Drgania układu
o wielu stopniu swobody
1
Drgania własne
2
Zasada d’Alamberta
m
m
m
B
B
B
1
1
2
2
3
3
Zasada d’Alemberta: w odniesieniu do konstrukcji, znajdującej
się pod wpływem sił zmiennych w czasie, można stosować
zasady statyki pod warunkiem, że uwzględni się siły
bezwładności.
y
y
y
1
2
3
3
Drgania własne układ o wielu
stopniach swobody
Przemieszczenia poszczególnych mas równają się sumie
m
m
m
B
y
B
y
B
y
1
1
1
2
2
2
3
3
3
Brak siły
wymuszającej drgania
Przemieszczenia poszczególnych mas równają się sumie
przemieszczeń od poszczególnych sił bezwładności:
∑
=
=
−
n
j
j
ij
i
B
y
1
δ
j
j
j
y
m
B
&
&
=
gdzie:
a dla belki powyżej
3
13
2
12
1
11
1
B
B
B
y
δ
δ
δ
+
+
=
−
3
23
2
22
1
21
2
B
B
B
y
δ
δ
δ
+
+
=
−
3
33
2
32
1
31
3
B
B
B
y
δ
δ
δ
+
+
=
−
3
3
13
2
2
12
1
1
11
1
y
m
y
m
y
m
y
&
&
&
&
&
&
δ
+
δ
+
δ
=
lub
3
3
23
2
2
22
1
1
21
2
y
m
y
m
y
m
y
&
&
&
&
&
&
δ
+
δ
+
δ
=
3
3
33
2
2
32
1
1
31
3
y
m
y
m
y
m
y
&
&
&
&
&
&
δ
+
δ
+
δ
=
4
Drgania własne układ o wielu
stopniach swobody
Rozwiązanie równania różniczkowego ma formę:
( )
t
A
y
i
i
ω
sin
=
czyli
( )
t
A
y
i
i
ω
ω
sin
2
−
=
&
&
3
3
13
2
2
12
1
1
11
1
y
m
y
m
y
m
y
&
&
&
&
&
&
δ
+
δ
+
δ
=
B
B
B
1
2
3
gdzie
ω
– częstość drgań własnych
( )
( )
( )
( )
t
A
m
t
A
m
t
A
m
t
A
ω
ω
δ
ω
ω
δ
ω
ω
δ
ω
sin
sin
sin
sin
2
3
3
13
2
2
2
12
2
1
1
11
1
+
+
=
3
3
23
2
2
22
1
1
21
2
y
m
y
m
y
m
y
&
&
&
&
&
&
δ
+
δ
+
δ
=
3
3
33
2
2
32
1
1
31
3
y
m
y
m
y
m
y
&
&
&
&
&
&
δ
+
δ
+
δ
=
( )
( )
( )
( )
t
A
m
t
A
m
t
A
m
t
A
ω
ω
δ
ω
ω
δ
ω
ω
δ
ω
sin
sin
sin
sin
2
3
3
23
2
2
2
22
2
1
1
21
2
+
+
=
( )
( )
( )
( )
t
A
m
t
A
m
t
A
m
t
A
ω
ω
δ
ω
ω
δ
ω
ω
δ
ω
sin
sin
sin
sin
2
3
3
33
2
2
2
32
2
1
1
31
3
+
+
=
m
m
m
B
y
y
B
y
1
1
1
2
2
3
3
3
5
Równanie ruchu układu
o kilku stopniach swobody
( )
( )
( )
( )
t
A
m
t
A
m
t
A
m
t
A
ω
ω
δ
ω
ω
δ
ω
ω
δ
ω
sin
sin
sin
sin
2
3
3
13
2
2
2
12
2
1
1
11
1
+
+
=
( )
( )
( )
( )
t
A
m
t
A
m
t
A
m
t
A
ω
ω
δ
ω
ω
δ
ω
ω
δ
ω
sin
sin
sin
sin
2
2
2
+
+
=
m
m
m
B
y
B
y
B
y
1
1
1
2
2
2
3
3
3
Brak siły
wymuszającej drgania
Po przekształceniach układ równań przybiera formę:
( )
( )
( )
( )
t
A
m
t
A
m
t
A
m
t
A
ω
ω
δ
ω
ω
δ
ω
ω
δ
ω
sin
sin
sin
sin
2
3
3
23
2
2
2
22
2
1
1
21
2
+
+
=
( )
( )
( )
( )
t
A
m
t
A
m
t
A
m
t
A
ω
ω
δ
ω
ω
δ
ω
ω
δ
ω
sin
sin
sin
sin
2
3
3
33
2
2
2
32
2
1
1
31
3
+
+
=
3
3
13
2
2
12
1
2
1
11
1
0
A
m
A
m
A
m
δ
δ
ω
δ
+
+
−
=
3
3
23
2
2
2
22
1
1
21
1
0
A
m
A
m
A
m
δ
ω
δ
δ
+
−
+
=
3
2
3
33
2
2
32
1
1
31
1
0
A
m
A
m
A
m
−
+
+
=
ω
δ
δ
δ
6
Wyznaczanie cz
ę
sto
ś
ci drga
ń
własnych
Układ równań opisujący ruch:
3
3
13
2
2
12
1
2
1
11
1
0
A
m
A
m
A
m
δ
δ
ω
δ
+
+
−
=
3
3
23
2
2
22
1
1
21
1
0
A
m
A
m
A
m
δ
δ
δ
+
−
+
=
3
3
23
2
2
2
22
1
1
21
0
A
m
A
m
A
m
δ
ω
δ
δ
+
−
+
=
3
2
3
33
2
2
32
1
1
31
1
0
A
m
A
m
A
m
−
+
+
=
ω
δ
δ
δ
lub
0
1
1
1
3
2
1
2
3
33
2
32
1
31
3
31
2
2
22
1
21
3
13
2
12
2
1
11
=
−
−
−
A
A
A
m
m
m
m
m
m
m
m
m
ω
δ
δ
δ
δ
ω
δ
δ
δ
δ
ω
δ
7
Wyznaczanie cz
ę
sto
ś
ci drga
ń
własnych
Układ równań opisujący ruch:
0
1
1
2
1
3
31
2
2
22
1
21
3
13
2
12
2
1
11
=
−
−
A
A
m
m
m
m
m
m
δ
ω
δ
δ
δ
δ
ω
δ
gdzie:
niewiadomymi są
ω
– częstość drgań własnych [rad/s], A
i
–
amplitudy drgań mas na i –tym stopniu swobody
a znane są m
i
– masy na i –tym stopniu swobody,
δ
ij
–
przemieszczenia na kierunku i wywołane siłą jednostkowych,
działającą na kierunku j
1
3
2
3
33
2
32
1
31
2
−
A
m
m
m
ω
δ
δ
δ
ω
8
Wyznaczanie cz
ę
sto
ś
ci drga
ń
własnych
Rozwiązanie układu równań :
0
1
1
3
13
2
12
2
1
11
=
δ
−
δ
δ
δ
δ
ω
−
δ
m
m
m
m
m
m
0
1
=
A
A
lub
0
1
1
2
3
33
2
32
1
31
3
31
2
2
22
1
21
=
ω
−
δ
δ
δ
δ
ω
−
δ
δ
m
m
m
m
m
m
0
3
2
1
=
A
A
lub
To jest nie prawdą
czyli to musi być równe zero
