B. Oleś

1

Jest to

zasada superpozycji fal.

4. Superpozycja i interferencja fal

Jeśli w danym ośrodku rozchodzi się równocześnie kilka fal, to

wypadkowy ruch cząstek ośrodka jest złożeniem ruchów, które

wykonywałyby cząstki podczas rozchodzenia się każdej fali z osobna.

Wynika ona z postaci równania falowego.

Jeśli każda z funkcji



1

i



2

spełnia równanie falowe, to ich

suma



1

+



2

również musi go spełniać.

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

Z zasady superpozycji wynika

możliwość rozróżniania różnych

dźwięków, kiedy jednocześnie

docierają do naszego ucha,

ponieważ wypadkowa fala jest

algebraiczną sumą fal

pochodzących z różnych źródeł.

B. Oleś

2

Zobaczmy, jaki jest efekt złożenia dwóch fal harmonicznych

biegnących o jednakowych okresach T, amplitudach A i długościach



wysyłanych przez dwa źródła, różniących się tylko fazą



:

















)

(

sin

)

(

sin

)

,

(

)

,

(

2

1













t

kx

A

t

kx

A

t

x

t

x

.

2

)

(

sin

2

cos

2





















t

kx

A

amplituda fali

wypadkowej

Widzimy, że amplituda fali wypadkowej zależy od fazy



.

Wypadkowa funkcja falowa jest również harmoniczna i ma tą samą
częstość



i długość fali



co fale składowe.

4.1. Superpozycja fal biegnących

Fala wytworzona w ośrodku otwartym,

której rozchodzeniu towarzyszy transport

energii nosi nazwę

fali biegnącej

(bieżącej).

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

B. Oleś

3

Jeśli



=2n



amplituda fali

wypadkowej jest

sumą

amplitud fal interferujących.



x

Jeśli



=(2n+1)



następuje

wygaszenie fal

.



x



x

Przypadek pośredni

W przypadku zmiennej różnicy faz interferencja nie zajdzie.

Powstanie w przestrzeni, w wyniku nakładania się fal, obszarów drgań
wzmocnionych i wygaszonych zależy od względnej fazy



fal.

.

2

)

(

sin

2

cos

2























t

kx

A

Jeśli drgania wywołane przez fale w każdym z punktów ośrodka mają

stałą różnicę faz, fale nazywamy

spójnymi

. Ich nakładanie prowadzi do

zjawiska interferencji

.

n =0,



1,



2,…

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

B. Oleś

4

4.2. Fale stojące

Jeśli interferują ze sobą dwie fale o tym samym

okresie, amplitudzie lecz biegnące w przeciwne

strony powstaje

fala stojąca

:

.

2

cos

2

sin

2

























 











t

kx

A

Fala ta posiada częstość kołową



i amplitudę zależną od x:











 

2

sin

2



kx

A

Dla uproszczenia przyjmijmy



=0. Wówczas amplituda

kx

Asin

2

osiąga wartość maksymalną 2A w punktach spełniających warunek:

,...

2

,

1

,

0

,

4

)

1

2

(

|

|

2

/

)

1

2

(













n

n

x

n

kx





Punkty te noszą nazwę

strzałek

.

W punktach zwanych

węzłami

amplituda maleje do zera i cząsteczki w

nich nie wykonują drgań:

,...

2

,

1

,

0

,

2

|

|









n

n

x

n

kx





Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

),

(

sin

)

(

sin

)

,

(

)

,

(

2

1



























t

kx

A

t

kx

A

t

x

t

x

W piszczałkach organowych

powstają dźwiękowe fale stojące

B. Oleś

5



x



x



x

wę

zły

str

za

łki

t=0

t=T/4

t=T/2

str

za

łki

str

za

łki

str

za

łki

wę

zły

wę

zły

wę

zły

Odległość między sąsiednimi

strzałkami, podobnie jak i

sąsiednimi węzłami wynosi



/2.

Natomiast strzałki odległe są

od węzłów o



/4.

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

B. Oleś

6

4.3.Fale stojące w strunie

Rozważmy strunę o długości l. Wzbudzona w niej fala stojąca

musi mieć węzły w punktach mocowania, zatem jej długość

musi spełniać warunek:







,...

2

,

1

,

2

n

n

l

n



,...

2

,

1

,

/

2





n

n

l

n



l

Możliwe jest powstanie nieskończenie wielu fal harmonicznych,

nazywamy je

drganiami własnymi

(

drganiami normalnymi

), a ich

częstotliwości f

n

częstotliwościami drgań własnych

:

,...

2

,

1

,

2

2









n

F

l

l

n

f

n

n





n

v

v

F- naprężenie struny,



-

gęstość liniowa

l

f

2

1

v



Najniższa częstotliwość dla n=1,

to

częstotliwość podstawowa.

