30.06.2011 rok

POLITECHNIKA ŚLĄSKA

INSTYTUT AUTOMATYZACJI PROCESÓW TECHNOLOGICZNYCH I ZINTEGROWANYCH SYSTEMÓW WYTWARZANIA

DRGANIA W UKŁADACH FIZYCZNYCH – SPRAWOZDANIE

Temtat: Zastosowanie programu narzędziowego

w analizie drgań układów dyskretnych o wielu stopniach swobody.

Prowadzący: dr inż. Andrzej Dymarek

Wykonali:
Leszek Grolik,

Witold Gregorowicz,

Łukasz Gałuszka,
MT,
MiBM,
Gr 1.

WPROWADZENIE:

Układ o wielu stopniach swobody jest przedstawiony jako zbiór punktów matrilnych połaczonych ze sobą bezmasowymi elementami takimi jak sprężyna czy tłumik.

Najczęściej rozważane układy w praktyce inżynierskiej to takie, w których siły sprężyste i tłumienia są liniowymi funkcjami przemieszczeń i prędkości punktów materialnych. Są to takie układy holonomiczne, a liczba stopni swobody równa się liczbie współrzędnych uogólnionych. Współrzędne uogólnione są przesunięciami lub kątami obrotu mas.

ZADANIE:

Układ pierwszy jest układem z dwoma masami połączonymi dwiema nieważkimi sprężynami jak na zamieszczonym poniżej rysunku.

Układ drugi jes to układ połaczony dwiema nieważkimi sprężaynami i dwoma tłumikami z czego jeden jest umieszczony pomiędzy masami, a drugi pomiędzy masą pierwszą, a podporą.

Układ trzeci jest połaczony dwiema nieważkimi sprężynami oraz dwoma tłumikami. Jeden tłumik jest zaczepiony o podporę górną i połaczony z masą pierwszą natomiast drugi jest połaczony z masą drugą i połączony z podporą dolną.

WYKRESY PRZEMIESZCZEŃ, PRĘDKOŚCI I PRZYSPIESZEŃ:

Układ pierwszy:

Układ drugi:

Układ trzeci:

Wnioski:

• w układzie pierwszym masy zawieszone na sprężynach nawzajem się wzbudzają i wygaszają, amplitudy drgań są zmienne w czasie (zmiany okresowe),

• w drugim przypadku użycie tłumików znacznie zmnieszyło amplitude drgań, drgania są wygaszane i w końcu zanikają,

• trzeci układ jest bardzo sztywny z trzech układów, które utworzyliśmy posiada największą sztywność w związku z czym najszybciej tłumi drgania,

• zakładanie kolejnych tłumików pomiędzy masy pozwoliło ustabilizowanie wachań ale nie wygaszenie drgań,

• poprzez dodanie tłumika pomiędzy masy, a miejsce utwierdzenia usztywniamy układ w ten sposób dążąc do wygaszenia drgań.

DYNAMICZNY ELIMINATOR DRGAŃ:

Jest to zjawisko antyrezonansu wykorzytywane w technice do eliminacji drgań niektórych maszyn i urządzeń. Celem pozostawienie w spoczynku głównego układu złożonego z masy m1 i sztywności c1, na który działa zmienna siła dodajemy do niego dodatkowy układ o odpowiednio dobranych: m2 i c2 stanowiących dymamiczny eliminator drgań.

Równania rozważanego układu przyjmują następującą postać:

Jest to liniowy niejednorodny układ różniczkowy drugiego rzędu.

Rozwiązanie szczególne można przedstawić w postaci:

gdzie A1 i A2 są dowolnymi stałymi.

Podstawiając rozwiązanie szczególne do równań różniczkowych ruchu otrzymuję się:

Rozwiązanie przestaje być słuszne dla wartości częstości siły wymuszającej, przy której mianownik w powyższych wzorach równy jesy 0. Wówczas rozwiązanie musi mieć inną postać poniewąż stałe A1 i A2 stają się nieoznaczone.

Wartość A1 staję się zerem gdy spełniony zostaje warunek:

Zatem dla dowolnej amplitudy P różnej od zera wystarczy aby wymuszenia ω były równe ωa przy czym:

gdzie:
ωa – częstość siły wymuszającej odpowiadająca stanowi układu zwanemu antyrezonansem.

Gdy częstośc siły wymuszającej spełnia powyższą zależność otzrymuje się następującą wartość stałej A2:

Wynika z tego, że to ciało na które działa siła wymuszająca pozostaje w spoczynku, a drugie wykonuje drgania harmoniczne o ograniczonej amplitudzie:

Z powyższego wzoru wynika, że ciało drugie porusza się w stronę przeciwną do zwrotu siły wymuszającej.

Przemieszczenia mas układu przed dopasowaniem parametrów m2 i c2.

Układ po dobraniu parametrów m2 ic2:

Wnioski:

Dynamiczny eliminatoir drgań wykorzystuje zjawisko antyrezonansu w technice do eliminacji drgań w niektórych urządzeniach i maszynach. Urządzenie te nadaję się do eliminowania drgań skrętnych, wzdłużnych lub giętych. Optymalne dostrojenie eliminatora ma meijsce gdy:

a parametry m2 i c2 są dobrane w ten sposób, że Ω2 jest równe częstotliwości siły wymuszającej.