9
Wyznaczanie cz
ę
sto
ś
ci drga
ń
własnych
Częstości są rozwiązaniem równania jakie powstanie po
policzeniu wyznacznika:
0
1
1
1
3
31
2
2
22
1
21
3
13
2
12
2
1
11
=
−
δ
δ
δ
δ
ω
−
δ
δ
δ
δ
ω
−
δ
m
m
m
m
m
m
m
m
m
1
2
3
33
2
32
1
31
ω
−
δ
δ
δ
m
m
m
0
1
1
1
3
2
33
32
31
31
2
2
22
21
13
12
1
2
11
=
−
−
−
m
m
m
ω
δ
δ
δ
δ
ω
δ
δ
δ
δ
ω
δ
Po podzieleniu kolumn przez m
i
ten wyznacznik wygląda tak:
10
Wyznaczanie amplitud drga
ń
własnych
Amplitud drgań własnych nie można policzyć, natomiast
można policzyć stosunek amplitud. Układ równań:
3
3
13
2
2
12
1
2
1
11
1
0
A
m
A
m
A
m
δ
δ
ω
δ
+
+
−
=
3
3
23
2
2
2
22
1
1
21
1
0
A
m
A
m
A
m
δ
ω
δ
δ
+
−
+
=
ω
3
2
3
33
2
2
32
1
1
31
1
0
A
m
A
m
A
m
−
+
+
=
ω
δ
δ
δ
1
3
3
13
1
2
2
12
2
1
11
1
0
A
A
m
A
A
m
m
δ
+
δ
+
ω
−
δ
=
1
3
3
23
1
2
2
2
22
1
21
1
0
A
A
m
A
A
m
m
δ
+
ω
−
δ
+
δ
=
1
3
2
3
33
1
2
2
32
1
31
1
0
A
A
m
A
A
m
m
ω
−
δ
+
δ
+
δ
=
Dzielimy przez A
1
czyli otrzymujemy:
11
Wyznaczanie amplitud drga
ń
własnych
1
3
3
13
1
2
2
12
2
1
11
1
0
A
A
m
A
A
m
m
δ
+
δ
+
ω
−
δ
=
1
3
3
23
1
2
2
2
22
1
21
1
0
A
A
m
A
A
m
m
δ
+
ω
−
δ
+
δ
=
1
A
A
Układ równań, opisujący amplitudy drgań własnych
Z powyższego układu równań wybieramy dwa równania i wyznaczamy:
1
1
A
A
ω
1
3
2
3
33
1
2
2
32
1
31
1
0
A
A
m
A
A
m
m
ω
−
δ
+
δ
+
δ
=
1
3
1
2
,
A
A
A
A
12
Uwaga: Najczęściej w powyższym układzie równań za A
1
wstawia się 1
i pozostawia się oznaczenia stosunku amplitud do amplitudy A
1
jako A
2
i A
3
Formy drga
ń
własnych
Na podstawie amplitud rysujemy formy drgań własnych:
31
21
11
,
,
a
A
a
A
a
A
=
=
=
ω
11
31
31
11
21
21
11
11
11
,
,
a
a
A
a
a
A
a
a
A
=
=
=
1
ω
2
ω
3
ω
12
32
32
12
22
22
12
12
12
,
,
a
a
A
a
a
A
a
a
A
=
=
=
13
33
33
13
23
23
13
13
13
,
,
a
a
A
a
a
A
a
a
A
=
=
=
13
Ortogonalno
ść
drga
ń
własnych
Amplitudy drgań własnych spełniają warunek ortogonalności
czyli:
0
1
=
∑
=
n
i
ik
ij
i
A
A
m
1
=
i
gdzie m
i
– masy skupione, A
ij
– amplituda drgań masy m
i
przy
częstości
ω
j
, A
ik
– amplituda drgań masy m
i
przy częstości
ω
k
.
A
ij
– pierwszy indeks oznacza kierunek drgania, a drugi
częstość drgań własnych, dla której amplituda (stosunek do
amplitudy A
1j
) została wyznaczona.
Ortogonalność sprawdzamy dla dwóch form drgań własnych.
14
Ortogonalno
ść
drga
ń
własnych
Amplitudy drgań własnych
powinny spełniać warunki
ortogonalności czyli:
dla
ω
1
i
ω
2
1
ω
dla
ω
1
i
ω
2
dla
ω
2
i
ω
3
dla
ω
1
i
ω
3
0
32
31
3
22
21
2
12
11
1
=
+
+
A
A
m
A
A
m
A
A
m
1
ω
2
ω
0
33
32
3
23
22
2
13
12
1
=
+
+
A
A
m
A
A
m
A
A
m
0
33
31
3
23
21
2
13
11
1
=
+
+
A
A
m
A
A
m
A
A
m
15
3
ω
Metody szacowania pierwszej
cz
ę
sto
ś
ci drga
ń
własnych
m
1
W przypadku układu o jednym stopniu częstość drgań
własnych wynosi:
11
1
1
δ
ω
m
=
Metoda Dunkerley’a (lub Geigera):
∑
=
=
n
i
ii
i
D
m
1
1
δ
ω
33
3
22
2
11
1
1
δ
δ
δ
ω
m
m
m
D
+
+
=
lub
Zależność pomiędzy obliczonymi wartościami
1
ω
ω
<
D
16
11
1
δ
m
Metody szacowania pierwszej cz
ę
sto
ś
ci
drga
ń
własnych -
Metoda Rayleigh’a
m
1
m
2
m
3
Położenie równowagi z
maksymalną prędkością i
energią kinetyczną
ω
δ
1
t
y
ω
ω
δ
cos
1
1
=
&
ω
δ
2
ω
δ
3
t
y
ω
ω
δ
cos
2
2
=
&
t
y
ω
ω
δ
cos
3
3
=
&
Funkcje opisujące zmiany prędkości ruchu mas w czasie
a
δ ω
,
δ ω
i
δ ω
s
ą
amplitudami pr
ę
dko
ś
ci, wyst
ę
puj
ą
cymi w poło
ż
eniu
17
δ
1
δ
2
Położenie maksymalnego
wychylenia prędkością
równą zero i maksymalna
energią potencjalną
δ
3
1
1
t
y
ω
δ
sin
1
1
=
t
y
ω
δ
sin
2
2
=
t
y
ω
δ
sin
3
3
=
2
2
Funkcje opisujące przemieszczenia mas w czasie
a
δ
1
ω
,
δ
2
ω
i
δ
3
ω
s
ą
amplitudami pr
ę
dko
ś
ci, wyst
ę
puj
ą
cymi w poło
ż
eniu
równowagi.
a
δ
1
,
δ
2
i
δ
3
s
ą
amplitudami przemieszcze
ń
.
