3)

Wartość pulsacji przebiegu sinusoidalnego wynika z prędkości

kątowej (też oznaczanej



), z jaką kręci się wirnik prądnicy generują-

cej ten przebieg

1

.

Częstotliwość f – jest określana, jako odwrotność okresu:

T

1

f



.

1

Sprawa jest trochę bardziej skomplikowana, tak jest tylko wtedy, gdy pole

magnetyczne prądnicy ma jedną parę biegunów.

Charakterystycznymi parametrami przebiegu okresowego są:

- wartość chwilowa u = f (t) to wartość napięcia w danej, konkretnej

chwili czasowej; umożliwia ona określenie kształtu przebiegu na-
pięcia lub prądu.

W przypadku przebiegów wolnozmiennych (przy częstotliwościach
zmian nie większych niż ok. 0,1 Hz), jej wartość może być pomierzo-
na za pomocą przyrządów do pomiaru napięcia lub natężenia prądu
stałego.

Wartość chwilową napięcia przemiennego u(t) o kształcie sinuso-

idalnym określamy zależnością:

u(t) = U

m

sin (



t +



)

(3.4)

gdzie: U

m

– amplituda sygnału przemiennego;



- pulsacja;



- faza początkowa.

- wartość maksymalna U

m

- inaczej wartość szczytowa lub ampli-

tuda należy do zbioru wartości chwilowych i określa jej największą
chwilową wartość.

Rozważmy hipotetyczny przebieg napięcia przedstawiony na ry-

sunku 3.1.

Rys. 3.1. Parametry charakteryzujące napięcie przemienne.

Dla takiego przebiegu można zdefiniować następujące parametry na-
pięciowe:

t

U

m-

U

m+

U

U

p-p

T

- amplituda połówki dodatniej, czyli największa z wartości chwi-

lowych przebiegu. Można ją opisać wzorem:

U

m+

= max [u (t)]

- amplituda połówki ujemnej, czyli wartość bezwzględna naj-

mniejszej z wartości chwilowych przebiegu:

U

m-

= min [u (t)]

- wartość międzyszczytowa, definiowana jako suma amplitud po-

łówki dodatniej i ujemnej, co odpowiada podwojonej amplitudzie,
nazywanej napięciem „pik – pik” – U

p-p

lub „szczyt – szczyt”- U

s-s

.

U

p-p

= U

m+

+ U

m-

Warto w tym miejscu zaznaczyć, że dla przebiegów symetrycznych
zachodzi równość:

U

m

= U

m+

= U

m-

= U

p-p

/ 2

Jednocześnie dla przebiegów przemiennych o jednym rodzaju polary-
zacji (albo dodatnich albo ujemnych) nie definiuje się parametrów U

m+

i U

m

, zachodzi jednak równość:

U

m

= U

p-p

(3.5)

- Wartość średnia (average), którą generalnie definiuje się dla prą-

du przemiennego, jako taką jego wartość, która w tym samym cza-
sie równym okresowi napięcia przemiennego w tym samym obwo-
dzie przeniesie tę samą ilość ładunku elektrycznego, co prąd stały o
tej samej wartości.

Zakładając, że obwód jest zamknięty, definicję tę można uogólnić
także dla napięcia przemiennego. Definicję tę można zapisać w sposób
następujący:







T

dt

t

i

T

I

0

)

(

(3.6)

dt

T

R

t

u

T

R

U







0

)

(

(3.7)







T

śr

U

dt

t

u

T

U

0

)

(

1

(3.8)

Wartość średnia napięcia jest średnią arytmetyczną przebiegu.

Wartość średnia całookresowa przebiegu przemiennego (np. sinusoi-
dalnego) jest równa zeru, bowiem taki sam ładunek elektryczny prze-
płynie w kierunku dodatnim w ciągu jednej połowy okresu, jaki w
ciągu drugiej połowy w kierunku ujemnym. Dlatego uśrednienie prze-
biegów przemiennych ogranicza się do połowy okresu:

U

śr

=

T

2



2

0

T/

u(t)dt

Dla przebiegu sinusoidalnego:

u ( t ) = U

m

sin



t

wartość średnia wyniesie:

U

śr

=



2

U

m

= 0,637 U

m

Wartości średnie mają znaczenie przy rozpatrywaniu procesów

prostowania prądu przemiennego na prąd tętniący, m.in. w przetwor-
nikach pomiarowych. Mierniki magnetoelektryczne prostownikowe
najczęściej mierzą wartości średnie.

