Zadania z kolokwium z Kompresji informacji - Zestaw D, grupa 1

Rozwiązane zadania by maciex. Wiem, gdzie zrobiłem błędy, więc są one tu
poprawione. (Za kolokwium z błędami miałem 4,5).
Zadania w którym wymagane jest opisanie danego zagadnienia, zawartość jest
taka sama jak na kolokwium. Pozdrawiam i życzę powodzenia na poprawce.

1. Model LP sygnału mowy

Dla ramki wejściowej s(n) o długości M tworzymy ramkę LP. Proszę podać
odpowiedzi dotyczące poniższych zagadnień:

A. Narysować model LP dla sygnału mowy.

Oznaczenia:

v/uv – ramka dźwięczna/bezdźwięczna,

g – wzmocnienie,

s(n) – sygnał wejściowy

ˆ

s(n) – sygnał wyjściowy

B. Proszę podać postać ogólną ramki wyjściowej LP i krótko opisać

wielkości w niej występujące.

Ramka

LP

= {a

1

, a

2

, . . . , a

p

, v/uv, u, g, T }

a

1

, a

2

, . . . , a

p

– współczynniki filtru IIR,

v/uv – ramka dźwięczna/bezdźwięczna,

g – wzmocnienie sygnału,

T – czas repetycji.

C. W jaki sposób wyznaczamy idealny sygnał pobudzenia filtru modelującego

u(n), mając do dyspozycji współczynniki filtru {a

i

}, i=1,2,...,p oraz

sygnał ramki s(n)

Korzystamy z transformaty Z:

H(z) =

1

1+

P

p

i=1

a

i

+z

−

i

=

s(z)

u(z)

- mnożymy na „krzyż” i uzyskujemy:

1

u(z) = s(z)+

P

p
i=1

a

i

+ z

−

i · · · s(z) – obustronnie nakładamy odwrotną

transformatę Z:

u(n) = s(n) +

P

p
i=1

a

i

+ s(n − i)

2. Kompresja algebraiczna

A. Wyjaśnić pojęcie faktoryzacji Karhunena-Loewe dla macierzy

korelacji R.

Proszę opisać własności macierzy występujących w faktoryzacji.

faktoryzacja Karhunena-Loewe – transformacja ortogonalna prawdopodobieństwa:

Wychodząc z równania na parę własną macierzy: RQ = QΛ/ · Q

T

–

mnożymy prawostronnie równania:

RQQ

T

= QΛQ

T

W wyniku mnożenia macierzy: QQ

T

otrzymujemy macierz jednostkową

I.
Zatem równanie uprości się do postaci:

R = QΛQ

T

Właściwości macierzy: QQ

T

= I ⇒ Q

−1

= Q

T

Λ – macierz składająca się z wartości własnych macierzy (na przękątnej)

postaci: Λ =







λ

1

0

. . .

0

0

λ

2

. . .

0

. . .

. . .

. . .

. . .

0

0

0

λ

n







B. W efekcie faktoryzacji Karhunena-Loewe macierzy korelacji R otrzymano

następujące macierze Q i Λ

Q =



q

1

q

2

q

3

q

4

 ; Λ =







5

0

0

0

0

1

0

0

0

0

2

0

0

0

0

3







Proszę podać postać macierzy wyboru Z

p

dla p=3 zapewniającą

optymalną energetycznie rekonstrukcję sygnału w dekoderze. Odpowiedź
należy krótko uzasadnić.
Aby wybrać macierz Z

p

, która będzie zapewniała optymalną energetycznie

rekonstrukcję sygnału w dekoderze należy tak dobrać współczynniki
na diagonalii, aby maxT r {ΛZ

p

} – gdzie Tr oznacza ślad macierzy

(innymi słowy sumę na przekątnej) Jak łatwo zauważyć, maksymalnym
śladem iloczynu macierzy Λ oraz Z

p

jest 10.

max T r {ΛZ

p

} = 10

Zatem dla p=3 macierz Z

p

ma postać:

2

Z

p

=







1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1







3. ADPCM, kwantyzacja wektorowa

A. Przy założeniu, że filtr jest złożony z 4 parametrów: a

1

(n), a

2

(n), a

3

(n), a

4

(n)

proszę podać:

– kryterium optymalizacji V(n) dla algorytmu adaptacyjnego Leaky-

LMS i opisać krótko wielkości w nim występujące,
V (n) = e

2

(n) +

1
2

γ¯

a

T

(n)¯

a(n)

Opis wielkości:
e

2

(n) – skwantowany błąd sygnału,

γ > 0. Gdy γ = 0, wtedy Leaky-LMS jest tym samym co LMS

1
2

γ¯

a

T

(n)¯

a(n) – tzw. „funkcja kary” odpowiadająca za wzrost

normy wektora współczynników.

– formuły matematyczne dla algorytmu LMS, które zapewniają

jego adaptacyjne właściwości.






a

1

(n + 1)

a

2

(n + 1)

a

3

(n + 1)

a

4

(n + 1)







=







a

1

(n)

a

2

(n)

a

3

(n)

a

4

(n)







+ µ







¯

e

wy

(n)

¯

e

wy

(n − 1)

¯

e

wy

(n − 2)

¯

e

wy

(n − 3)







e

wy

(n)

B. Narysować schemat ogólny i krótko opisać kompresję (koncepcję transmisji)

opartą o kwantyzację wektorową. Przy opisie bloku decyzyjnego proszę
podać kryterium optymalizacji realizowane przez ten blok.

Opis:

Wchodzący wektor ˆ

x(n) poddany jest wektoryzacji, w konsekwencji

otrzymujemy zwektoryzowaną wielkość (n) – wektor ¯

x

i

, który przekazywany

jest do kodera. W koderze następuje dobór najbliższego wektora
z pośród książki kodowej na podstawie kryterium:

P

N
i=1

|x

i

− r

i

|

2

.

Następnie transmitowany jest tylko numer indeksu (stąd wymóg by
książki kodowe po obu stronach miały tę samą zawartość). W dekoderze

3

następuje przyporządkowanie danego wektora na podstawie odebranego
indeksu.

4