Równania ró˙zniczkowe fizyki matematycznej
Jan Derezi´nski
Katedra Metod Matematycznych Fizyki
Wydział Fizyki, Uniwersytet Warszawski
e-mail derezins@fuw.edu.pl
Metody Matematyczne Fizyki B, skrypt II
rok 1999
Spis rzeczy
1
Równania ró˙zniczkowe w dziedzinie zespolonej
2
1.1
Punkty regularne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Punkt regularny w niesko ´nczono´sci
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Regularne punkty osobliwe.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Regularny punkt osobliwy w niesko ´nczono´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5
Wro ´nskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2
Równania typu hipergeometrycznego
12
2.1
Klasyfikacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2
Rozwi ˛
azania równania typu
0
F
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3
Rozwi ˛
azania równania konfluentnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.4
Rozwi ˛
azania równania hipergeometrycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3
Równanie Bessela
14
3.1
Równanie Bessela i pokrewne równania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.2
Reprezentacje całkowe rozwi ˛
aza ´n równania Bessela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.3
Funkcja Bessela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.4
Funkcje Bessela dla całkowitych parametrów
m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.5
Funkcje Hankela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.6
Dodatkowe reprezentacje całkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.7
Funkcja Neumanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.8
Zmodyfikowane równanie Bessela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.9
Relacje rekurencyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.10 Funkcje Bessela połówkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.11 Wro ´nskiany rozwi ˛
aza ´n równania Bessela
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.12 Równanie Helmholtza w 2 wymiarach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.13 Wzór składania Grafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.14 Równanie Airy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1
1
Równania ró˙zniczkowe w dziedzinie zespolonej
1.1
Punkty regularne
W tym rozdziale rozwa˙zamy równania ró˙zniczkowe pierwszego rz˛edu w
C
n
i drugiego rz˛edu w
C
. W
C
n
b˛e-
dziemy posługiwa´c si˛e norm ˛
a wektorów
k
v
k
=
0
@
n
X
j
=0
j
v
j
j
2
1
A
1
2
v
2
C
n
:
Je´sli
A
jest odwzorowaniem liniowym na
C
n
, to norma
A
jest zdefiniowana jako
k
A
k
:= sup
k
x
k=1
k
Ax
k
:
B˛edziemy rozwa˙za´c równanie ró˙zniczkowe
@
z
v(z) = A(z)v(z):
(1.1)
gdzie
v(z)
2
C
n
.
Definicja 1.1 Je´sli w (1.1) funkcja
A(z)
jest analityczna w
z
0
, to mówimy, ˙ze
z
0
jest regularnym punktem osobli-
wym tego równania.
Twierdzenie 1.2 Niech
b˛edzie spójnym jednospójnym zbiorem otwartym w
C
. Niech
3
z
7!
A(z) =
2
4
a
11
(
z) ::: a
1
n
(
z)
:::
a
n
1
(
z) ::: a
nn
(
z)
3
5
b˛edzie funkcj ˛
a holomorficzn ˛
a o warto´sciach w macierzach
n
n
i
w =
2
4
w
1
:::
w
n
3
5
2
C
n
. Wtedy istnieje jedna i
tylko jedna funkcja holomorficzna
3
z
7!
v(z) =
2
4
v
1
(
z)
:::
v
n
(
z)
3
5
2
C
n
b˛ed ˛
aca rozwi ˛
azaniem zagadnienia
(
d
v
(
z
)
d
z
=
A(z)v(z)
v(z
0
) =
w:
(1.2)
Dowód. Ograniczmy si˛e najpierw do koła
K(z
0
r)
takiego, ˙ze
K(z
0
r)
. Mo˙zna równie˙z zało˙zy ´c, ˙ze
z
0
= 0
.
Niech
A(z) =
1
X
k
=0
A
k
z
k
Wtedy szereg
v(z) :=
1
X
k
=0
v
k
z
k
2
gdzie
(
v
0
=
w
v
m
+1
:=
1
m
+1
P
m
k
=0
A
m
;
k
v
k
:
jest jedynym szeregiem formalnie spełniaj ˛
acym równanie (1.2).
Poka˙zmy, ˙ze szereg ten jest zbie˙zny w kole
K(0r)
. Wiemy z nierówno´sci Cauchy’ego, ˙ze
k
A
k
k
Cr
;
k
:
Je´sli poło˙zymy
(
p
0
=
k
w
k
p
m
+1
:=
1
m
+1
P
m
k
=0
Cr
;
m
+
k
p
k
to mo˙zemy dowie´s´c indukcyjnie, ˙ze
k
v
m
k
p
m
:
(1.3)
W rzeczy samej, mamy
k
v
0
k
=
p
0
:
Załó˙zmy, ˙ze
k
v
k
k
p
k
k = 0:::m:
Wtedy
k
v
m
+1
k
1
m
+1
P
m
k
=0
k
A
m
;
k
v
k
k
1
m
+1
P
m
k
=0
k
A
m
;
k
kk
v
k
k
1
m
+1
P
m
k
=0
Cr
k
;
m
p
k
=
p
m
+1
:
To ko ´nczy dowód (1.3).
Je´sli odejmiemy wzory
r(m + 1)p
m
+1
=
P
m
k
=0
Cr
;
m
+
k
+1
p
k
mp
m
=
P
m
;1
k
=0
Cr
;
m
+
k
+1
p
k
to dostaniemy
r(m + 1)p
m
+1
= (
Cr + m)p
m
:
Wynika st ˛
ad natychmiast ˙ze
lim
m
!1
p
m
+1
p
m
=
r
;1
:
Czyli na mocy kryterium d’Alemberta, szereg
1
X
k
=0
p
k
z
k
jest zbie˙zny w kole
K(0r)
. Zatem równie˙z szereg
1
X
k
=0
v
k
z
k
jest zbie˙zny w kole
K(0r)
.
Powy˙zsze rozumowanie mo˙zemy przeprowadzi ´c dla dowolnego koła zawartego w
. W ten sposób, ponie-
wa˙z
jest spójny, mo˙zemy przedłu˙zy ´c funkcj˛e
v(z)
na cały obszar
. Jego jednospójno´s´c gwarantuje, ˙ze nie
dostaniemy funkcji wieloznacznej.
2
3
Przykład 1.3
(
@
z
;
1)
v(z) = 0 v(0) = 1:
Podstawiamy
v(z) =
1
X
n
=0
v
n
z
n
:
Dostajemy wzór rekurencyjny;
nv
n
=
v
n
;1
:
Czyli
v(z) =
1
X
n
=0
z
n
n! z
2
C
:
Oczywi´scie,
v(z) = e
z
.
Przykład 1.4 Niech
2
C
,
z
6
=
;
1
;
@
z
;
(z + 1)
;1
v(z) v(0) = 1:
Podstawiamy
v(z) =
1
X
n
=0
v
n
z
n
:
Dostajemy wzór rekurencyjny;
nv
n
= (
;
n + 1)v
n
;1
:
Czyli
v(z) =
1
X
n
=0
:::(
;
n + 1)z
n
n!
j
z
j
< 1:
Oczywi´scie,
v(z) = (1 + z)
.