A wyższe noszą nazwę

wyższych harmonicznych.

Zmiana f

n

poprzez zmianę

l

lub F.

Fala stojąca może być wzbudzona w napiętej strunie (np.

skrzypiec) sztywno umocowanej na obu końcach, gdy

nakładają się fale padająca i odbita.

Wykład 8 Wydz.Chemii PK,

2009/10

B. Oleś

7

Jeśli struna zostanie pobudzona do drgań

przez bodziec zewnętrzny z częstością

równą lub niewiele się różniącą od częstości

drgań własnych zajdzie

zjawisko rezonansu

.

Zazwyczaj przez szarpanie struny wzbudza się drganie, w którym

występuje

drganie podstawowe

i

wyższe harmoniczne

.

Swobodne i wymuszone drgania struny są

superpozycją wielu drgań normalnych.

W przypadku omawianego zjawiska rezonansu dla układu sprężyna -

ciężarek występowała

tylko jedna częstość rezonansowa

, bo

bezwładność posiadał tylko jeden element-ciężarek, a własności

sprężyste drugi – sprężyna.

Istniał tylko jeden sposób wymiany pomiędzy energią kinetyczną

masy a energią potencjalną deformowanej sprężyny.

Istnieje wiele sposobów wymiany pomiędzy kinetyczną i

potencjalną formą energii drgań, zależnie od wartości n.

Był to

układ o elementach skupionych

.

O napiętej strunie mówimy, że ma

elementy rozłożone

, ponieważ każdy

jej element charakteryzuje się jakąś bezwładnością i sprężystością.

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

B. Oleś

8

Ważną cechą fali stojącej jest to, ze nie przenosi ona przez ośrodek

energii. Energia każdej cząsteczki jest stała i pozostaje związana z

cząsteczką podczas wykonywania przez nią drgań harmonicznych

wokół położenia równowagi. Całkowita energia pozostaje stale w

obrębie granic układu.

Równanie fali stojącej ma postać drgania harmonicznego:

t

kx

A





cos

)

sin

2

(



Wszystkie punkty struny (z wyjątkiem węzłów)
oscylują z tą samą częstością



,

ale mają różne

amplitudy.

Ponieważ węzły są nieruchome, przez punkty te

nie przepływa energia.

Falę taką można sobie wyobrazić jako układ

oscylatorów drgających równolegle do siebie.

t=0

p

k

E

E

E





,

0

k

p

E

E

E





,

0

t=T/4

t=0

W układach zamkniętych, o ściśle określonych granicach powstają
fale stojące. (

porównaj: fale biegnące

!).

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

B. Oleś

9

5. Fale akustyczne

Falami akustycznymi (dźwiękowymi) nazywamy

fale sprężyste rozchodzące się w dowolnym

ośrodku i charakteryzujące się częstotliwościami

z przedziału od 16 do 20 000Hz. Takie fale

docierając do ludzkiego ucha wywołują wrażenie

dźwięku.

Fale o częstotliwościach mniejszych od 16 Hz to infradźwięki,

o wyższych od 20kHz – ultradźwięki.

dźwięk? co

to takiego?

Źródłami fal akustycznych są drgające pręty, struny, membrany,

słupy powietrza, ogólnie: ciała sprężyste pobudzone do drgań za

pomocą zewnętrznych bodźców.

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

B. Oleś

10

Rozchodząca się w ośrodku fala akustyczna jest

falą podłużną

.

Cząsteczki ośrodka wykonują drgania w kierunku ruchu fali, w

wyniku czego powstają następujące po sobie obszary zwiększonego

i obniżonego ciśnienia, czyli jego zagęszczenia i rozrzedzenia.

V

p

V

B









/

B - stosunek przyrostu ciśnienia do względnej zmiany objętości
wywołanej taką zmianą ciśnienia:

Prędkość fal:



/

E



v

Prędkość fali akustycznej w ciele stałym zależy od własności sprężystych ośrodka,
które charakteryzuje moduł Younga

E oraz od gęstości



=

m/V:

W cieczach i gazach prędkość dźwięku zależy od ściśliwości
(sprężystości objętościowej) ośrodka, którą charakteryzuje
moduł ściśliwości B oraz bezwładności ośrodka i charakte-
ryzującej ją gęstości



:



/

B



v

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

.



v

bezwładność

własności sprężyste

http://www.pbase.com/jjnv/disneyland

l

l

E





/



E - stosunek naprężenia



=F/S do względnej zmiany

długości wywołanej takim naprężeniem:

B. Oleś

11

v

głośnik

drgania molekuł





zagęszczenie rozrzedzenie



(x,t

) – przemieszczenie względem położenia równowagi x, w chwili

t, w kierunku propagacji fali,



p

- zmiana ciśnienia w x w chwili t .

