Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

1/6

5.4. Przemiana izobaryczna

Przemiana przy stałym ciśnieniu, czyli izobaryczna jest przemianą politropową

o wykładniku m = 0, gdyż

pv

m

=pv

0

=p= const.

Przemiana ta zachodzi, gdy ogrzewa się gaz zamknięty w cylindrze tłokiem, stale jednakowo

obciążonym, więc np. własnym ciężarem lub ciężarem dodatkowym. Przez ogrzewanie gaz

zwiększa swą objętość i tłok unosi się. Przy oziębianiu gaz będzie się kurczył, więc tłok będzie

opadać.

Krzywa przemiany izobarycznej nazywana izobarą jest przedstawiona na rys. 5.4.1

w układzie p – v i T – s.

Rys. 5.4.1. Przemiana izobaryczna na wykresie p – v i T – s
la

1,2

– praca absolutna, q

1,2

- ciepło, u

1,2

– przyrost energii wewnętrznej,

i

1,2

– przyrost entalpii, e

1,2

– energia przetłaczania

Parametry stanu w przemianie izobarycznej zmieniają się według zależności

Praca absolutna przemiany wynosi













2

1

1

2

2

,

1

)

(

v

v

p

dv

p

l

a

Praca techniczna wynosi











2

1

2

,

1

0

dp

v

l

t

Zgodnie z definicją, ciepło przemiany wynosi

2

1

2

1

T

T

v

v



Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

2/6

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

q





Wobec tego, że dla przemiany izobarycznej wykładnik politropy m = 0 ciepło właściwe c tej

przemiany wynosi

p

v

v

c

c

k

m

k

m

c

c













1

)

(

A zatem, ciepło dostarczone bądź odebrane w przemianie izobarycznej można przedstawić

zależnością





1

2

2

,

1

T

T

c

q

p







Wobec tego, że w przemianie izobarycznej l

t1,2

=0, z równania pierwszej zasady termodynamiki

w postaci

2

,

1

2

,

1

2

,

1

t

l

q

i





wynika, że dostarczone ciepło jest równe przyrostowi entalpii czynnika.

2

,

1

2

,

1

i

q



Przyrost entropii można wyznaczyć z definicji entropii:

T

dq

ds



Dla przemiany izobarycznej dq = c

p

·dT, a zatem

1

2

2

1

2

1

2

,

1

ln

T

T

c

T

dT

c

T

dq

s

p

p











Przyrost energii wewnętrznej, zgodnie z definicją wynosi

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

u

v





Przyrost entalpii, zgodnie z definicją wynosi

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

i

p





5.5. Przemiana izochoryczna

Przemiana przy stałej objętości czyli izochoryczna zachodzi wówczas, gdy mimo zmian

temperatury i ciśnienia oraz mimo doprowadzania i odprowadzania ciepła objętość gazu

zamkniętego w naczyniu nie ulega zmianie. Przemiana izochoryczna (v = const.) jest przemianą

politropową o wykładniku m = ± ∞ .

Krzywa przemiany izochorycznej nosi nazwę izochory i jest przedstawiona na rys. 5.5.1

w układzie p – v i T – s. Parametry stanu gazu w tej przemianie zmieniają się zgodnie z równaniem

2

1

2

1

T

T

p

p



Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

3/6

Rys. 5.5.1. Przemiana izochoryczna na wykresie p – v i T – s
lt

1,2

– praca techniczna, q

1,2

- ciepło, u

1,2

– przyrost energii wewnętrznej,

i

1,2

– przyrost entalpii, e

1,2

– energia przetłaczania

Praca absolutna przemiany wynosi









2

1

2

,

1

0

dv

p

l

a

Praca techniczna wynosi





















2

1

1

2

2

,

1

p

p

v

dp

v

l

t

Zgodnie z definicją, ciepło przemiany wynosi

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

q





Wobec tego, że dla przemiany izochorycznej c =c

v

, otrzymuje się





1

2

2

,

1

T

T

c

q

v







Wobec tego, że w przemianie izobarycznej l

a1,2

=0, z równania pierwszej zasady termodynamiki

w postaci

2

,

1

2

,

1

2

,

1

a

l

q

u





wynika, że dostarczone ciepło jest równe przyrostowi energii wewnętrznej czynnika.