Rozwa˙zmy teraz równanie skalarne drugiego rz˛edu
;
@
2
z
+
c(z)@
z
+
d(z)
u(z) = 0:
(1.4)
Definicja 1.5 Mówimy, ˙ze punkt
z
0
jest regularnym punktem równania (1.4), je´sli
c(z)
i
d(z)
s ˛
a analityczne w
z
0
.
Stwierdzenie 1.6 Niech
c(z) d(z)
b˛ed ˛
a holomorficzne w spójnym jednospójnym zbiorze otwartym
. Wtedy
zagadnienie
(
;
@
2
z
+
c(z)@
z
+
d(z)
u(z) = 0
u(z
0
) =
w
0
@
z
u(z
0
) =
w
1
(1.5)
ma jedno i tylko jedno rozwi ˛
azanie w
.
Dowód. Zdefiniujmy
v(z) :=
u(z)
u
0
(
z)
w :=
w
0
w
1
oraz
A(z) :=
0
1
;
d(z)
;
c(z)
4
Wtedy (1.5) mo˙zemy przepisa ´c w postaci
(
d
v
(
z
)
d
z
=
A(z)v(z)
v(z
0
) =
w:
i zastosowa´c twierdzenie 1.2.
2
Podajmy jeszcze wzór rekurencyjny na współczynniki rozwini˛ecia
u(z) :=
1
X
k
=0
u
k
z
k
:
dla rozwi ˛
azania równania
;
b(z)@
2
z
+
c(z)@
z
+
d(z)
u(z) = 0
gdzie
b(0)
6
= 0
. Mamy:
(
u
0
=
w
0
u
1
=
w
1
P
m
k
=0
k(k
;
1)
u
k
b
m
;
k
+
P
m
;1
k
=0
kc
m
;
k
;1
u
k
+
P
m
;2
k
=0
d
m
;
k
;2
u
k
= 0
:
Przykład 1.7 Załó˙zmy, ˙ze
A(z)
jest macierz ˛
a
2
2
. Wtedy je´sli
v(z)
spełnia (1.1), to współrz˛edne
v
1
v
2
spełniaj ˛
a
równanie drugiego stopnia
(
@
2
z
;
Tr
A(z)@
z
+ det
A(z))u(z) = 0:
(1.6)
Załó˙zmy na przykład, ˙ze
A(z) = B + Cz
. Wtedy (1.6) przybiera posta´c
(
@
2
z
+ (
b
0
+
b
1
z)@
z
+
c
0
+
c
1
z + c
2
z
2
)
u(z) = 0
gdzie
b
0
=
;
Tr
B b
1
=
;
Tr
C
c
0
= det
B c
1
= det(
B + C)
;
det
B
;
det
C c
2
= det
C:
1.2
Punkt regularny w niesko´nczono´sci
Definicja 1.8 Załó˙zmy, ˙ze
A(z)
jest zdefiniowane dla
j
z
j
> R
. Mówimy, ˙ze
1
jest punktem regularnym równania
(1.1), gdy po zamianie zmiennych
w = z
;1
dostajemy punkt regularny w
0
.
Oczywi´scie,
@
z
=
;
w
2
@
w
. Dlatego po zamianie zmiennych (1.1) zmienia si˛e w równanie
@
w
v(w
;1
) =
;
w
;2
A(w
;1
)
v(w
;1
)
:
Dlatego
1
jest punktem regularnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica
lim
z
!1
z
2
A(z):
Twierdzenie 1.9 Niech
1
b˛edzie regularnym punktem osobliwym. Wtedy dla zadanego
w
2
C
n
, istnieje dokład-
nie jedno analityczne w niesko´nczono´sci rozwi ˛
azanie zagadnienia
(
d
v
(
z
)
d
z
=
A(z)v(z)
lim
z
!1
v(z) = w:
(1.7)
Rozwa˙zmy teraz równania drugiego rz˛edu postaci (1.4).
5
Definicja 1.10 Załó˙zmy, ˙ze
c(z)
,
d(z)
s ˛
a zdefiniowane dla
j
z
j
> R
. Mówimy, ˙ze
1
jest punktem regularnym
równania (1.4), gdy po zamianie zmiennych
w = z
;1
dostajemy punkt regularny w
0
.
Zamiana zmiennych prowadzi do równania
@
2
w
+ (2
w
;1
;
w
;2
c(w
;1
))
@
w
+
w
;4
d(w
;1
)
u(w
;1
) = 0
:
Zatem
1
jest punktem regularnym, gdy istniej ˛
a granice
lim
z
!1
(2
z
;
z
2
c(z)) lim
z
!1
z
4
d(z):
Twierdzenie 1.11 Niech
1
b˛edzie regularnym punktem równania. Wtedy dla zadanych
w
0
,
w
1
istnieje dokładnie
jedno analityczne w niesko´nczono´sci rozwi ˛
azanie zagadnienia
(
;
@
2
z
+
c(z)@
z
+
d(z)
u(z) = 0
lim
z
!1
u(z) = w
0
lim
z
!1
(
u(z)
;
w
0
)
z = w
1
:
(1.8)
1.3
Regularne punkty osobliwe.
Rozwa˙zmy teraz równanie ró˙zniczkowe (1.2) dla którego prawa strona ma osobliwo ´sci.
Definicja 1.12 Mówimy, ˙ze równanie
d
v(z)
d
z =
~A(z)v(z)
(1.9)
ma w
z
0
regularny punkt osobliwy, gdy
A(z)
ma w
z
0
biegun co najwy˙zej pierwszego rz˛edu.
Mo˙zna wtedy zapisa´c (1.2) w postaci
(
z
;
z
0
)
@
z
v(z) = A(z)v(z)
gdzie
A(z)
jest holomorficzne w otoczeniu
z
0
. Warto´sci własne macierzy
A(z
0
)
nazywamy indeksami punktu
osobliwego
z
0
. Opiszmy teraz metod˛e znajdowania rozwi ˛
aza ´n wokół regularnego punktu osobliwego. Dla uprosz-
czenia przyjmiemy, ˙ze tym punktem jest
0
.
Twierdzenie 1.13 Niech
b˛edzie spójnym jednospójnym zbiorem otwartymn w
C
zawieraj ˛
acym
0
. Niech
3
z
7!
A(z) =
2
4
a
11
(
z) ::: a
1
n
(
z)
:::
a
n
1
(
z) ::: a
nn
(
z)
3
5
b˛edzie funkcj ˛
a holomorficzn ˛
a o warto´sciach w macierzach
n
n
. Niech
w
2
C
n
i
2
C
spełniaj ˛
a
(
A(0)
;
)w = 0
+ m
nie jest warto´sci ˛
a własn ˛
a
A(0)
dla
m = 12::::
(1.10)
Wtedy istnieje jedna i tylko jedna funkcja
~
v(z)
holomorficzna na
taka, ˙ze
v(z) := z
~
v(z)
jest rozwi ˛
azaniem
równania
8
<
:
z
d
v
(
z
)
d
z
=
A(z)v(z)
lim
z
!0
z
;
v(z) = w:
(1.11)
6
Dowód. Ograniczmy si˛e najpierw do koła
K(0r)
takiej, ˙ze
K(0r)
.