Metody szacowania pierwszej cz
ę
sto
ś
ci
drga
ń
własnych -
Metoda Rayleigh’a
( )
∑
=
=
n
i
i
i
k
m
E
1
2
max
2
1
ω
δ
Energia kinetyczna
m
1
m
2
m
3
ω
δ
1
ω
δ
2
ω
δ
3
Energia potencjalna
∑
n
1
18
δ
1
δ
2
δ
3
∑
=
=
n
i
i
i
p
P
E
1
max
2
1
δ
max
max
p
k
E
E
=
Z zasady zachowania energii mamy
( )
∑
∑
=
=
=
n
i
i
i
n
i
i
i
P
m
1
1
2
δ
ω
δ
∑
∑
=
=
=
n
i
i
i
n
i
i
i
m
P
1
2
1
2
δ
δ
ω
∑
∑
=
=
=
n
i
i
i
n
i
i
i
P
m
1
1
2
2
δ
δ
ω
Metody szacowania pierwszej cz
ę
sto
ś
ci
drga
ń
własnych -
Metoda Rayleigh’a
δ
1
δ
2
δ
3
∑
∑
=
=
=
n
i
i
i
n
i
i
i
m
P
1
2
1
2
δ
δ
ω
gdzie: P
i
– siły, np. ciężary mas, działające na kierunkach stopni
swobody,
δ
– amplitudy przemieszczeń, wyznaczone jako
P
1
P
2
P
3
(
)
1
13
3
12
2
11
1
13
3
12
2
11
1
1
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
g
m
m
m
g
P
P
P
=
+
+
=
+
+
=
19
swobody,
δ
i
– amplitudy przemieszczeń, wyznaczone jako
przemieszczenia wywołane siłami P
i
czyli
1
1
gm
P
=
2
2
gm
P
=
3
3
gm
P
=
(
)
2
23
3
22
2
21
1
23
3
22
2
21
1
2
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
g
m
m
m
g
P
P
P
=
+
+
=
+
+
=
(
)
3
33
3
32
2
31
1
33
3
32
2
31
1
3
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
v
g
m
m
m
g
P
P
P
=
+
+
=
+
+
=
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
ω
δ
δ
δ
δ
ω
>
=
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
m
g
m
g
m
m
g
v
Metody szacowania pierwszej cz
ę
sto
ś
ci
drga
ń
własnych
Metoda Dunkerley’a (lub Geigera):
∑
=
n
ii
i
D
m
1
δ
ω
33
3
22
2
11
1
1
δ
δ
δ
ω
m
m
m
D
+
+
=
lub
2
3
3
2
2
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
δ
δ
δ
δ
δ
δ
ω
m
m
m
m
m
m
R
+
+
+
+
=
∑
∑
=
=
=
n
i
i
i
n
i
i
i
R
m
m
1
2
1
δ
δ
ω
Zależność pomiędzy obliczonymi
wartościami
13
3
12
2
11
1
1
δ
δ
δ
δ
m
m
m
+
+
=
23
3
22
2
21
1
2
δ
δ
δ
δ
m
m
m
+
+
=
33
3
32
2
31
1
3
δ
δ
δ
δ
m
m
m
+
+
=
lub
R
D
ω
<
ω
<
ω
1
gdzie:
20
∑
=
i
ii
i
m
1
δ
33
3
22
2
11
1
δ
δ
δ
m
m
m
+
+
Metoda Rayleigha
Rysowanie form drgań własnych
Podstawowe zasady:
- pierwsza forma (dla pierwszej najniższej częstości) jest
najprostszym odkształceniem, każde wyższa częstość
wiąże się z bardziej skomplikowanym kształtem drgań,
21
wiąże się z bardziej skomplikowanym kształtem drgań,
- pręt nie może się wydłużać czyli węzeł może poruszać
się tylko po linii prostopadłej do pręta,
- kąty pomiędzy prętami w węźle po obrocie węzła
pozostają takie same,
- kąty w drganiach nie są blokowane podporami.
Drgania własne - przykład
EJ=500000Nm
2
3m
3m
m
o
3m
o
2m
o
m
o
=300kg
Dane:
22
4m
2m
2m
4m
2m
3m
2m
3m
m
o
3m
o
2m
o
„1”
„2”
„3”
Stopnie
dynamiczne
Drgania własne - przykład
Stany jednostkowe dla poszczególnych
stopni dynamicznych i przemieszczenia
od sił jednostkowych
Stan „1”
3m
3m
1
EJ
m
3
11
4826
.
1
=
δ
EJ
m
3
21
12
0671
.
0
−
=
=
δ
δ
EJ
m
3
22
1.3485
=
δ
EJ
m
3
31
13
0447
.
0
−
=
=
δ
δ
EJ
m
3
32
23
1490
.
0
=
=
δ
δ
EJ
m
3
33
4327
.
0
=
δ
23
4m
2m
3m
2m
3m
1
4m
2m
2m
4m
2m
3m
2m
3m
Stan „2”
Stan „3”
1
EJ
31
13
−
=
=
δ
δ
EJ
32
23
=
=
δ
δ
EJ
33
=
δ
Drgania własne - przykład
Przemieszczenia od sił jednostkowych
EJ
m
3
11
4826
.
1
=
δ
EJ
m
3
21
12
0671
.
0
−
=
=
δ
δ
EJ
m
3
22
1.3485
=
δ
EJ
m
3
31
13
0447
.
0
−
=
=
δ
δ
EJ
m
3
32
23
1490
.
0
=
=
δ
δ
EJ
m
3
33
4327
.