2

,

1

2

,

1

u

q



Przyrost entropii można wyznaczyć z definicji entropii:

T

dq

ds



Dla przemiany izochorycznej dq = c

v

·dT, a zatem

1

2

2

1

2

1

2

,

1

ln

T

T

c

T

dT

c

T

dq

s

v

v











Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

4/6

Przyrost energii wewnętrznej, zgodnie z definicją wynosi

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

u

v





Przyrost entalpii, zgodnie z definicją wynosi

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

i

p





5.6. Przemiana izotermiczna

Przemiana przy stałej temperaturze czyli izotermiczna (T = const.) jest przemianą

politropową o wykładniku m = 1, a więc

p·v = const.

Jest równocześnie przemianą przy stałej energii wewnętrznej, tj.

u = c

v

·T = const. lub du = c

v

·dt = 0

oraz przemianą przy stałej entalpii, tj.

i = c

p

·T = const. lub di = c

p

·dt = 0

Linia przemiany przestawiającej przemianę o stałej temperaturze nosi nazwę izotermy i jest

przedstawiona na rys. 5.6.1 w układzie p – v i T – s. Parametry stanu gazu w tej przemianie

zmieniają się zgodnie z równaniem

T

R

v

p

v

p











2

2

1

1

Izoterma jest więc na wykresie p – v hiperbolą równoosiową.

Rys. 5.6.1. Przemiana izochoryczna na wykresie p – v i T – s
la

1,2

– praca absolutna, lt

1,2

– praca techniczna, q

1,2

- ciepło

Praca absolutna przemiany wynosi







2

1

2

,

1

dv

p

l

a

Z równania izotermy:

v

v

p

p

v

p

v

p

1

1

1

1













Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

5/6

A zatem

 





2

1

1

2

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

,

1

ln

ln

ln

ln

ln

ln

2

1

p

p

T

R

v

v

T

R

v

v

v

p

v

v

v

p

v

v

p

v

dv

v

p

v

dv

v

p

l

v
v

a



















































2

1

1

2

2

,

1

ln

ln

p

p

T

R

v

v

T

R

l

a













Praca techniczna wynosi









2

1

dp

v

l

t

Z równania izotermy:

p

v

p

v

v

p

v

p

1

1

1

1













A zatem

2

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

1

ln

ln

2

p

p

v

p

p

p

v

p

dp

p

v

p

p

dp

v

p

l

t



































2

,

1

1

2

2

1

2

,

1

ln

ln

a

t

l

v

v

T

R

p

p

T

R

l















Przyrost energii wewnętrznej, zgodnie z definicją wynosi

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

u

v





Ponieważ :

2

1

T

T



przyrost energii wewnętrznej w przemianie izotermicznej:

0

2

,

1



u

Przyrost entalpii, zgodnie z definicją wynosi

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

i

p





Ponieważ :

2

1

T

T



przyrost entalpii w przemianie izotermicznej:

0

2

,

1



i

Ciepło przemiany można wyznaczyć z równania pierwszej zasady termodynamiki. Wobec tego, że

0

2

,

1



u

, z pierwszej postaci równania

Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

6/6

2

,

1

2

,

1

2

,

1

A

l

q

u





wynika

2

,

1

2

,

1

a

l

q



a wobec

0

2

,

1



i

, z drugiej postaci równania

2

,

1

2

,

1

2

,

1

t

l

q

i





wynika

2

,

1

2

,

1

t

l

q



A zatem, w przemianie izotermicznej

2

1

1

2

2

,

1

2

,

1

2

,

1

ln

ln

p

p

T

R

v

v

T

R

l

l

q

t

a

















Przyrost entropii można wyznaczyć z definicji entropii:

T

dq

ds



a zatem:

2

1

1

2

1

2

,

1

2

,

1

ln

ln

p

p

R

v

v

R

T

q

s











5.7. Przemiana izentropowa

Jest to przemiana odbywająca się bez wymiany ciepła z otoczeniem, czyli przemiana

adiabatyczna, w której

dq = 0 oraz q= 0

Warunek ten powiązany ze wzorem definicyjnym na entropię, reprezentuje jednocześnie warunek

stałej entropii

dq = T·ds. = 0

Ponieważ T ≠ 0 to ds = 0, czyli s = const. przemiana przy stałej entropii nazywa się przemianą

izentropową a krzywa przedstawiająca tę przemianę nosi nazwę izentropy. Nie każda jednak

przemiana adiabatyczna jest przemianą izentropową. Równoważność obu przemian odnosi się tylko

do przemian odwracalnych gazu doskonałego bez wymiany ciepła z otoczeniem, gdy w układzie nie

ma wewnętrznych źródeł ciepła wynikłych np. z lepkości.