Niech
A(z) =
1
X
k
=0
A
k
z
k
Wtedy szereg
v(z) := z
1
X
k
=0
v
k
z
k
gdzie
(
v
0
=
w
v
m
:= (
+ m
;
A
0
)
;1
P
m
;1
k
=0
A
m
;
k
v
k
:
jest jedynym szeregiem formalnie spełniaj ˛
acym równanie (1.11).
Poka˙zemy, ˙ze szereg ten jest zbie˙zny w kole
K(0r)
. Wiemy z nierówno´sci Cauchy’ego, ˙ze
k
A
k
k
Cr
;
k
:
Je´sli poło˙zymy
(
p
0
=
k
w
k
p
m
:=
(
+ m
;
A
0
)
;1
P
m
;1
k
=0
Cr
;
m
+
k
p
k
to mo˙zemy dowie´s´c indukcyjnie, ˙ze
k
v
m
k
p
m
:
Je´sli odejmiemy wzory
r
(
+ m + 1
;
A
0
)
;1
;1
p
m
+1
=
P
m
k
=0
Cr
;
m
+
k
p
k
(
+ m
;
A
0
)
;1
;1
p
m
=
P
m
;1
k
=0
Cr
;
m
+
k
p
k
to dostaniemy
r
(
+ m + 1
;
A
0
)
;1
;1
p
m
+1
=
C +
(
+ m
;
A
0
)
;1
;1
)
p
m
:
Łatwo si˛e przekona´c, ˙ze
lim
m
!1
m
(
+ m
;
A
0
)
;1
= 1
:
Wynika st ˛
ad natychmiast ˙ze
lim
m
!1
p
m
+1
p
m
=
r
;1
:
Czyli na mocy kryterium d’Alemberta, szereg definiuj ˛
acy
v(z)
jest zbie˙zny w kole
K(0r)
.
Stosuj ˛
ac Twierdzenie 1.2 mo˙zemy przedłu˙zy ´c
~
v(z)
na cały obszar
.
2
Rozwa˙zymy teraz równania drugiego rz˛edu.
Definicja 1.14 Mówimy, ˙ze równanie
@
2
z
+~
b(z)@
z
+ ~
c(z)
u(z) = 0
ma w
z
0
regularny punkt osobliwy, gdy
~b(z)
ma w
z
0
biegun co najwy˙zej pierwszego rz˛edu a
~
c(z)
ma w
z
0
biegun
co najwy˙zej drugiego rz˛edu
7
Dla uproszczenia załó˙zmy, ˙ze
z
0
= 0
. Mo˙zemy wtedy zapisa´c powy˙zsze równanie w formie:
;
z
2
@
2
z
+
b(z)z@
z
+
c(z)
u(z) = 0:
Stwierdzenie 1.15 Niech
b(z) c(z)
b˛ed ˛
a holomorficzne w jednospójnym obszarze
zawieraj ˛
acym
0
. Niech
2
C
spełnia
(
;
1) +
b(0) + c(0) = 0
(
+ m)( + m
;
1) + (
+ m)b(0) + c(0)
6
= 0
m = 12::::
Wtedy istnieje jedna i tylko jedna funkcja
~
u(z)
holomorficzna w
, taka, ˙ze
u(z) := z
~
u(z)
jest rozwi ˛
azaniem
zagadnienia
8
<
:
;
z
2
@
2
z
+
b(z)z@
z
+
c(z)
u(z) = 0
lim
z
!0
z
;
u(z) = 1
(1.12)
Dowód. Zdefiniujmy
v(z) :=
u(z)
zu
0
(
z)
w :=
1
oraz
A(z) :=
0
1
;
c(z) 1
;
b(z)
:
Mamy wtedy
A(z)v(z) =
zu
0
(
z)
;
c(z)u(z)
;
b(z)zu
0
(
z) + zu
0
(
z)
z@
z
u(z)
zu
0
(
z)
=
zu
0
(
z)
z
2
u
00
(
z) + zu
0
(
z)
z
;
v(z) =
~
u(z)
z~u
0
(
z) + ~u(z)
:
Zatem (1.12) mo˙zemy przepisa ´c w postaci
8
<
:
z
d
v
(
z
)
d
z
=
A(z)v(z)
lim
z
!0
z
;
v(z) = w:
i zastosowa´c twierdzenie 1.13.
2
Podajmy jeszcze wzór rekurencyjny na współczynniki rozwini˛ecia
u(z) :=
1
X
k
=0
u
k
z
+
k
dla równania
;
a(z)z
2
@
2
z
+
b(z)z@
z
+
c(z)
u(z) = 0
gdzie
a(0)
6
= 0
. Mamy:
8
>
>
>
<
>
>
>
:
u
0
= 1
u
m
=
;
((
+ m)( + m
;
1)
a
0
+ (
+ m)b
0
+
c
0
)
;1
P
m
;1
k
=0
;
(
+ k)( + k
;
1)
a
m
;
k
+ (
+ k)b
m
;
k
+
c
m
;
k
u
k
:
8
Czyli, je´sli szukamy rozwi ˛
aza ´n równania postaci
;
a(z)z
2
@
2
z
+
b(z)z@
z
+
c(z)
u(z) = 0
gdzie
a(0)
6
= 0
, to najpierw powinni´smy znale˙z´c pierwiastki
1
2
tak zwanego równania wska´znikowego:
(
;
1)
a(0) + b(0) + c(0) = 0:
Je´sli
1
;
2
62
Z
, to mo˙zemy znale˙z´c dwa liniowo niezale˙zne rozwi ˛
azania zachowuj ˛
ace si˛e w zerze jak
z
1
i
z
1
.
Je´sli
1
;
2
2
Z
, to w ogólno´sci mo˙zemy wy˙zej opisan ˛
a metod ˛
a znale˙z ´c tylko rozwi ˛
azanie o zachowaniu
z
1
,
gdzie
1
;
2
0
.
Przykład 1.16 Niech
G
,
H
b˛ed ˛
a macierzami
n
n
. Wtedy nast˛epuj ˛
ace równanie ma regularny punkt osbliwy w
0
:
@
z
v(z) = (Gz
;1
+
H)v(z):
Je´sli
n = 2
, to równanie na współrz˛edne
v
1
v
2
ma posta´c:
(
z
2
@
2
z
+ (
b
1
z + b
2
z
2
)
@
z
+
c
0
+
c
1
z + c
2
z
2
)
u(z) = 0
gdzie
b
1
=
;
Tr
G b
2
=
;
Tr
H
c
0
= det
G c
1
= det(
G + H)
;
det
G
;
det
H c
2
= det
H:
1.4
Regularny punkt osobliwy w niesko´nczono´sci
Definicja 1.17 Załó˙zmy, ˙ze
~A(z)
jest zdefiniowane dla
j
z
j
> R
. Mówimy, ˙ze
1
jest regularnym punktem osobli-
wym równania (1.9), gdy po zamianie zmiennych
w = z
;1
dostajemy regularny punkt osobliwy w
0
.