- wartość średnia jednopołówkowa U

śrI

dla sygnałów przemien-

nych:





2

0

)

(

1

T

dt

t

u

T

śrI

U

(3.9)

- wartość średnia dwupołówkowa U

śrII

dla sygnałów przemien-

nych:





2

0

)

(

2

T

dt

t

u

T

śrII

U

(3.10)

Wzór ten jest słuszny tylko w tych przypadkach, w których czas trwa-
nia połówki dodatniej jest równy czasowi połówki ujemnej oraz gdy
obydwie połówki mają ten sam kształt.
W innym przypadku należy korzystać ze wzoru:





T

dt

t

u

T

śrII

U

0

)

(

1

(3.11)

Łatwo zauważyć, że dla przebiegów symetrycznych przemiennych
spełniona jest zależność:

U

śrII

= 2 U

śrI

a wyrażenia 3.10 i 3.11 są równoważne.

Graficzną ilustrację wartości średniej wyprostowanej przedstawia

rysunek 3.2. Można ją zinterpretować jako wysokość prostokąta o
podstawie równej okresowi sygnału przemiennego i polu równym polu
pod krzywą opisującą przebieg wyprostowany.

Dla przebiegu sinusoidalnie zmiennego wartość średnia przebiegu

wyprostowanego (dwu- lub jednopołówkowo) jest różna od zera i
wynosi:





m

m

m

m

p

d

śr

U

U

t

U

t

d

t

U

U



















2

)

1

(

)

1

(

)

cos(

(

)

sin(

2

2

1

0

0

.)

.

(

































m

m

m

m

p

j

śr

U

U

t

U

t

d

t

U

U



















1

)

1

(

)

1

(

2

)

cos(

(

2

)

sin(

2

1

0

0

.)

.

(





























Rys. 3.2. Graficzna interpretacja wartości średniej wyprostowanej:

a) jednopołówkowo, b) dwupołówkowo,

c) wartości charakteryzujące sygnał przemienny we wspólnym ukła-

dzie współrzędnych.

- Wartość skuteczna (effective) sygnału okresowego o okresie T,

jest to wartość równoważnego napięcia stałego, które na rezystorze
R, w tym samym czasie, równym okresowi lub całkowitej krotności

t

U

m-

U

m

+

U

U

pp

T

u(t
)

U

śrI

U

sk

T/2

S

1

S’

S

1

= S’

t

U

m-

U

m

+

U

U

pp

T

u(t
)

U

śrII

U

sk

T/2

S

2

S

1

S”

S

1

+S

2

= S”

a)

t

U

m-

U

m

+

U

U

pp

T

u(t
)

U

śr

= 0

U

sk

U

śrII

=2U

śrI

U

śrI

T/2

c)

b)

okresu napięcia zmiennego spowoduje wydzielenie takiej samej
mocy, co napięcie zmienne.

Jest to więc wartość określająca parametry energetyczne przebie-

gu. Oznaczana jest ona jako U lub U

SK

.

Zakładając, że obwód jest zamknięty można zapisać:











T

dt

t

i

R

T

R

I

0

)

(

2

2

(3.12)







T

dt

R

t

u

T

R

U

0

)

(

2

2

(3.13)







T

dt

t

u

T

sk

U

U

0

)

(

2

1

(3.14)

Warto zauważyć, że podane definicje są prawdziwe tylko dla sygna-
łów okresowych, tzn. spełniających zależność:

)

(

)

(

T

t

u

t

u

t







gdzie:

- u(t) - wartość chwilowa napięcia zdeterminowanego (sygnał nie-

losowy).

Wartość skuteczna napięcia zawierającego składowe harmoniczne

wynosi:

2

2

1

2

0

.....

n

U

U

U

U









(3.15)

gdzie: U

o

- składowa stała;

U

1

... U

n

- wartości skuteczne kolejnych harmonicznych.

Dla napięcia sinusoidalnego wartość skuteczna jest równa:

m

m

U

,

U

U

707

0

2





(3.16)

Wartości skuteczne mierzą bezpośrednio m.in. przetworniki po-

miarowe elektromagnetyczne, elektrodynamiczne, RMS oraz termoe-
lektryczne.