Pierwsze równanie termodynamiki w odniesieniu do przemiany adiabatycznej przybiera

postać

(5.7.1)

Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

7/6

Z równania

oraz

obliczone c

v

ma wartość

a po wstawieniu tej wartości do równania (5.7.1) otrzymuje się

a po przekształceniu

(5.7.2)

Różniczkując równanie pv=RT , otrzymuje się

p dv + v dp = R dT

i podstawiając do (5.7.2) wartość R dT otrzymuje się

Stąd

lub ostatecznie

Jest to równanie różniczkowe adiabaty. Całkując to równanie przy założeniu, że k = const.

otrzymuje się równanie

lub

skąd

= const.

(5.7.3)

A więc jest to postać przemiany politropowej, dla której m = k.

Adiabata w układzie p – v jest hiperbolą nierównoboczną przebiegającą bardziej stromo niż

izoterma. Jest przedstawiona na rys. 5.7.1 w układzie p – v i T – s.

Korzystając z równania stanu gazu można w równaniu (5.7.3) wyeliminować kolejno jeden

z parametrów i zastąpić go temperaturą. Po dokonaniu przekształceń otrzymuje się równanie

przemiany izentropowej w następujących postaciach

)

1

(

2

2

)

1

(

1

1











k

k

v

T

v

T

k

k

k

k

p

T

p

T











1

2

2

1

1

1

Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

8/6

Rys. 5.7.1. Przemiana izentropowa na wykresie p – v i T – s
la

1,2

– praca absolutna, lt

1,2

– praca techniczna, u

1,2

– przyrost energii wewnętrznej,

i

1,2

– przyrost entalpii, e

1,2

– przyrost energii przetłaczania

Praca absolutna przemiany wynosi







2

1

2

,

1

dv

p

l

a

Z równania izentropy

k

k

k

k

v

v

p

p

v

p

v

p

1

1

1

1































2

1

1

1

2

1

1

1

2

,

1

dv

v

v

p

v

dv

v

p

l

k

k

k

k

a

Wiadomo, że:

1

1

1













n

n

x

dx

x

n

n

A zatem:













1

1

1

2

2

1

1

2

1

1

1

1









































k

k

v

v

k

k

v

v

k

k

v

dv

v

















































2

,.

1

1

2

1

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

2

,

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

u

T

T

c

T

T

k

R

v

p

v

p

k

v

v

p

v

v

p

k

v

v

p

v

v

p

k

v

v

k

v

p

l

v

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

a































































































2

,

1

1

2

2

,

1

1

u

T

T

k

R

l

a











Praca techniczna wynosi









2

1

dp

v

l

t

Przypadki szczególne przemiany politropowej

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

9/6

Zrównania izentropy:

1

1

1

1

1

1

v

p

p

v

v

p

v

p

k

k

k

k













dp

p

v

p

p

dp

v

p

l

k

k

k

k

t





















2

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

























































































k

k

k

k

k

k

k

p

p

k

k

p

p

k

k

p

p

k

k

p

dp

p

1

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1













2

,

1

1

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

2

,

1

)

(

1

1

1

1

1

i

T

T

c

T

T

R

k

k

v

p

v

p

k

k

v

p

v

p

k

k

p

v

p

p

v

p

k

k

p

p

k

k

v

p

l

p

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

t















































































































2

,

1

2

,

1

1

2

2

,

1

1

i

u

k

T

T

k

R

k

l

t



















Ciepło przemiany, zgodnie z definicją:

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

q





Wobec tego, że c =0:

0

2

,

1



q

Przyrost entropii, zgodnie z definicją:

T

dq

ds



Wobec tego, że c =0, q

1,2

=0:

0

2

,

1



s

Przyrost energii wewnętrznej, zgodnie z definicją:

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

u

v





Przyrost entalpii, zgodnie z definicją:

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

i

p



