Pojęcia wstępne
Do uzyskania zaliczenia przedmiotu na ocenę 3 konieczne jest opanowanie umiejętności rozwiązy-wania zadań podobnych do proponowanych poniżej zadań oznaczonych symbolem (Z) 1.1. (Z) Znajdź zbiory Fix(( f ) i Per2( f ) dla odwzorowania f : R → R danego wzorem: a) f ( x) = −x,
b) f ( x) = 2 − |x|,
c) f ( x) = 1 − x 2,
d) f ( x) = x 2 + 1 .
4
Jeżeli to możliwe, to zbadaj, czy istnieją punkty stałe o okresach podstawowych większych niż 2.
1.2. (Z) Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej m odwzorowanie Bernoullego
2 x
dla x ∈ [0 , 1 / 2) ,
b( x) =
2 x − 1
dla x ∈ [1 / 2 , 1) ,
0
dla x = 1
ma punkt okresowy o okresie podstawowym m.
1.3. Niech f : X → X i niech x ∈ X będzie punktem okresowym kaskady f o okresie k.
a) Wykaż, że każdy punkt y ∈ Of ( x) jest punktem okresowym kaskady f o okresie równym k.
b) Wykaż, że dla każdego punktu y ∈ Of ( x) zachodzi równość Of ( x) = Of ( y).
c) Załóżmy, że k jest okresem podstawowym punktu x oraz y ∈ Of ( x). Czy k jest również okresem podstawowym punktu y?
1.4. Niech f : X → X i niech x ∈ X. Mówimy, że x jest punktem prestałym (odpowiednio: preokresowym) kaskady generowanej przez f , jeżeli istnieje taka liczba naturalna C, że f c( x) jest punktem stałym (odpowiednio: okresowym) tej kaskady. W szczególności, punkty stałe (okresowe) są również punktami prestałymi (preokresowymi). Znajdź wszystkie punkty prestałe i preokresowe kaskady generowanej przez odwzorowanie g : R → R określone wzorem g( x) := |x − 1 |.
1.5. (Z) Dla kaskady generowanej przez odwzorowanie L( x) = 4 x(1 − x), gdzie x ∈ R, znajdź
wszystkie punkty stałe i punkty 2-okresowe. Czy istnieją punkty 3-okresowe?