5.1. Natężenie fali akustycznej

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

)

(

sin

)

,

(

2

1













t

kx

A

t

x

Falę dźwiękową można traktować jako

falę ciśnieniową

, przesuniętą o 90

0

względem fali przemieszczeń



(x,t),

np. dla

:

),

sin(

t

kx

p

p

m











,

A

p

m

v







(amplituda ciśnienia)

(gdzie k =2



/



– liczba falowa,

f

π

2





- częstość kołowa)

B. Oleś

12

Natężenie fali I

to średnia moc P

śr

przenoszona przez jednostkowy

element powierzchni S ustawiony prostopadle do kierunku

rozchodzenia się fali:

Dla fali akustycznej: ,

,

/ S

P

I

śr



2

2

2

1

A

B

I







natężenie harmonicznej

fali dźwiękowej

Ze względu na szeroki zakres natężeń, na który reaguje ludzkie ucho

w akustyce wprowadza się

poziom natężenia fali akustycznej



:

0

log

I

I





2

12

0

W/m

10





I

Próg słyszalności

– natężenie najsłabszego

dźwięku:

Jednostką jest 1B (bel) i 1dB=0,1B.

Szkodliwy hałas powyżej 85dB.

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

,

2

2

2

1

v

A

P

śr







/

B



v

(B - moduł ściśliwości,



- gęstość)

i dostajemy

B. Oleś

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

13

Szmery, huki, za które odpowiedzialne są

fale nieperiodyczne,

http://www.navaching.com/shaku/shaku.gifs/timbre2.gif

http://i.ehow.com/images/GlobalPhoto/Ar
ticles/4866933/147739-main_Full.jpg

dźwięki, za które odpowiedzialne są

okresowe fale niesinusoidalne będące
złożeniem pewnej liczby tonów.

Tony, wywoływane przez fale harmoniczne o

określonej częstotliwości, np. drgający kamerton,

Wrażenia słuchowe wywołane przez

fale akustyczne:

5.2. Odbieranie dźwięków prze ludzkie ucho

B. Oleś

14

Słyszalne dźwięki charakteryzują się:

wysokością

, którą jest związana z częstotliwością drgań,

głośnością

dźwięku zależną od energii niesionej przez fale akustyczne, czyli

natężenia dźwięku oraz jego częstotliwości.

(fale harmoniczne o określonej częstotliwości noszą nazwę

tonów

)

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

barwą dźwięku

, o której decyduje

widmo akustyczne

, czyli charakterystyczne dla

danego źródła dźwięku nakładanie się na podstawowe drgania harmoniczne (mod
podstawowy) drgań harmonicznych o większych częstotliwościach

(zestaw tonów).

Gdy na różnych instrumentach grana jest ta sama nuta,
której odpowiada pewna częstotliwość podstawowa, to już
wyższe harmoniczne tych instrumentów będą się różnić
natężeniami. Stąd powstające fale wypadkowe różnią się
między sobą brzmieniem i możliwe jest rozróżnienie
wysyłających je instrumentów.

Głośność to subiektywne odczucie natężenia dźwięku. Ale przy stałym natężeniu
dźwięki niskie i wysokie wydają się cichsze niż dźwięki o średniej częstotliwości (2 - 4
kHz). Ma to bezpośredni związek z czułością ucha, które w tym zakresie wykazuje
największą wrażliwość.

B. Oleś

15

5.3. Efekt Dopplera

Kiedy źródło dźwięku i odbiornik poruszają się względem siebie

obserwujemy zjawisko zmiany częstotliwości dźwięku, zwane

efektem Dopplera.

Jedziesz samochodem i nagle rozlega się dźwięk syreny samochodu policyjnego.
Skąd nadjeżdża? Jest za tobą, czy przed? Można zorientować się po wysokości
dźwięku.

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

B. Oleś

16

Rozpatrujemy przypadek, gdy źródło i odbiornik poruszają się względem

siebie wzdłuż łączącej je prostej.

0

0

T

u

z









Gdy źródło porusza się względem

obserwatora (odbiornika) z szybkością ,

to podczas jego zbliżania do obserwatora

docierają fale o długości:

z

u

(ponieważ odległość między kolejnymi

powierzchniami falowymi maleje o )

T

u

z

Czas, po którym kolejna powierzchnia falowa dotrze do odbiornika

jest krótszy i wynosi T.

f,

v

vT

/







0

0

0

/ f

T

v

v







,

v

v

0

0

f

u

f

f

z





Źródło wysyła fale dźwiękowe o częstotliwości i długości



0

poruszające się z szybkością .