?latwo zauwa˙zy´c, ˙ze równanie (1.9) ma regularny punkt osobliwy w
1
, gdy istnieje granica
lim
z
!1
z ~A(z):
Wtedy mo˙zemy przepisa´c równanie (1.9) w postaci
z@
z
v(z) = A(z)v(z)
gdzie
A(z)
jest analityczne w
1
. Warto´sci własne
;
A(
1
)
nazywamy indeksami punktu
1
.
Twierdzenie 1.18 Niech
b˛edzie spójnym jednospójnym zbiorem otwartym w
C
zawieraj ˛
acym
1
. Niech
3
z
7!
A(z) =
2
4
a
11
(
z) ::: a
1
n
(
z)
:::
a
n
1
(
z) ::: a
nn
(
z)
3
5
b˛edzie funkcj ˛
a holomorficzn ˛
a o warto´sciach w macierzach
n
n
. Niech
w
2
C
n
i
2
C
spełniaj ˛
a
(
A(
1
) +
)w = 0
+ m
nie jest warto´sci ˛
a własn ˛
a
A(
1
)
dla
m = 12::::
(1.13)
Wtedy istnieje jedna i tylko jedna funkcja
~
v(z)
holomorficzna na
taka, ˙ze
v(z) := z
;
~
v(z)
jest rozwi ˛
azaniem
równania
8
<
:
z
d
v
(
z
)
d
z
=
A(z)v(z)
lim
z
!1
z
v(z) = w:
(1.14)
9
Przykład 1.19 Ka˙zde równanie pierwszego rz˛edu, które w
C
ma wył ˛
acznie punkty regularne prócz regularnych
punktów osobliwych w
z
1
,
z
2
i
1
jest postaci
@
z
v(z) =
A
1
(
z
;
z
1
)
;1
+
A
2
(
z
;
z
2
)
;1
v(z)
(1.15)
Je´sli
n = 1
,
A
1
=
a
1
,
A
2
=
a
2
, to ma ono indeksy
z
1
:
a
1
z
2
:
a
2
1
:
;
a
1
;
a
2
i rozwi ˛
azanie
(
z
;
z
1
)
a
1
(
z
;
z
2
)
a
2
.
Je´sli
n = 2
, to współrz˛edne spełniaj ˛
a równanie
@
2
z
+
g
1
(
z
;
z
1
)
;1
+
g
2
(
z
;
z
2
)
;1
@
z
+
h
1
(
z
;
z
1
)
;2
+
h
2
(
z
;
z
2
)
;2
+
h(z
;
z
1
)
;1
(
z
;
z
2
)
;1
u(z) = 0:
gdzie
g
1
=
;
Tr
A
1
g
2
=
;
Tr
A
2
h
1
= det
A
1
h = det(A
1
+
A
2
)
;
det
A
1
;
det
A
2
h
2
= det
A
2
:
(Patrz (1.22)).
Stwierdzenie 1.20 Niech
b(z) c(z)
b˛ed ˛
a holomorficzne w jednospójnym spójnym zbiorze otwartym
C
za-
wieraj ˛
acym
1
. Niech
2
C
spełnia
( + 1)
;
b(
1
) +
c(
1
) = 0
(
+ m)( + m + 1)
;
(
+ m)b(
1
) +
c(
1
)
6
= 0
m = 12::::
Wtedy istnieje jedna i tylko jedna funkcja
~
u(z)
holomorficzna w
, taka, ˙ze
u(z) := z
;
~
u(z)
jest rozwi ˛
azaniem
równania
(
;
z
2
@
2
z
+
b(z)z@
z
+
c(z)
u(z) = 0
lim
z
!1
z
u(z) = 1
(1.16)
Przykład 1.21 Ka˙zde równanie drugiego rz˛edu, które w
C
ma wył ˛
acznie punkty regularne prócz regularnych
punktów osobliwych w
0
i
1
jest postaci
(
z
2
@
2
z
+
bz@
c
+
c)u(z) = 0:
(1.17)
Bywa ono nazywane równaniem jednorodnym Eulera. Jego równania wska´znikowe maj ˛
a posta´c
0 :
(
;
1) +
b + c = 0
1
:
( + 1)
;
b + c = 0:
Je´sli
~
s ˛
a indeksami równania w
0
, to
;
;
~
s ˛
a indeksami w
1
. Rozwi ˛
azania s ˛
a równe
z
,
z
~
je´sli
6
= ~
i
z
,
z
log
z
gdy
= ~
. Mo˙zna równanie (1.17) zapisa´c w postaci
(
z
2
@
z
+ (1
;
;
~
)z@
z
+
~ )u(z) = 0:
10
Przykład 1.22 Ka˙zde równanie drugiego rz˛edu, które w
C
ma wył ˛
acznie punkty regularne prócz regularnych
punktów osobliwych w
z
1
i
z
2
jest postaci
@
2
z
+
g
1
(
z
;
z
1
)
;1
+
g
2
(
z
;
z
2
)
;1
@
z
+
h(z
;
z
1
)
;2
(
z
;
z
2
)
;2
u(z) = 0
(1.18)
gdzie
g
1
+
g
2
= 2
. Mamy równania wska´znikowe
z
1
:
(
;
1) +
g
1
+ h(z
1
;
z
2
)
;2
= 0
z
2
:
(
;
1) +
g
2
+ h(z
1
;
z
2
)
;2
= 0
:
Je´sli
~
s ˛
a indeksami w
z
1
, to
;
;
~
s ˛
a indeksami w
z
2
. Rozwi ˛
azania maj ˛
a posta´c
(
z
;
z
1
)
(
z
;
z
2
)
;
,
(
z
;
z
1
)
~
(
z
;
z
2
)
;
~
, je´sli
6
= ~
i
(
z
;
z
1
)
(
z
;
z
2
)
;
,
(
z
;
z
1
)
(
z
;
z
2
)
;
log(
z
;
z
1
)(
z
;
z
2
)
;1
, je´sli
= ~
.
