Politechnika Śląska

Wydział Mechaniczny-Technologiczny Mechanika i Budowa Maszyn Rok akademicki 2013/2014

DRGANIA W UKŁADACH FIZYCZNYCH

Sprawozdanie z tematu:

Analiza układu o wielu stopniach swobody

Opracowali:

Wojciech Ciołczyk

Bogusław Pluta

Radosław Śpiewak

Rafał Uchyła

Dariusz Stefaniak

Łukasz Thomann

Spis treści

Wstęp teoretyczny

Układ o skończonej liczbie stopni swobody przedstawiany jest, jako zbiór punktów materialnych połączonych bez masowymi sprężynami i tłumikami. Rozważane układy liniowe w praktyce inżynierskiej to najczęściej takie, w których siły sprężyste i tłumienia są liniowymi funkcjami przemieszczeń i prędkości punktów materialnych. Są to układy holonomiczne, a liczba stopni swobody równa się liczbie współrzędnych uogólnionych. Współrzędne uogólnione są przesunięciami lub kątami obrotu mas. Równanie ruchu drgań własnych otrzymuje się z równania ruchu po pominięciu członu zawierającego macierz tłumienia oraz wektor obciążeń zewnętrznych. Wówczas otrzymuje się:

[𝑀] ∙ [𝐴] + [𝐶] ∙ [𝑋] = 0 (1.1)

gdzie:

[M] – macierz mas układu [A] – macierz przyspieszeń [C] – macierz sztywności

[X] – macierz przemieszczeń 0 – macierz zerowa

Rozwiązanie dla zadanego zagadnienia początkowego polega na podaniu warunków, dla których jest możliwy ruch rozpatrywanego układu. Przez analogię z układem o jednym stopniu swobody założymy, że drgania własne są ruchem harmonicznym i rozwiązania poszukujemy w postaci funkcji harmonicznych o częstościowości ω i fazie początkowej ϕ.

𝑥(t) = 𝑞⃗ (𝜔t + 𝜑) (1.2)

Po podstawieniu wyrażenia (1.2) i jego drugiej pochodnej do równania (1.1) otrzymujemy:

(−𝜔2 ∙ [𝑀] + [𝐶]) ∙ 𝑞⃗ ∙ sin(𝜔 + 𝜑) = 0

Jest to układ liniowych jednorodnych równań algebraicznych, który ma rozwiązania niezerowe tylko wówczas, gdy:

det([𝐶] − 𝜔2[𝑀]) = 0

Po rozwinięciu tego wyznacznika otrzymuje się wielomian n-tego stopnia względem ω2 (dla układu mającego n dynamicznych stopni swobody). Równanie to nazywa się równaniem charakterystycznym zagadnienia własnego lub równaniem częstości. Pierwiastki tego równania są częstościami drgań własnych elementów układu.

Obliczenia

Dane:

m₁=1kg m₂=2kg m₃=3kg

C₁=10N*kg C₂=20N*kg C₃=30N*kg C₄=40N*kg

Rys 1. Analizowany układ

Równania Lagrange’a II stopnia:

W zapisie macierzowym:

Lub w skrócie:

[𝑀] ∙ [𝐴] + [𝐶] ∙ [𝑋] = 0

Podstawiając otrzymujemy:

Macierz dynamiczna:

[𝐻]=[𝑀]^-1∙[𝐶]

Podstawiamy:

Następnie tworzymy wyznacznik i przyrównujemy go do 0

Obliczamy wyznacznik:

(30𝜔²∙15𝜔²∙(-13,33𝜔²))+(10∙(−20)∙(−15))−(30𝜔²∙23,33∙(-15𝜔²))-

(-10*(-20)*(-13,33 𝜔²))=0

-6000𝜔⁶−13164𝜔²=3000

Częstości drgań własnych:

Jak można zauważyć układ posiada tak naprawdę tylko jedną częstość drgań własnych równą 1,391 rad/s.

Symulacja drgań układu

a)Poprzez wychylenie układu z położenia równowagi

W programie Working Model zamodelowany został układ 3 mas oraz 4 sprężyn, przedstawiony na Rys.1. Każdą z mas układu wysunięto z położenia równowagi o odległość x=0,2[m]. W ten sposób otrzymano wykresy przemieszczeń mas:

Rys 2. Wykresy przemieszczeń mas. Od góry masa 1, masa 2, masa 3

Łatwo zauważyć, iż ze względu na identyczne naprężenie każdej ze sprężyn układu (każda z nich „rozciągnięta” została na długość 0,2[m] ) drgania nie interferują ze sobą, a wszystkie masy w danej chwili t wykonują ruch w tym samym kierunku – jest to ruch drgający współbieżny. Wykresy drgań poszczególnych mas układu różnią się między sobą tylko ich amplitudą.