0
=
δ
3m
3m
m
o
3m
o
2m
o
„1”
„2”
„3”
EJ=500000Nm
2
m
o
=300kg
24
4m
2m
2m
0
1
1
1
3
2
1
2
3
33
2
32
1
31
3
31
2
2
22
1
21
3
13
2
12
2
1
11
=
−
−
−
A
A
A
m
m
m
m
m
m
m
m
m
ω
δ
δ
δ
δ
ω
δ
δ
δ
δ
ω
δ
0
1
2
4327
.
0
3
1490
.
0
0447
.
0
2
1490
.
0
1
3
3485
.
1
0671
.
0
2
0447
.
0
3
0671
.
0
1
4826
.
1
3
2
1
2
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
2
3
=
−
−
−
−
−
−
−
A
A
A
m
EJ
m
m
EJ
m
m
EJ
m
m
EJ
m
m
EJ
m
m
EJ
m
m
EJ
m
m
EJ
m
m
EJ
m
o
o
o
o
o
o
o
o
o
ω
ω
ω
Drgania własne - przykład
0
1
4327
.
0
1490
.
0
0447
.
0
1490
.
0
3
1
3485
.
1
0671
.
0
0447
.
0
0671
.
0
1
4826
.
1
3
3
3
3
2
3
3
3
3
2
3
=
−
−
−
−
−
−
−
ω
ω
o
o
m
m
m
EJ
m
m
EJ
m
EJ
m
EJ
m
EJ
m
m
EJ
m
25
2
2
−
ω
o
m
EJ
EJ
EJ
0
2
4327
.
0
1490
.
0
0447
.
0
1490
.
0
3
3485
.
1
0671
.
0
0447
.
0
0671
.
0
4826
.
1
2
3
3
3
3
2
3
3
3
3
2
3
=
−
−
−
−
−
−
−
ω
ω
ω
o
o
o
m
EJ
m
m
m
m
m
EJ
m
m
m
m
m
EJ
m
Lub po przemnożeniu wyrazów przez EJ
Drgania własne - przykład
3m
3m
m
o
3m
o
2m
o
„1”
„2”
„3”
EJ=500000Nm
2
m
o
=300kg
Po wykonaniu podstawienia
otrzymujemy
2
ω
o
m
EJ
X
=
26
4m
2m
2m
0
2
4327
.
0
1490
.
0
0447
.
0
1490
.
0
3
3485
.
1
0671
.
0
0447
.
0
0671
.
0
4826
.
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
=
−
−
−
−
−
−
−
X
m
m
m
m
X
m
m
m
m
X
m
2
2
2
1
09261
.
4
rad
kg
s
Nm
X
⋅
=
2
2
2
2
4806
.
1
rad
kg
s
Nm
X
⋅
=
2
2
2
3
82029
.
0
rad
kg
s
Nm
X
⋅
=
X
m
EJ
o
=
ω
s
rad
s
rad
18
.
20
09261
.
4
300
500000
1
=
=
⋅
=
ω
s
rad
s
rad
551
.
33
4806
.
1
300
500000
2
=
=
⋅
=
ω
s
rad
s
rad
076
.
45
82029
.
0
300
500000
3
=
=
⋅
=
ω
Wyznaczanie amplitud form drgań własnych -
przykład
Wyznaczenie amplitud drgań
3
3
13
2
2
12
1
2
1
11
1
0
A
m
A
m
A
m
δ
δ
ω
δ
+
+
−
=
3
3
23
2
2
2
22
1
1
21
1
0
A
m
A
m
A
m
δ
ω
δ
δ
+
−
+
=
EJ
m
3
11
4826
.
1
=
δ
EJ
m
3
21
12
0671
.
0
−
=
=
δ
δ
EJ
m
3
22
1.3485
=
δ
EJ
m
3
31
13
0447
.
0
−
=
=
δ
δ
m
3
1490
.
0
27
ω
3
2
3
33
2
2
32
1
1
31
1
0
A
m
A
m
A
m
−
+
+
=
ω
δ
δ
δ
(
)
(
)
o
i
o
i
o
i
i
o
m
EJ
A
EJ
m
m
A
EJ
m
m
A
EJ
m
m
⋅
−
+
−
+
−
=
3
3
2
3
1
2
3
2
0447
.
0
3
0671
.
0
1
4826
.
1
0
ω
Po podstawieniu danych dla
ω
i
EJ
m
3
32
23
1490
.
0
=
=
δ
δ
EJ
m
3
33
4327
.
0
=
δ
o
i
o
i
i
o
i
o
m
EJ
A
EJ
m
m
A
EJ
m
m
A
EJ
m
m
⋅
+
−
+
−
=
3
3
2
2
3
1
3
2
1490
.
0
1
3
3485
.
1
0671
.
0
0
ω
o
i
o
i
o
i
o
m
EJ
A
EJ
m
m
A
EJ
m
m
A
EJ
m
m
⋅
−
+
+
−
=
3
2
3
2
3
1
3
1
2
4327
.
0
3
1490
.
0
0447
.
0
0
ω
Wyznaczanie amplitud form drgań własnych -
przykład
(
) (
)
(
)
31
3
21
3
11
1
3
2
0447
.
0
3
0671
.
0
4826
.
1
0
A
m
A
m
A
X
m
−
+
−
+
−
=
Dla
ω
1
=20.18rad/s i X
1
=4.09261m
3
, i założenie A
11
=1
(
)
31
3
21
1
3
11
3
2
1490
.
0
3
3485
.
1
0671
.
0
0
A
m
A
X
m
A
m
+
−
+
−
=
2
ω
o
m
EJ
X
=
(
)
31
1
3
21
3
11
3
2
4327
.
0
3
1490
.
0
0447
.
0
0
A
X
m
A
m
A
m
−
+
+
−
=
28
A
21
=-12.209, A
31
=-1.705
A
11
A
21
A
31
m
o
3m
o
2m
o
„1”
„2”
„3”
Wyznaczanie amplitud form drgań własnych -
przykład
(
) (
)
(
)
32
3
22
3
12
2
3
2
0447
.
0
3
0671
.
0
4826
.
1
0
A
m
A
m
A
X
m
−
+
−
+
−
=
Dla
ω
2
=33.551rad/s i X
2
=1.4806m
3
i założenie A
12
=1
(
)
32
3
22
2
3
12
3
2
1490
.
0
3
3485
.
1
0671
.
0
0
A
m
A
X
m
A
m
+
−
+
−
=
2
ω
o
m
EJ
X
=
(
)
32
2
3
22
3
12
3
2
4327
.
0
3
1490
.
0
0447
.
0
0
A
X
m
A
m
A
m
−
+
+
−
=
29
A
22
=0.032, A
32
=-0.049
A
12
A
22
A
32
m
o
3m
o
2m
o
„1”
„2”
„3”
Wyznaczanie amplitud form drgań własnych -
przykład
(
) (
)
(
)
33
3
23
3
13
3
3
2
0447
.