Rownanie (1.18) mo˙zna przepisa´c w postaci
@
2
z
+
(1
;
;
~
)(z
;
z
1
)
;1
+ (1 +
+ ~ )(z
;
z
2
)
;1
@
z
+
~ (z
1
;
z
2
)
2
(
z
;
z
1
)
;2
(
z
;
z
2
)
;2
u(z) = 0:
Przykład 1.23 Ka˙zde równanie drugiego rz˛edu, które w
C
ma wył ˛
acznie punkty regularne prócz regularnych
punktów osobliwych w
z
1
,
z
2
i
1
jest postaci
@
2
z
+
g
1
(
z
;
z
1
)
;1
+
g
2
(
z
;
z
2
)
;1
@
z
+
h
1
(
z
;
z
1
)
;2
+
h
2
(
z
;
z
2
)
;2
+
h(z
;
z
1
)
;1
(
z
;
z
2
)
;1
u(z) = 0:
(1.19)
Jest to szczególna posta´c równania Riemanna (albo równania Riemanna-Papperitza) Mamy równania wska´z-
nikowe
z
1
:
(
;
1) +
g
1
+ h
1
= 0
z
2
:
(
;
1) +
g
2
+ h
2
= 0
1
:
( + 1)
;
(
g
1
+
g
2
)
+ h
1
+
h
2
+
h = 0:
Je´sli
1
,
~
1
s ˛
a indeksami w
z
1
,
2
,
~
2
s ˛
a indeksami w
z
2
i
3
,
~
3
s ˛
a indeksami w
1
, to
1
+ ~
1
+
2
+ ~
2
+
3
+ ~
3
= 1
:
(1.20)
Równanie (1.19) mo˙zna zapisa´c w postaci
@
2
z
+
(1
;
1
;
~
1
)(
z
;
z
1
)
;1
+ (1
;
2
;
~
2
)(
z
;
z
2
)
;1
@
z
+
1
~
1
(
z
1
;
z
2
)(
z
;
z
1
)
;2
(
z
;
z
2
)
;1
+
2
~
2
(
z
2
;
z
1
)(
z
;
z
2
)
;2
(
z
;
z
1
)
;1
+
3
~
3
(
z
;
z
1
)
;1
(
z
;
z
2
)
;1
u(z) = 0:
(1.21)
Oznaczmy operator ró˙zniczkowy wyst˛epuj ˛
acy w (1.21) przez
P
2
4
z
1
z
2
1
1
2
3
~
1
~
2
~
3
3
5
:
11
Wtedy przez podstawienie
u(z
1
(1
;
t) + z
2
t) = t
1
(1
;
t)
2
równanie (1.21) przechodzi w
P
2
4
0
1
1
0
0
3
;
1
;
2
~
1
;
1
~
2
;
2
~
3
;
rho
1
;
2
3
5
w(t) = 0:
(1.22)
Równanie (1.22) mo˙zna parametryzowa´c trzema dowolnymi liczbami
abc
:
P
2
4
0
1
1
0
0
a
1
;
c c
;
a
;
b b
3
5
w(t) = 0:
(1.23)
Je´sli pomno˙zymy (1.23) prez
t(1
;
t)
, to dostajemy równanie hipergeometryczne (Patrz podrozdział (2.4)).
1.5
Wro ´nskian
Niech
u
1
(
z)
,
u
2
(
z)
b˛edzie par ˛
a rozwi ˛
aza ´n równania
;
@
2
z
+
b(z)@
z
+
c(z)
u(z) = 0:
Wro´nskian tej pary jest zdefiniowany jako
W(u
1
u
2
)(
z) = W(z) := u
1
(
z)u
0
2
(
z)
;
u
0
1
(
z)u
2
(
z):
Spełnia on równanie
;
@
z
+
b(z)
W(z) = 0:
Je´sli
~
u
1
(
z) = a
11
u
1
(
z) + a
12
u
2
(
z)
~
u
2
(
z) = a
21
u
1
(
z) + a
22
u
2
(
z)
jest drug ˛
a par ˛
a rozwi ˛
aza ´n, to mamy
W(~u
1
~u
2
) = (
a
11
a
22
;
a
12
a
21
)
W(u
1
u
2
)
:
2
Równania typu hipergeometrycznego
2.1
Klasyfikacja
Nast˛epuj ˛
ace równania stanowi klas˛e równa´n typu hipergeometrycznego.
;
(z)@
2
z
+
(z)@
z
+
u(z) = 0
(2.24)
gdzie
(z) (z)
s ˛
a wielomianami takimi, ˙ze
deg(
)
2
deg( )
1
:
Niech
(z)
spełnia
(
(z)
;
(z) +
0
(
z)) (z) = 0
(2.25)
(co definiuje
(z)
z dokładno´sci ˛
a do czynnika). Wtedy (2.24) jest równowa˙zne
;
;1
(
z)@
z
(z) (z)@
z
+
u(z) = 0:
(2.26)
Sklasyfikujmy typy (2.24) przy zało˙zeniu
(z)
6
= 0
.
12
Typ 0.0
deg
= 0
,
deg
= 0
(równanie ze stałymi współczynnikami).
(
@
2
z
+
c@
z
+
a)u(z) = 0 (z) = e
cz
:
Od tej chwili b˛edziemy upraszczali równania dziel ˛
ac przez stał ˛
a, stosuj ˛
ac translacj˛e i skalowanie.
Typ 0.1
deg
= 0
,
deg
= 1
(równanie Hermite’a)
(
@
2
z
;
2
z@
z
+ 2
a)u(z) = 0 (z) = e
;
z
2
:
Typ 1.0a
deg
= 1
,
deg
= 0
,
= 0
(redukuje si˛e do równania 1-go stopnia)
(
z@
2
z
+
c@
z
)
u(z) = 0 (z) = z
c
;1
:
Typ 1.0b
deg
= 1
,
deg
= 0
,
6
= 0
(równanie hipergeometric typu
0
F
1
, równowa˙zne równaniu Bessela).
(
z@
2
z
+
c@
z
;
1)
u(z) = 0 (z) = z
c
;1
:
Typ 1.1
deg
= 1
,
deg
= 1
, (równanie hipergeometryczne typu
1
F
1
, czyli równanie konfluentne).
(
z@
2
z
+ (
c
;
z)@
z
;
a)u(z) = 0 (z) = e
;
z
z
c
;1
:
Typ 2.1a
deg
= 2
,
(z)
ma podwójny pierwiastek w
z
0
,
(z
0
) = 0
(“równanie jednorodne” Eulera).
;
z
2
@
2
z
+
bz@
z
+
a
u(z) = 0 (z) = z
b
;2
:
Typ 2.1b
deg
= 2
,
(z)
ma podwójny pierwiastek w
z
0
,
(z
0
)
6
= 0
(równanie hipergeometryczne typu
2
F
0
równowa˙zne
równaniu konfluentnemu).
;
z
2
@
2
z
+ (1 + (1 +
a + b)z)@
z
+
ab
u(z) = 0 (z) = z
a
+
b
;1
e
;
1
z
Typ 2.2
deg
= 2
,
(z)
ma 2 ró˙zne pierwiastki (równanie hipergeometryczne typu
2
F
1
, lub po prostu równanie hiperge-
ometryczne).