Następnie, z położenia równowagi wychylono jedynie masę 2, znajdującą się na środku układu. Uzyskano następujące wykresy przemieszczeń:

Rys 3. Wykresy przemieszczeń mas. Od góry masa 1, masa 2, masa 3

W tej sytuacji, naprężenie w każdej ze sprężyn układu jest różne, co widać na wykresach przemieszczeń – poza amplitudą, mają one odmienny przebieg, drgania interferują ze sobą, zakłócając ruch mas układu, co można zauważyć po „skokach” na wykresach przemieszczeń – ruch nie jest współbieżny.

b)Poprzez wprowadzenie siły wymuszającej

Układ ponownie ustawiono w położeniu równowagi. Mając obliczoną częstość drgań własnych układu zamodelowano układ tak ja na Rys 1. i wprowadzono wymuszenie o częstotliwości rezonansowej i przyłożono do środka ciężkości masy 2. Otrzymano w ten sposób następujące wykresy przemieszczeń mas:

Rys 4. Wykresy przemieszczeń mas. Od góry masa 1, masa 2, masa 3

Jak widać dla wyliczonej częstości drgań własnych układ wpada w rezonans. Amplituda wychylenia dla każdej masy stopniowo wzrasta. Niezależnie od miejsca przyłożenia wymuszenia układ zachowuje się identycznie tj.: wszystkie masy drgają w tym samym kierunku (drgania współbieżne).

c)Poprzez wychylenie układu z położenia równowagi oraz wprowadzenie tłumienia wiskotycznego

W układzie zastąpiono sprężynę 3 modelem Kelwina-Fojta, jak na rysunku:

Rys.5 Analizowany układ tłumiony wiskotycznie

Następnie, wychylono wszystkie masy z położenia równowagi o odległość x=0,2[m] i ponownie poddano symulacji. Otrzymane wykresy przemieszczeń zamieszczono poniżej:

Rys 6. Wykresy przemieszczeń mas, współczynnik tłumienia b=5. Od góry masa 1, masa 2, masa 3

Rys 7. Wykresy przemieszczeń mas, współczynnik tłumienia b=10. Od góry masa 1, masa 2, masa 3

Rys 8. Wykresy przemieszczeń mas, współczynnik tłumienia b=50. Od góry masa 1, masa 2, masa 3

Zauważyć można, iż zwiększenie współczynnika tłumienia b o wartość zbliżoną do tej, jaką różnią między sobą masy oraz współczynniki sprężystości sprężyn układu powoduje, iż ruch drgający układu tłumiony jest szybciej (efektywność tłumienia zwiększa się). Jednak zwiększenie współczynnika o dużą wartość daje wręcz odwrotny efekt – tłumik taki nie działa efektywnie ze względu na wielokrotnie niższe siły panujące w układzie od jego współczynnika tłumienia. Dalsze zwiększanie współczynnika tłumienia powoduje, iż tłumik zaczyna działać jak sztywny pręt, w coraz mniejszym stopniu tłumiąc drgania układu.

d)Poprzez wprowadzenie siły wymuszającej oraz tłumienia wiskotycznego

Układ opisany w punkcie c) ustawiono w położeniu równowagi, a następnie wprowadzono siłę wymuszającą o częstości rezonansowej, działającą na środek masy 2. Uzyskano w ten sposób następujące wykresy przemieszczeń:

Rys 9. Wykresy przemieszczeń mas po wprowadzeniu tłumienia. Od góry masa 1, masa 2, masa 3.

Jak można zauważyć wprowadzenie do układu elementu tłumiącego powoduje ustabilizowanie się drgań, zapobiegając wpadaniu układu w rezonans. W tym przypadku zastosowano tłumienie wiskotyczne, lecz równie dobrze można by zastosować tłumienie tarciem suchym, które dało by ten sam efekt.

Wnioski końcowe

Analiza układów o wielu stopniach swobody sprowadza się głównie do wyznaczenia równania charakterystycznego za pomocą, którego jesteśmy w stanie określić częstości drgań własnych poszczególnych elementów masowych układu. Zagadnienie to staje się coraz bardziej złożone w raz ze wzrostem stopni swobody i bez stosowania metod numerycznych i komputerów do wspomagania się w obliczeniach jest to praktycznie nie wykonalne, aby przeprowadzić takową analizę.

Podsumowując przeprowadzone rozważania na temat układów o wielu stopniach swobody można zauważyć, że w przypadku układu o trzech stopniach swobody mamy do czynienie tylko z jedną częstością drgań własnych. Ponadto stosując w układzie jakikolwiek rodzaj tłumienia czy to wiskotycznego czy suchego stabilizujemy drgania i nie dopuszczamy do sytuacji, w której układ wpada w niebezpieczny rezonans.

Bibliografia

1. A. Buchacz, J. Świder, J. Wojnarowski „Podstawy teorii drgań układów mechanicznych z symulacją komputerową”, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej.

2. K. Arczewski „Drgania układów fizycznych”, Oficyna wydawnicza Politechniki Warszawskiej.