0
3
0671
.
0
4826
.
1
0
A
m
A
m
A
X
m
−
+
−
+
−
=
Dla
ω
3
=45.076rad/s i X
3
=0.82029m
3
, i założenie A
13
=1
(
)
33
3
23
3
3
13
3
2
1490
.
0
3
3485
.
1
0671
.
0
0
A
m
A
X
m
A
m
+
−
+
−
=
2
ω
o
m
EJ
X
=
(
)
33
2
3
23
3
13
3
2
4327
.
0
3
1490
.
0
0447
.
0
0
A
X
m
A
m
A
m
−
+
+
−
=
30
A
23
=-0.838, A
33
=9.295
A
13
A
23
A
33
m
o
3m
o
2m
o
„1”
„2”
„3”
Sprawdzenie ortogonalności drgań
A
12
A
22
A
32
A
11
A
21
A
31
A
13
A
23
A
33
31
A
13
=-0.838, A
23
=-0.838,
A
33
=9.295
A
12
=1, A
22
=0.032,
A
32
=-0.049
A
11
=1, A
21
=-12.209,
A
31
=-1.705
m
o
3m
o
2m
o
„1”
„2”
„3”
0
32
31
3
22
21
2
12
11
1
=
+
+
A
A
m
A
A
m
A
A
m
0
33
32
3
23
22
2
13
12
1
=
+
+
A
A
m
A
A
m
A
A
m
0
33
31
3
23
21
2
13
11
1
=
+
+
A
A
m
A
A
m
A
A
m
(
)
(
)
o
o
o
o
m
m
m
m
009
.
0
295
.
9
049
.
0
2
838
.
0
032
.
0
3
1
1
=
⋅
−
⋅
+
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
(
)
(
) (
)
o
o
o
o
m
m
m
m
005
.
0
049
.
0
705
.
1
2
032
.
0
209
.
12
3
1
1
−
=
−
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
(
) (
)
(
)
o
o
o
o
m
m
m
m
003
.
0
295
.
9
705
.
1
2
838
.
0
209
.
12
3
1
1
−
=
⋅
−
⋅
+
−
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
Szacowanie częstości drgań własnych
EJ=500000Nm
2
m
o
=300kg
3m
3m
m
o
3m
o
2m
o
„1”
„2”
„3”
Dane:
EJ
m
3
11
4826
.
1
=
δ
EJ
m
3
21
12
0671
.
0
−
=
=
δ
δ
EJ
m
3
22
1.3485
=
δ
EJ
m
3
31
13
0447
.
0
−
=
=
δ
δ
m
3
32
23
1490
.
0
=
=
δ
δ
m
3
4327
.
0
=
δ
32
4m
2m
2m
EJ
32
23
=
=
δ
δ
EJ
m
33
4327
.
0
=
δ
13
3
12
2
11
1
1
δ
δ
δ
δ
m
m
m
+
+
=
23
3
22
2
21
1
2
δ
δ
δ
δ
m
m
m
+
+
=
33
3
32
2
31
1
3
δ
δ
δ
δ
m
m
m
+
+
=
EJ
m
m
EJ
m
m
EJ
m
m
EJ
m
m
o
o
o
o
3
3
3
3
1
1919
.
1
2
0447
.
0
3
0671
.
0
4826
.
1
=
−
−
=
δ
EJ
m
m
EJ
m
m
EJ
m
m
EJ
m
m
o
o
o
o
3
3
3
3
2
2764
.
4
2
1490
.
0
3
3485
.
1
0671
.
0
=
+
+
−
=
δ
EJ
m
m
EJ
m
m
EJ
m
m
EJ
m
m
o
o
o
o
3
3
3
3
3
2677
.
1
2
4327
.
0
3
1490
.
0
0447
.
0
=
+
+
−
=
δ
Szacowanie częstości drgań własnych
EJ=500000Nm
2
m
o
=300kg
3m
3m
m
o
3m
o
2m
o
„1”
„2”
„3”
Dane:
EJ
m
3
11
4826
.
1
=
δ
EJ
m
3
21
12
0671
.
0
−
=
=
δ
δ
EJ
m
3
22
1.3485
=
δ
EJ
m
3
31
13
0447
.
0
−
=
=
δ
δ
m
3
32
23
1490
.
0
=
=
δ
δ
m
3
4327
.
0
=
δ
33
4m
2m
2m
EJ
32
23
=
=
δ
δ
EJ
m
33
4327
.
0
=
δ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
s
rad
EJ
m
m
m
m
m
m
m
EJ
m
m
m
m
m
m
m
o
o
o
o
o
o
R
536
.
21
2677
.
1
2
2764
.
4
3
1919
.
1
2677
.
1
2
2764
.
4
3
1919
.
1
2
2
3
2
3
0
2
3
3
3
0
3
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
=
ω
(
)
s
rad
kg
m
Nm
m
m
m
m
EJ
o
o
o
D
1456
.
16
300
3935
.
6
500000
4327
.
0
2
3485
.
1
3
4826
.
1
3
2
3
=
⋅
=
+
+
=
ω
EJ
m
m
o
3
1
1919
.
1
=
δ
EJ
m
m
o
3
2
2764
.
4
=
δ
EJ
m
m
o
3
3
2677
.
1
=
δ
R
D
s
rad
ω
ω
<
<
18
.
20
Rysowanie form drgań własnych
Drgania symetryczne i antysymetryczne
34
Drgania wymuszone
35
Zasada d’Alamberta
m
m
m
B
y
B
y
B
S=S sin(pt)
y
1
1
2
2
3
3
o
Zasada d’Alemberta: w odniesieniu do konstrukcji, znajdującej
się pod wpływem sił zmiennych w czasie, można stosować
zasady statyki pod warunkiem, że uwzględni się siły
bezwładności. Dotyczy to zarówno obliczania przemieszczeń
jak i sił wewnętrznych. Do wyznaczenia ekstremalnych sił
wewnętrznych potrzebne są amplitudy sił bezwładności.