;
z(1
;
z)@
2
z
+ (
c
;
(
a + b + 1)z)@
z
;
ab
u(z) = 0 (z) = z
c
;1
(1
;
z)
a
+
b
;
c
:
2.2
Rozwi ˛
azania równania typu
0
F
1
(
z@
2
z
+
c@
z
;
1)
u(z) = 0
ma w 0 indeksy
0
,
1
;
c
. Równanie na współczynniki szeregu
a
n
(
n + )(n +
;
1 +
c) = a
n
;1
:
Rozwi ˛
azania
F(
;
c z) =
P
1
n
=0
1
n
!(
c
)
n
z
n
z
1;
c
F(
;
2
;
c z) =
P
1
n
=0
1
n
!(2;
c
)
n
z
1;
c
+
n
:
13
2.3
Rozwi ˛
azania równania konfluentnego
(
z@
2
z
+ (
c
;
z)@
z
;
a)u(z) = 0
ma w 0 indeksy
0
,
1
;
c
. Równanie na współczynniki szeregu
a
n
(
n + )(n +
;
1 +
c) = (n +
;
1 +
a)a
n
;1
:
Rozwi ˛
azania
F(a c z) =
P
1
n
=0
(
a
)
n
n
!(
c
)
n
z
n
z
1;
c
F(a
;
c + 1 2
;
c z) =
P
1
n
=0
(
a
;
c
+1)
n
n
!(2;
c
)
n
z
1;
c
+
n
:
2.4
Rozwi ˛
azania równania hipergeometrycznego
;
z(1
;
z)@
2
z
+ (
c
;
(
a + b + 1)z)@
z
;
ab
u(z) = 0
ma w 0 indeksy
0
,
1
;
c
. Równanie na współczynniki szeregu
a
n
(
n + )(n +
;
1 +
c) = (n +
;
1 +
a)(n +
;
1 +
b)a
n
;1
:
Rozwi ˛
azania
F(ab c z) =
P
1
n
=0
(
a
)
n
(
b
)
n
n
!(
c
)
n
z
n
z
1;
c
F(a
;
c + 1b
;
c + 1 2
;
c z) =
P
1
n
=0
(
a
;
c
+1)
n
(
b
;
c
+1)
n
n
!(2;
c
)
n
z
1;
c
+
n
:
3
Równanie Bessela
3.1
Równanie Bessela i pokrewne równania
Równanie Bessela ma posta´c
(
z
2
@
2
z
+
z@
z
+
z
2
;
m
2
)
v(z) = 0:
W zastosowaniach cz˛esto spotyka si˛e
d
-wymiarowe równanie Bessela:
(
z
2
@
2
z
+ (
d
;
1)
z@
z
+
z
2
;
l(l + d
;
2))
u(z) = 0:
Podstawiaj ˛
ac
u(z) = z
1;
d
2
v(z)
sprowadzamy je do równania Bessela:
(
z
2
@
2
z
+
z@
z
+
z
2
;
(
l +
d
2
;
1)
2
)
v(z) = 0:
Podstawienie do równania Bessela
v(z) = z
m
~
v(z)
prowadzi do równania
(
z@
2
z
+ (1 + 2
m)@
z
+
z)~v(z) = 0:
(3.27)
Podstawienie
v(z) = (
z
2
)
m
u(
;
z
2
4
)
c = 1 + m t =
;
z
2
4
14
prowadzi do równania typu hipergeometrycznego
(
t@
2
t
+
c@
t
;
1)
u(t) = 0:
Podstawienie
p
zv(z) = w(z)
prowadzi do równania Schrödingera postaci
@
2
z
+ (
1
4
;
m
2
)
1
z
2
+ 1
w(z) = 0:
(3.28)
Bardziej ogólnie: podstawienie
p
tv(t
) =
w(t)
prowadzi do równania Schrödingera postaci
@
2
t
+ (
t
;1
)
2
+ (
1
4
;
m
2
2
)
1
t
2
+ 1
w(t) = 0:
(3.29)
Z tego wynika, ˙ze je´sli
v
1
+1
jest rozwi ˛
azaniem równania Bessela z parametrem
1
+1
, to
u(t) =
p
tv
1
+1
2
+ 2t
1+
2
jest rozwi ˛
azaniem równania
(
@
2
t
+
t
)
u = 0:
3.2
Reprezentacje całkowe rozwi ˛
aza´n równania Bessela
Rozwi ˛
aza´n równania Bessela mo˙zna szuka´c w postaci nast˛epuj ˛
acych całek.
Twierdzenie 3.1 Przedstawienia typu Bessela–Schläfli Niech
b˛edzie konturem (na powierzchni Riemanna
funkcji
t
7!
t
;
m
. Załó˙zmy,˙ze
z
2(t + t
;1
) +
m
exp
z
2(t
;
t
;1
)
1
t
m
(1)
(0)
= 0
(3.30)
Wtedy dla dowolnej stałej
C
C
Z
exp
z
2(t
;
t
;1
)
d
t
t
m
+1
(3.31)
jest rozwi ˛
azaniem równania Bessela.
Dowód. Najpierw stosujemy ró˙zniczkowanie całki po parametrze
z
:
(
z
2
@
2
z
+
z@
z
+
z
2
;
m
2
)
R
exp
;
z
2
(
t
;
t
;1
)
d
t
t
m
+1
=
R
;
z
2
2
;
t
;
t
;1
2
+
z
2
;
t
;
t
;1
+
z
2
;
m
2
exp
;
z
2
(
t
;
t
;1
)
d
t
t
m
+1
:
(3.32)
Z drugiej strony, poniewa˙z całka z pochodnej jest ró˙znic ˛
a warto ´sci funkcji na ko ´ncach konturu, dostajemy
0 =
;
z
2
(
t + t
;1
) +
m
exp
;
z
2
(
t
;
t
;1
)
1
t
m
(1)
(0)
=
R
@
t
;;
z
2
(
t + t
;1
) +
m
exp
;
z
2
(
t
;
t
;1
)
1
t
m
d
t
=
R
;
z
2
2
;
t + t
;1
2
+
z
2
;
t
;
t
;1
;
m
2
exp
;
z
2
(
t
;
t
;1
)
d
t
t
m
+1
:
(3.33)
Łatwo wida´c, ˙ze (3.32) jest równe (3.33).
2
Istnieje te˙z druga nierównowa˙zna klasa reprezentacji całkowych.
15
Twierdzenie 3.2 Przedstawienia typu Poissona Niech
(1
;
t
2
)
m
+
1
2
e
i
zt
(1)
(0)
= 0
:
Wtedy
v(z) = z
m
Z
(1
;
t
2
)
m
;
1
2
e
i
zt
d
t
jest rozwi ˛
azaniem równania Bessela.
Dowód.
(
z
2
@
2
z
+
z@
z
+
z
2
;
m
2
)
v(z)
=
m(m
;
1)
v(z) + 2miz
m
+1
R
(1
;
t
2
)
m
;
1
2
e
i
zt
tdt
;
z
m
+2
R
(1
;
t
2
)
m
;
1
2
e
i
zt
t
2
d
t
+
mv(z) + iz
m
+1
R
(1
;
t
2
)
m
;
1
2
e
i
zt
tdt + (z
2
;
m
2
)
v(z)
= 2i(
m +
1
2
)
z
m
+1
R
(1
;
t
2
)
m
;
1
2
e
i
zt
tdt + z
m
+2
R
(1
;
t
2
)
m
+
1
2
e
i
zt
d
t
=
;
z
m
+1
i
R
@
t
(1
;
t
2
)
m
+
1
2
e
i
zt
d
t = 0
3.3
Funkcja Bessela
Równanie Bessela ma w
0
regularny punkt osobliwy z równaniem wska´znikowym
(
;
1) +
;
m
2
= 0
:
Indeksy równania Bessela w
0
s ˛
a równe
=
m
.
Metoda opisana w Stwierdzeniu 1.15 pozwala na znalezienie rozwi ˛
aza ´n równania Bessela postaci
v(z) =
1
X
k
=0
v
k
z
k
+
m
przynajmniej wtedy, gdy
+
;
;
=
m
;
(
;
m) = 2m
6
=
;
1
;
2
:::
.