- współczynnik kształtu k

k

- określony stosunkiem wartości sku-

tecznej do wartości średniej tego przebiegu. Dla przebiegu sinusoi-
dalnego posiada wartość:

2

2

2

2

Π

Π

U

U

U

U

k

m

m

śr

k







= 1,11

(3.17)

Współczynnik ten zawiera informację, w jakim stopniu rozpatry-

wany przebieg różni się od przebiegu prostokątnego. Dla przebiegu
prostokątnego k

k

= 1, ponieważ wartość skuteczna tego sygnału jest

równa jego wartości średniej, a dla przebiegu trójkątnego k

k

= 1,155.

Jeśli przetwornik mierzy napięcie średnie, to jego wartość prze-

mnożona przez współczynnik kształtu daje wartość skuteczną napię-
cia.

- współczynnik amplitudy (szczytu) k

a

- stosunek wartości maksy-

malnej do wartości skutecznej sygnału:

U

U

k

m

a



Przykładowe wartości współczynników amplitudy

wynoszą:

k

a

= 1

dla przebiegu prostokątnego;

k

a

=

2

dla przebiegu sinusoidalnego;

k

a

=

3

dla przebiegu trójkątnego.

- współczynnik uśredniania k

u

– to stosunek wartości maksymalnej

do wartości średniej dwupołówkowej i zapisujemy:

śrII

U

m

U

u

k



(3.18)

- współczynnik wypełnienia D:

D = t

i

/ T

(3.19)

gdzie:

t

i

- czas trwania impulsu.

Dla przebiegu prostokątnego D = 0,5.

W tabeli 3.1 przedstawione zostały niektóre wartości wyżej wy-

mienionych parametrów dla sygnałów o wybranych kształtach.

Tabela 3.1

Kształt

napięcia

Zapis matematyczny

k

k

k

a

k

u

Sinus

t

m

U

t

u



sin

)

(



4

2



2

2



Trójkąt

m

U

T

m

U

t

t

u









2

)

(

3

3

2

3

2

Prostokąt























T

T

t

m

U

T

t

m

U

t

u

;

2

(

,

2

;

0

(

,

)

(

1

1

1

- współczynnik zawartości harmonicznych, inaczej zwany też

współczynnikiem zniekształceń h, jest określony stosunkiem su-
my wartości skutecznych wyższych harmonicznych (n = 2, 3 ...) do
wartości skutecznej pierwszej harmonicznej U

1

:

1

2

2

U

U

h

k

k









(3.20)

Najczęściej mierzoną wartością jest wartość skuteczna, natomiast

przebiegiem wzorcującym podziałki mierników jest przebieg sinusoi-
dalny.

Podczas pomiarów miernikami np. z prostownikami wartości

średniej, sygnałów o kształtach różniących się od sinusoidy, występują
dodatkowe błędy



k

pomiaru, zależne od kształtu krzywej mierzonego

przebiegu:



k

=

k x

k x

k

k

k

k



sin

=

k x

k x

k

k



11

,

1

(3.21)

gdzie:
-



k

- względny błąd pomiaru napięć odkształconych, miernikiem

wzorcowanym przebiegiem sinusoidalnym;

- k

kx

- współczynnik kształtu mierzonego przebiegu odkształconego;

- k

ksin

- współczynnik kształtu przebiegu sinusoidalnego (k

ksin

=1,11).

W przypadku mierników z prostownikiem wartości szczytowej

istotnym staje się współczynnik amplitudy (szczytu) k

a

. Błąd pomiaru

takim miernikiem napięć niesinusoidalnych wynosi:



a

=

sin

sin

a

a

ax

k

k

k



=

2

ax

k

- 1

(3.22)

gdzie:

k

ax

- współczynnik amplitudy ( szczytu ) mierzonego napięcia,

k

asin

- współczynnik amplitudy przebiegu sinusoidalnego.

Wspomniane błędy są błędami systematycznymi i powinny być

wyeliminowane z wyniku pomiaru w postaci poprawek.

Natomiast wartość błędu względnego



d

U wynikającego z kształ-

tu sygnału określamy z zależności:

U

z

- U

p



d

U = ---------- 100 %

(3.23)

U

p

gdzie:

- U

p

- wartość napięcia zmierzona przyrządem cyfrowym (najbar-

dziej zbliżona do poprawnej);

- U

z

- wartość napięcia zmierzona innym miernikiem.