36
y
y
y
1
2
3
m
m
m
B
y
B
y
B
S=S sin(pt)
y
1
1
1
2
2
2
3
3
o
3
Drgania wymuszone układu o wielu
stopniach swobody
1
2
Przemieszczenia poszczególnych mas równają się sumie
przemieszczeń od poszczególnych sił bezwładności i siły
wymuszającej :
j
j
j
y
m &
&
=
B
gdzie: k – kierunek przyłożenia siły wymuszającej
37
∑
=
δ
−
δ
=
n
j
j
ij
ik
i
S
y
1
B
Drgania wymuszone układu o wielu
stopniach swobody
Dla belki powyżej
m
m
m
B
y
B
y
B
S=S sin(pt)
y
1
1
1
2
2
2
3
3
o
3
∑
=
δ
−
δ
=
n
j
j
ij
ik
i
S
y
1
B
Dla belki powyżej
38
3
13
2
12
1
11
1
1
B
B
B
δ
+
δ
+
δ
+
δ
−
=
−
S
y
k
3
23
2
22
1
21
2
2
B
B
B
δ
+
δ
+
δ
+
δ
−
=
−
S
y
k
3
33
2
32
1
31
3
3
B
B
B
δ
+
δ
+
δ
+
δ
−
=
−
S
y
k
( )
pt
A
y
i
i
sin
=
Rozwiązanie ma formę
czyli
( )
pt
p
A
y
i
i
sin
2
−
=
&
&
( )
pt
p
A
m
i
i
i
sin
B
2
−
=
Drgania wymuszone układu o wielu
stopniach swobody
Dla belki powyżej
m
m
m
B
y
B
y
B
S=S sin(pt)
y
1
1
1
2
2
2
3
3
o
3
∑
=
δ
+
δ
−
=
−
n
j
j
ij
ik
i
B
S
y
1
2
p
A
m
B
i
i
i
−
=
Dla belki powyżej
39
( )
pt
A
y
i
i
sin
=
Rozwiązanie ma formę
czyli
( )
pt
p
A
y
i
i
sin
2
−
=
&
&
( )
pt
B
i
i
sin
B
−
=
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
pt
pt
p
A
m
pt
p
A
m
pt
p
A
m
pt
S
pt
A
o
k
sin
sin
sin
sin
sin
sin
2
3
3
13
2
2
2
12
2
1
1
11
1
1
δ
δ
δ
δ
+
+
+
=
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
pt
pt
p
A
m
pt
p
A
m
pt
p
A
m
pt
S
pt
A
o
k
sin
sin
sin
sin
sin
sin
2
3
3
23
2
2
2
22
2
1
1
21
2
2
δ
δ
δ
δ
+
+
+
=
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
pt
pt
p
A
m
pt
p
A
m
pt
p
A
m
pt
S
pt
A
o
k
sin
sin
sin
sin
sin
sin
2
3
3
33
2
2
2
32
2
1
1
31
3
3
δ
δ
δ
δ
+
+
+
=
Drgania wymuszone układu o wielu
stopniach swobody
lub z siłami bezwładności
m
m
m
B
y
B
y
B
S=S sin(pt)
y
1
1
1
2
2
2
3
3
o
3
∑
=
δ
+
δ
−
=
−
n
j
j
ij
ik
i
B
S
y
1
2
p
A
m
B
i
i
i
−
=
lub z siłami bezwładności
40
( )
( )
( )
( )
( )
( )
pt
pt
B
pt
B
pt
B
pt
S
pt
p
m
B
o
k
i
sin
sin
sin
sin
sin
sin
3
13
2
12
1
11
1
2
1
δ
+
δ
+
δ
+
δ
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
pt
pt
B
pt
B
pt
B
pt
S
pt
p
m
B
o
k
sin
sin
sin
sin
sin
sin
3
23
2
22
1
21
2
2
2
2
δ
+
δ
+
δ
+
δ
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
pt
pt
B
pt
B
pt
B
pt
S
pt
p
m
B
o
k
sin
sin
sin
sin
sin
sin
3
33
2
32
1
31
3
2
3
3
δ
+
δ
+
δ
+
δ
=
Drgania wymuszone układu o wielu
stopniach swobody
m
m
m
B
y
B
y
B
S=S sin(pt)
y
1
1
1
2
2
2
3
3
o
3
∑
=
+
=
−
n
j
j
ij
ik
i
B
S
y
1
δ
δ
Układ równań, opisujący amplitudy drgań wymuszonych, ma
41
Układ równań, opisujący amplitudy drgań wymuszonych, ma
formę:
(
)
0
1
1
3
2
3
13
2
2
2
12
1
2
1
11
=
δ
+
δ
+
δ
+
−
δ
o
k
S
A
p
m
A
p
m
A
p
m
(
)
0
1
2
3
2
3
23
2
2
2
22
1
2
1
21
=
δ
+
δ
+
−
δ
+
δ
o
k
S
A
p
m
A
p
m
A
p
m
(
)
0
1
3
3
2
3
33
2
2
2
32
1
2
1
31
=
δ
+
−
δ
+
δ
+
δ
o
k
S
A
p
m
A
p
m
A
p
m
gdzie niewiadomymi są amplitudy drgań wymuszonych A
i
,
znane są m
i
– masy na i –tym stopniu swobody,
δ
ij
–
przemieszczenia na kierunku i wywołane siłą jednostkowych,
działającą na kierunku j, p – częstotliwość wymuszenia
[rad/s]
Drgania wymuszone układu o wielu
stopniach swobody
Układ równań, opisujący amplitudy sił bezwładności:
0
1
1
3
13
2
12
1
2
1
11
=
+
+
+
−
o
k
S
B
B
B
p
m
δ
δ
δ
δ
1
42
gdzie niewiadomymi są amplitudy sił bezwładności B
i
,
znane są m
i
– masy na i –tym stopniu swobody,
δ
ij
–
przemieszczenia na kierunku i wywołane siłą jednostkowych,
działającą na kierunku j, p – częstotliwość wymuszenia
[rad/s]
0
1
2
3
23
2
2
2
22
1
21
=
+
+
−
+
o
k
S
B
B
p
m
B
δ
δ
δ
δ
0
1
3
3
2
3
33
2
32
1
31
=
+
−
+
+
o
k
S
B
p
m
B
B
δ
δ
δ
δ
Ekstremalne siły wewn
ę
trzne,
wywołane drganiami wymuszonymi
m
m
m
B
y
B
y
B
S=S sin(pt)
y
1
1
1
2
2
2
3
3
o
3
Do wyznaczenia sił wewnętrznych wykorzystujemy wykresy
43
Do wyznaczenia sił wewnętrznych wykorzystujemy wykresy
od sił jednostkowych i korzystamy z zasady superpozycji czyli:
gdzie: B
j
- amplitudy sił bezwładności, S
o
- amplituda siły
wymuszającej, N
j
, T
j
, M
j
- siły wewnętrzne od obciążeń
jednostkowych.
