Zestaw 1

Pojęcia wstępne

Do uzyskania zaliczenia przedmiotu na ocenę 3 konieczne jest opanowanie umiejętności rozwiązy-
wania zadań podobnych do proponowanych poniżej zadań oznaczonych symbolem (Z)

1.1. (Z) Znajdź zbiory Fix((f ) i Per

2

(f ) dla odwzorowania f : R → R danego wzorem:

a) f (x) = −x,

b) f (x) = 2 − |x|,

c) f (x) = 1 − x

2

,

d) f (x) = x

2

+

1
4

.

Jeżeli to możliwe, to zbadaj, czy istnieją punkty stałe o okresach podstawowych większych niż 2.

1.2. (Z) Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej m odwzorowanie Bernoullego

b(x) =















2x

dla x ∈ [0, 1/2),

2x − 1

dla x ∈ [1/2, 1),

0

dla x = 1

ma punkt okresowy o okresie podstawowym m.

1.3. Niech f : X → X i niech x ∈ X będzie punktem okresowym kaskady f o okresie k.

a) Wykaż, że każdy punkt y ∈ O

f

(x) jest punktem okresowym kaskady f o okresie równym k.

b) Wykaż, że dla każdego punktu y ∈ O

f

(x) zachodzi równość O

f

(x) = O

f

(y).

c) Załóżmy, że k jest okresem podstawowym punktu x oraz y ∈ O

f

(x). Czy k jest również

okresem podstawowym punktu y?

1.4. Niech f : X → X i niech x ∈ X. Mówimy, że x jest punktem prestałym (odpowiednio:

preokresowym) kaskady generowanej przez f , jeżeli istnieje taka liczba naturalna C, że f

c

(x) jest

punktem stałym (odpowiednio: okresowym) tej kaskady. W szczególności, punkty stałe (okresowe)
są również punktami prestałymi (preokresowymi). Znajdź wszystkie punkty prestałe i preokresowe
kaskady generowanej przez odwzorowanie g : R → R określone wzorem g(x) := |x − 1|.

1.5. (Z) Dla kaskady generowanej przez odwzorowanie L(x) = 4x(1 − x), gdzie x ∈ R, znajdź

wszystkie punkty stałe i punkty 2-okresowe. Czy istnieją punkty 3-okresowe?