0

0

/

1 T

f



v

Odbierana częstotliwość

dźwięku rośnie.

z

u

f

f





v

v

0

Gdy źródło się oddala,

częstotliwość maleje.

z

u

f

f





v

v

0

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

B. Oleś

17

Dla obserwatora poruszającego się w kierunku źródła

dźwięk ma większą prędkość względną:

v

o

u

o

u





v

v'

i rejestruje on więcej maksimów

fal niż będąc w spoczynku.

Stąd wysokość docierającego

dźwięku jest dla niego wyższa

niż rzeczywista:

,

0

0





o

u







v

v'

f

,

0

f

u

o

v

v

f





Dla obserwatora oddalającego się

od źródła dźwięku:

,

0

f

u

o

v

v

f





Przy wzajemnym ruchu źródła dźwięku i

obserwatora z powyższych wzorów dostaniemy:

,

0

f

u

u

z

o



v

v

f





(Górne znaki odnoszą się do zbliżania, dolne do oddalania źródła i obserwatora.)

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

B. Oleś

18

Efekt Dopplera dla fal dźwiękowych jest określony przez prędkość

ruchu źródła i odbiornika względem ośrodka, w którym rozchodzi

się dźwięk.

W głębinach morskich, gdzie nie dociera światło, łodzie podwodne używają
urządzeń zwanych sonarami, pozwalających im orientować się w otoczeniu

.

Fale akustyczne, emitowany przez sonar, po odbiciu od obiektu
powracają. Wykorzystanie efektu Dopplera pozwala dodatkowo określić
jego prędkość.

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

Zastosowania efektu Dopplera

B. Oleś

19

Zastosowanie ultradźwięków i
efektu Dopplera w medycynie –
USG do badanie przepływu krwi.

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

B. Oleś

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

20

5.4. Dudnienia

Co zaobserwujemy wzbudzając do drgań
dwa kamertony o różnych częstościach ?

Każdy z nich emituje ton, który rozprzestrzenia się w postaci fali

głosowej i dociera do naszego ucha. Drgania błony bębenkowej są

superpozycją dwu drgań harmonicznych:

),

(

sin

)

(

sin

)

,

(

)

,

(

2

2

1

1

2

1





























t

kx

A

t

kx

A

t

x

t

x

).

(

sin

)

(

sin

)

(

)

(

2

2

1

1

2

1

















t

A

t

A

t

x

t

x

x

wyp

B. Oleś

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

21

t

A

t

A

t

x

t

x

x

wyp

2

1

2

1

sin

sin

)

(

)

(













Rozważmy superpozycję dwu drgań harmonicznych o jednakowym

kierunku i zbliżonych częstościach



1

i



2

.

Dla uproszczenia przyjmujemy jednakowe amplitudy i fazy obu drgań równe zeru.

,

2

cos

2

sin

2

2

1

2

1

t

t

A



































.

sin

cos

2

śr

mod

t

t

A

x







,

2

2

1

śr











,

2

2

1

mod











.

cos

2

)

(

mod

mod

t

A

t

x





Dostaliśmy równanie drgania harmo-
nicznego o częstości



śr

i pulsującej,

wolnozmiennej amplitudzie:

T

mod

T

,

4π

/

π

2

2

1

śr













T

,

4π

/

π

2

2

1

mod

mod













T

B. Oleś

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

22

.

cos

4

)

(

mod

2

2

2

mod

t

A

t

x





T

mod

T

2

mod

x

t

1 dudnienie

Nasze ucho rejestruje kwadrat amplitudy, czyli:

Częstość powtarzania się

maksymalnego natężenia

dźwięku –

częstość

dudnień

- jest dwukrotnie

większa od częstości

modulacji:

,

2

2

1

mod

dud















Nasze ucho potrafi rozróżnić dwa dźwięki docierające do niego

równocześnie, jeśli różnią się częstotliwościami więcej niż o 6% ich

średniej wartości.

Jeśli różnią się o mniej niż o 10 Hz raczej nie zarejestrujemy ich

w postaci odrębnych tonów, lecz jako pojedynczy dźwięk o

częstotliwości f

śr

i wolnozmiennej amplitudzie.

Wykorzystanie dudnień przy strojeniu

instrumentów muzycznych.

B. Oleś

Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10

23

Wykorzystanie dudnień

przy strojeniu instrumentów muzycznych.

przy określaniu szybkości obiektów podwodą (częstotliwość fali

odbitej od poruszającego się obiektu różni się od częstotliwości fali

wysyłanej na skutek efektu Dopplera)

w angielskim gwizdku policyjnym (posiadającym dwie piszczałki!).

http://www.gdcanada.com/content/53ac10af-9e37-470f-a879-
f28cd680b11f/images/gdcanada-integrated-sonar-suite.jpg