∑
±
=
±
±
±
=
j
j
j
k
o
k
o
N
B
N
S
N
B
N
B
N
B
N
S
N
3
3
2
2
1
1
∑
±
=
±
±
±
=
j
j
j
k
o
k
o
T
B
N
S
T
B
T
B
T
B
T
S
T
3
3
2
2
1
1
∑
±
=
±
±
±
=
j
j
j
k
o
k
o
M
B
M
S
M
B
M
B
M
B
M
S
M
3
3
2
2
1
1
Wyznaczenie amplitud sił
bezwładno
ś
ci - przykład
EJ=500000Nm
2
3m
3m
m
o
3m
o
2m
o
P
o
sin(2
π
nt)
m
o
=300kg, P
o
=10kN, n=10Hz
Dane:
EJ
m
3
11
4826
.
1
=
δ
EJ
m
3
21
12
0671
.
0
−
=
=
δ
δ
3
3
44
4m
2m
2m
4m
2m
3m
2m
3m
m
o
3m
o
2m
o
„1”
„2”
„3”
EJ
m
3
22
1.3485
=
δ
EJ
m
3
31
13
0447
.
0
−
=
=
δ
δ
EJ
m
3
32
23
1490
.
0
=
=
δ
δ
EJ
m
3
33
4327
.
0
=
δ
Siła działa na kierunku 3
Wyznaczenie amplitud sił
bezwładno
ś
ci - przykład
EJ=500000Nm
2
m
o
=300kg, P
o
=10kN, n=10Hz
k=3
Dane:
EJ
m
3
11
4826
.
1
=
δ
EJ
m
3
21
12
0671
.
0
−
=
=
δ
δ
3
3
0
1
1
3
13
2
12
1
2
1
11
=
+
+
+
−
o
k
S
B
B
B
p
m
δ
δ
δ
δ
0
1
2
3
23
2
2
2
22
1
21
=
+
+
−
+
o
k
S
B
B
p
m
B
δ
δ
δ
δ
0
1
=
+
−
+
+
S
B
B
B
δ
δ
δ
δ
45
EJ
m
3
22
1.3485
=
δ
EJ
m
3
31
13
0447
.
0
−
=
=
δ
δ
EJ
m
3
32
23
1490
.
0
=
=
δ
δ
EJ
m
3
33
4327
.
0
=
δ
0
1
3
3
2
3
33
2
32
1
31
=
+
−
+
+
o
k
S
B
p
m
B
B
δ
δ
δ
δ
(
)
0
10
0447
.
0
0447
.
0
0671
.
0
/
10
2
500000
4826
.
1
3
3
3
2
3
1
2
2
3
=
⋅
−
−
−
⋅
−
kN
m
B
m
B
m
B
s
m
Nm
m
o
π
(
)
0
10
1490
.
0
1490
.
0
/
10
2
3
500000
3485
.
1
0671
.
0
3
3
3
2
2
2
3
1
3
=
⋅
+
+
⋅
−
+
−
kN
m
B
m
B
s
m
Nm
m
B
m
o
π
(
)
0
10
4327
.
0
/
10
2
2
500000
4327
.
0
1490
.
0
0447
.
0
3
3
2
2
3
2
3
1
3
=
⋅
+
⋅
−
+
+
−
kN
m
B
s
m
Nm
m
B
m
B
m
o
π
Wyznaczenie amplitud sił
bezwładno
ś
ci - przykład
(
)
0
10
0447
.
0
0447
.
0
0671
.
0
/
10
2
500000
4826
.
1
3
3
3
2
3
1
2
2
3
=
⋅
−
−
−
⋅
−
kN
m
B
m
B
m
B
s
m
Nm
m
o
π
(
)
0
10
1490
.
0
1490
.
0
/
10
2
3
500000
3485
.
1
0671
.
0
3
3
3
2
2
2
3
1
3
=
⋅
+
+
⋅
−
+
−
kN
m
B
m
B
s
m
Nm
m
B
m
o
π
(
)
0
10
4327
.
0
500000
4327
.
0
1490
.
0
0447
.
0
3
2
3
3
3
=
⋅
+
−
+
+
−
kN
m
B
Nm
m
B
m
B
m
46
(
)
0
10
4327
.
0
/
10
2
2
4327
.
0
1490
.
0
0447
.
0
3
3
2
3
2
3
1
3
=
⋅
+
⋅
−
+
+
−
kN
m
B
s
m
m
B
m
B
m
o
π
B
1
=-0.36kN, B
2
=1.269kN, B
3
=-20.451
Amplitudy sił bezwładno
ś
ci, wyznaczone z powy
ż
szego
układu, wynosz
ą
:
Wyznaczenie sił wewn
ę
trznych od
wymuszenia
Zasada d’Alemberta: w odniesieniu do konstrukcji, znajdującej się pod wpływem sił
zmiennych w czasie, można stosować zasady statyki pod warunkiem, że uwzględni
się siły bezwładności.
B
3
Wariant I
B
3
Wariant II
47
B
1
=-0.36kN, B
2
=1.269kN, B
3
=-20.451, P
o
=10kN
4m
2m
3m
2m
3m
B
1
P
o
B
2
4m
2m
3m
2m
3m
B
1
P
o
B
2
Wyznaczenie sił wewn
ę
trznych od
wymuszenia
Zasada d’Alemberta: w odniesieniu do konstrukcji, znajdującej się pod wpływem sił
zmiennych w czasie, można stosować zasady statyki pod warunkiem, że uwzględni
się siły bezwładności.