Mamy nast˛epuj ˛
ace równanie rekurencyjne na współczynniki
v
k
;
(
m + k)(m + k
;
1) + (
m + k)
;
m
2
+
v
k
;2
= 0
:
Czyli
v
k
=
;
v
k
;2
k(2m + k):
J´sli
m
6
=
;
1
;
2
:::
, to mamy nast˛epuj ˛
ace rozwi ˛
azanie rekurencji:
v
2
n
+1
= 0
v
2
n
=
(;1)
n
v
0
2
2
n
n
!(
m
+1)
:::
(
m
+
n
)
:
(Je´sli dodatkowo
m
6
=
;
1
2
;
3
2
:::
, to jest to jedyne rozwi ˛
azanie). Tradycyjnie zakładamy, ˙ze
v
0
:=
1
2
m
;(
m
+1)
i
dostajemy
v
2
n
=
(
;
1)
n
2
2
n
+
m
n!;(m + n + 1):
Zauwa˙zmy, ˙ze w ten sposób zdefiniowane
v
k
jest dobrze okre´slone dla ka˙zdego
m
. Prowadzi to do nast˛epuj ˛
acej
definicji.
16
Definicja 3.3 Funkcj ˛
a Bessela
J
m
(
z)
nazywamy
J
m
(
z) =
1
X
n
=0
(
;
1)
n
;
z
2
2
n
+
m
n!;(m + n + 1):
Funkcja Bessela
J
m
jest rozwi ˛
azaniem równania Bessela z parametrem
m
. Zauwa˙zmy, ˙ze
1
;(
m
+1)
6
= 0
dla
m
6
=
;
1
;
2
:::
Dla
2
m
6
=
;
1
;
2
:::
funkcja
J
m
jest jedynym rozwi ˛
azaniem równania Bessela spełniaj ˛
acym
J
m
(
z)
z
2
m
1
;(
m + 1) z
0
co mo˙ze by´c traktowane jako definicja funkcji Bessela. (Przez
f(z)
g(z)
,
z
0
rozumiemy, ˙ze
f
(
z
)
g
(
z
)
jest
analityczne w zerze i równe w zerze
1
Je´sli
m
62
Z
, to funkcje
J
;
m
(
z)
i
J
m
(
z)
s ˛
a liniowo niezale˙zne i rozpinaj ˛
a przestrze ´n rozwi ˛
aza ´n równania
Bessela.
Dla dowolnego
m
mamy nast˛epuj ˛
ac ˛
a reprezentacj˛e całkow ˛
a funkcji Bessela.
Twierdzenie 3.4 Je´sli
Re
z > 0
, to
J
m
(
z) =
1
2
i
R
];1
0
+
;1
exp
;
z
2
(
t
;
t
;1
)
d
t
t
m
+1
=
1
2
i
;
z
2
m
R
];1
0
+
;1
exp
s
;
z
2
4
s
d
s
s
m
+1
:
(3.34)
Dowód. Poniewa˙z
lim
Re
t
!;1
z
2(t + t
;1
) +
m
exp
z
2(t
;
t
;1
)
1
t
m
= 0
zatem spełniony jest warunek (3.30) dla konturu
]
;
1
0
+
;1
i
v(z) = C
Z
];1
0
+
;1
exp
z
2(t
;
t
;1
)
d
t
t
m
+1
jest rozwi ˛
azaniem równania Bessela.
Przez podstawienie
s =
zt
2
dostajemy
v(z) = C
z
2
m
Z
];1
0
+
;1
exp
s
;
z
2
4
s
d
s
s
m
+1
:
Zatem
lim
z
!0
v(z)
z
2
;
m
=
C
Z
];1
0
+
;1
e
s
d
s
s
m
+1
=
C 2i
;(
m + 1):
Czyli je´sli
C =
1
2
i
i
m
6
=
;
1
;
2
:::
, to
v(z) = J
m
(
z):
Na
m =
;
1
;
2
:::
rozszerzamy t˛e równo´s´c przez ci ˛
agło´s´c.
2
Je´sli
0
< argz <
, to odpowiednim konturem w (3.34) jest
]i
1
0
+
i
1
.
Poprzez wybór odpowiedniego konturu i jego parametryzacji w Twierdzeniu 3.1 dostajemy reprezentacj˛e
Schläfli
J
m
(
z) = 1
Z
0
cos(
z sin
;
m)d
;
1
sin(m)
Z
1
0
e
;
z
(sh
+
m
)
d
Rez > 0:
17
Mamy te˙z reprezentacj˛e całkow ˛
a Poissona
J
m
(
z) =
(
z
2
)
m
p
;(
m
+
1
2
)
R
1
;1
(1
;
t
2
)
m
;
1
2
e
i
zt
d
t m >
;
1
2
:
A oto konturowe reprezentacje typu Poissona (pochodz ˛
ace od Hankela):
J
m
(
z) = 1
2
i
p
;(
1
2
;
m)(z2)
m
Z
1
;1
;
1
+
]
(
t
;
1)
m
;
1
2
(
t + 1)
m
;
1
2
J
;
m
(
z) = e
;i
m
1
2
i
p
;(
1
2
;
m)(z2)
m
Z
i1
;1
+
1
+
i1]
(
t
;
1)
m
;
1
2
(
t + 1)
m
;
1
2
Funkcja Bessela i funkcje hipergeometryczne
0
F
1
i
1
F
1
s ˛
a ze sob ˛
a blisko zwi ˛
azane:
J
m
(
z) =
1
;(
m
+1)
(
z
2
)
m
0
F
1
(
;
1 +
m
;
z
2
4
)
=
1
;(
m
+1)
(
z
2
)
m
e
;i
z
1
F
1
(
m +
1
2
2
m + 1 2iz):
3.4
Funkcje Bessela dla całkowitych parametrów
m
Dla
m
2
Z
funkcje Bessela s ˛
a liniowo zale˙zne, o czym mówi nast˛epuj ˛
ace twierdzenie.
Twierdzenie 3.5
J
m
(
z) = (
;
1)
m
J
;
m
(
z) m
2
Z
:
Dowód. Wystarczy zało˙zy´c, ˙ze
m = 01:::
Mamy wtedy
J
m
(
z) =
P
1
n
=0
(;1)
n
(
z
2
)
2
n
+
m
n
!(
n
+
m
)!
= (
;
1)
m
P
1
n
=0
(;1)
n
+
m
(
z
2
)
2(
n
+
m
);
m
(
n
+
m
)!(
n
+
m
;
m
)!
= (
;
1)
m
P
1
n
=
m
(;1)
n
(
z
2
)
2
n
;
m
n
!(
n
;
m
)!
= (
;
1)
m
P
1
n
=0
(;1)
n
(
z
2
)
2
n
;
m
n
!;(
n
;
m
+1)
=
J
;
m
(
z):
2
Je´sli
m
2
Z
, to funkcja podcałkowa w (3.31) jest jednoznaczna i ma punkt osobliwy w
0
. Wtedy ka˙zdy kontur
zamkni˛ety okr ˛
a˙zaj ˛
acy
0
(na przykład przeciwnie do ruchu wskazówek) spełnia warunek (3.30). Okazuje si˛e, ˙ze
przy odpowiednim wyborze stałej
C
prowadzi on do funkcji
J
m
(
z)
.