B
3
Wariant III
B
3
Wariant IV
48
B
1
=-0.36kN, B
2
=1.269kN, B
3
=-20.451 , P
o
=10kN
4m
2m
3m
2m
3m
B
1
P
o
B
2
4m
2m
3m
2m
3m
B
1
P
o
B
2
Wyznaczenie sił wewn
ę
trznych od
wymuszenia – wariant I
Do wyznaczenia sił wewnętrznych wykorzystujemy wykresy od sił
jednostkowych i korzystamy z zasady superpozycji czyli:
3
3
2
2
1
1
3
N
B
N
B
N
B
N
S
N
o
+
+
+
−
=
3
3
2
2
1
1
3
T
B
T
B
T
B
T
S
T
o
+
+
+
−
=
3
3
2
2
1
1
3
M
B
M
B
M
B
M
S
M
o
+
+
+
−
=
49
B
1
=-0.36kN, B
2
=1.269kN, B
3
=-20.451 , P
o
=10kN
3
3
2
2
1
1
3
M
B
M
B
M
B
M
S
M
o
+
+
+
−
=
m
o
3m
o
2m
o
„1”
„2”
„3”
Kierunki
dodatnie
B
1
P
o
B
2
B
3
Wyznaczenie sił wewn
ę
trznych od
wymuszenia – wariant II
Do wyznaczenia sił wewnętrznych wykorzystujemy wykresy od sił
jednostkowych i korzystamy z zasady superpozycji czyli:
3
3
2
2
1
1
3
N
B
N
B
N
B
N
S
N
o
−
−
−
−
=
3
3
2
2
1
1
3
T
B
T
B
T
B
T
S
T
o
−
−
−
−
=
3
3
2
2
1
1
3
M
B
M
B
M
B
M
S
M
o
−
−
−
−
=
50
B
1
=-0.36kN, B
2
=1.269kN, B
3
=-20.451 , P
o
=10kN
3
3
2
2
1
1
3
M
B
M
B
M
B
M
S
M
o
−
−
−
−
=
m
o
3m
o
2m
o
„1”
„2”
„3”
Kierunki
dodatnie
B
1
P
o
B
2
B
3
Wyznaczenie sił wewn
ę
trznych od
wymuszenia – wariant III
Do wyznaczenia sił wewnętrznych wykorzystujemy wykresy od sił
jednostkowych i korzystamy z zasady superpozycji czyli:
3
3
2
2
1
1
3
N
B
N
B
N
B
N
S
N
o
+
+
+
=
3
3
2
2
1
1
3
T
B
T
B
T
B
T
S
T
o
+
+
+
=
3
3
2
2
1
1
3
M
B
M
B
M
B
M
S
M
o
+
+
+
=
51
B
1
=-0.36kN, B
2
=1.269kN, B
3
=-20.451 , P
o
=10kN
3
3
2
2
1
1
3
M
B
M
B
M
B
M
S
M
o
+
+
+
=
m
o
3m
o
2m
o
„1”
„2”
„3”
Kierunki
dodatnie
B
1
P
o
B
2
B
3
Wyznaczenie sił wewn
ę
trznych od
wymuszenia – wariant IV
Do wyznaczenia sił wewnętrznych wykorzystujemy wykresy od sił
jednostkowych i korzystamy z zasady superpozycji czyli:
3
3
2
2
1
1
3
N
B
N
B
N
B
N
S
N
o
−
−
−
=
3
3
2
2
1
1
3
T
B
T
B
T
B
T
S
T
o
−
−
−
=
3
3
2
2
1
1
3
M
B
M
B
M
B
M
S
M
o
−
−
−
=
52
B
1
=-0.36kN, B
2
=1.269kN, B
3
=-20.451 , P
o
=10kN
3
3
2
2
1
1
3
M
B
M
B
M
B
M
S
M
o
−
−
−
=
m
o
3m
o
2m
o
„1”
„2”
„3”
Kierunki
dodatnie
B
1
P
o
B
2
B
3
Siły wewn
ę
trzne dla stanu „1”
3m
3m
1
N
1
[/]
-
0.4205
-
0.4354
-
+
53
4m
2m
2m
N
1
[/]
T
1
[/]
M
1
[/]
+
-
+
0.1453
-
0.0335
-
0.9089
0.8295
0.4321
0.1490 0.0894
0.0447
0.0298
0.0596
Siły wewn
ę
trzne dla stanu „2”
3m
3m
1
N
2
[/]
-
0.0149
-
0.4652
-
-
54
4m
2m
2m
N
2
[/]
T
2
[/]
-
+
0.0782
0.1118
-
+
+
M
2
[/]
0.8295
0.0596
0.2533
0.2980
0.0745
0.0298
0.5513
0.8493
0.7997
Siły wewn
ę
trzne dla stanu „3”
3m
3m
1
N
3
[/]
-
+
-
+
0.0099
0.0023
55
4m
2m
2m
N
3
[/]
T
3
[/]
-
+
0.0522
0.5745
+
+
M
3
[/]
0.0397
0.1689
0.5497
0.5993
0.1325
-
0.4255
0.3013
0.0662
0.0199
Siły normalne – wariant I
3
2
1
3
451
.
20
269
.
1
36
.
0
10
N
kN
N
kN
N
kN
N
kN
N
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
B
1
P
o
B
2
B
3
N
I
[kN]
+
-
+
-
0.4339
0.5036
56
N
1
[/]
-
0.4205
-
0.4354
-
+
N
2
[/]
-
0.0149
-
0.4652
-
-
N
3
[/]
-
+
-
+
0.0099
0.0023
Siły tn
ą
ce – wariant I
3
2
1
3
451
.
20
269
.
1
36
.
0
10
T
kN
T
kN
T
kN
T
kN
T
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
B
1
P
o
B
2
B
3
Wykres sił tnących w
wariancie I do wyznaczenia
ze wzoru powyżej
57
T
1
[/]
+
-
+
-
0.0335
-
T
2
[/]
-
+
-
+
+
T
3
[/]
-
+
+
+
-
0.4255
0.0522
0.5745
0.0782
0.1118
Momenty zginaj
ą
ce – wariant I
3
2
1
3
451
.
20
269
.
1
36
.
0
10
M
kN
M
kN
M
kN
M
kN
M
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
B
1
P
o
B
2
B
3
0.0397
0.1689
0.5993
0.1325
0.3013
58
M
1
[/]
0.9089
0.8295
0.4321
0.1490 0.0894
0.0447
0.0298
0.0596
M
2
[/]
0.8295
0.0596
0.2533
0.2980
0.0745
0.0298
0.5513
0.8493
0.7997
M
3
[/]
0.0662
0.0199
Wykres momentów
zginających w wariancie
I do wyznaczenia ze
wzoru powyżej
Koniec
Koniec
59
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Drgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania Skrętne Układu o Wielu Stopniach Swobody
Drgania Skrętne Układu o Wielu Stopniach Swobody
Drgania o wielu stopniach swobody
dynamika ukl o 1 stopniu swobody id 1452
Drgania ukladu o jednym stopniu swobody v2011
Kończyna górna człowieka z jej stopniami swobody pozwala na dotknięcie ręką każdego punktu płaszczy
Drgania mechaniczne, Badanie drgań własnych o jednym stopniu swobody, WSI Opole
Badanie drgań wymuszonych o dwóch stopniach swobody na przykładzie wymuszonych siłą harmoniczną drga
Badanie drgań wymuszonych o dwóch stopniach swobody na przykładzie wymuszonych siłą harmoniczną drga
33 Energia czasteczek translacje o 3 stopniach swobody
dobrucki,wprowadzenie do inżynierii akustyki, drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody
Dragania swobodne modelu o jednym stopniu swobody
Drgania układu o n stopniach swobody
Drgania mechaniczne, Badanie drgań własnych o jednym stopniu swobody1, WSI Opole
więcej podobnych podstron