Twierdzenie 3.6 Niech
m
2
Z
. Wtedy
J
m
(
z) =
1
2
i
R
0
+
]
exp
;
z
2
(
t
;
t
;1
)
d
t
t
m
+1
=
1
2
i
;
z
2
m
R
0
+
]
exp
s
;
z
2
4
s
d
s
s
m
+1
:
18
Dowód. Twierdzenie to wynika z Twierdzenia 3.4 przez deformacj˛e konturu. Mo˙zna je równie˙z wykaza ´c
niezale˙znie jak nast˛epuje. Wiemy, ˙ze
v(z) = C
Z
0
+
]
exp
z
2(t
;
t
;1
)
d
t
t
m
+1
jest rozwi ˛
azaniem równania Bessela. Przez podstawienie
s =
zt
2
dostajemy
v(z) = C
z
2
m
Z
0
+
]
exp
s
;
z
2
4
s
d
s
s
m
+1
:
Zatem
lim
z
!0
v(z)
z
2
;
m
=
C
Z
0
+
]
e
s
d
s
s
m
+1
=
C 2i
m! :
Czyli je´sli
C =
1
2
i
i
m = 012:::
, to
v(z) = J
m
(
z):
Je´sli podstawimy
w =
;
1
t
to mamy
t
;
t
;1
=
w
;
w
;1
,
d
tt
=
;
d
w
w
i kontur
0
+
]
przechodzi w
0
;
]
. Zatem
R
0
+
]
exp
;
z
2
(
t
;
t
;1
)
d
t
t
m
+1
= (
;
1)
;
m
+1
R
0
;
]
exp
;
z
2
(
w
;
w
;1
)
d
w
w
;
m
+1
= (
;
1)
;
m
R
0
+
]
exp
;
z
2
(
w
;
w
;1
)
d
w
w
;
m
+1
(3.35)
Je´sli
m = 0
;
1
;
2
:::
to wiemy ju˙z, ˙ze prawa strona (3.35) jest równa
(
;
1)
;
m
J
;
m
(
z)
. Bior ˛
ac pod uwag˛e
twierdzenie 3.5 widzimy, ˙ze (3.35) jest równe
J
m
(
z)
. Zatem nasza reprezentacja całkowa jest słuszna równie˙z dla
m =
;
1
;
2
:::
.
2
Wniosek 3.7 Funkcje Bessela dla całkowitych parametrów maj ˛
a nast˛epuj ˛
ac ˛
a funkcj˛e generuj ˛
ac ˛
a:
exp
z
2(t
;
t
;1
)
=
1
X
m
=;1
t
m
J
m
(
z):
Dowód. Funkcja
t
7!
exp
z
2(t
;
t
;1
)
jest holomorficzna w pier´scieniu
Cnf
0
g
i rozwija si˛e w szereg Laurenta.
2
Bior ˛
ac w Twierdzeniu 3.1 jako kontur okr˛eg o promieniu 1 dostajemy wzór Bessela
J
m
(
z) = 1
Z
0
cos(
z sin
;
m)d m
2
Z
:
3.5
Funkcje Hankela
Funkcje Bessela maj ˛
a proste zachowanie blisko zera. Poni˙zej zdefiniujemy par˛e rozwi ˛
aza ´n równania Bessela,
zwan ˛
a funkcjami Hankela, które maj ˛
a, jak si˛e pó´zniej oka˙ze, proste zachowanie w niesko ´nczono´sci. Przy okazji
dostaniemy funkcje, które rozpinaj ˛
a przestrze ´n rozwi ˛
aza ´n równania Bessela równie˙z dla
m
2
Z
.
Definicja 3.8 Funkcje Hankela (dla
Re
z > 0
) s ˛
a zdefiniowane jako
H
(1)
m
(
z) =
;
1
i
Z
];1
(0+10)
;
exp
z
2(t
;
t
;1
)
d
t
t
m
+1
19
H
(2)
m
(
z) = 1i
Z
];1
(0+10)
+
exp
z
2(t
;
t
;1
)
d
t
t
m
+1
Przez
]
;
1
(0 + 1
0)
;
rozumiemy kontur zaczynaj ˛
acy si˛e w
;1
, okr ˛
a˙zaj ˛
acy
0
zgodnie z ruchem wskazówek
i dochodz ˛
acy do zera z kierunku dodatniego. Podobnie, przez
]
;
1
(0 + 1
0)
+
rozumiemy kontur zaczynaj ˛
acy
si˛e w
;1
, okr ˛
a˙zaj ˛
acy
0
przeciwnie do ruchu wskazówek i dochodz ˛
acy do zera z kierunku dodatniego.
Zauwa˙zmy, ˙ze
lim
t
!0+10
z
2(t + t
;1
) +
m
exp
z
2(t
;
t
;1
)
1
t
m
= 0
gdzie przez
t
!
0 + 1
0
oznaczamy zbieganie do zera poprzez dodatnie warto ´sci
t
(czasem oznacza si˛e to przez
t
!
0
+
). Zatem kontury
]
;
1
(0 + 1
0)
+
i
]
;
1
(0 + 1
0)
;
spełniaj ˛
a warunek (3.30). Zatem funkcje
Hankela s ˛
a rozwi ˛
azaniami równania Bessela.
Je´sli
0
< argz <
, to dobrym konturem w definicji funkcji
H
(1)
m
jest
i
1
0]
. Je´sli
;
< arg < 0
, to dla
H
(2)
m
mo˙zna u˙zy´c konturu
;
i
1
0]
.
Twierdzenie 3.9 Mamy nast˛epuj ˛
ace to˙zsamo´sci:
H
(1)
;
m
(
z) = e
m
i
H
(1)
m
(
z)
H
(2)
;
m
(
z) = e
;
m
i
H
(2)
m
(
z)
J
m
(
z) =
1
2
H
(1)
m
(
z) + H
(2)
m
(
z)
J
;
m
(
z) =
1
2
e
m
i
H
(1)
m
(
z) + e
;
m
i
H
(2)
m
(
z)
H
(1)
m
(
z) =
ie
;
m
i
J
m
(
z
);i
J
;
m
(
z
)
sin
m
H
(2)
m
(
z) =
;ie
m
i
J
m
(
z
)+i
J
;
m
(
z
)
sin
m
:
Dowód. Aby pokaza´c pierwsz ˛
a i drug ˛
a to˙zsamo´s´c stosujemy podstawienie
t =
;
1
s
. Rozwa˙zmy na przykład
drugi wzór. Klasa krzywych
]
;
1
(0+1
0)
+
]
mo˙ze by´c reprezentowana przez łaman ˛
a
]
;
1
;
1]
f;
ie
i
2
;
2
2
]
g
1
0]
. Po zastosowaniu zamiany zmiennych
w =
;
1
t
łamana ta przechodzi w siebie ze zmian ˛
a
orientacji. Dalej:
t
;
t
;1
=
w
;
w
;1
,
t
;1
d
t =
;
w
;1
d
w
,
t
;1
= (
;
1)
;
m
w
;
m
= e
i
m
w
m
. (Pami˛etajmy,
˙ze zamiana zmiennych zachowuje doln ˛
a półpłaszczyzn˛e, w której znajduje si˛e krzywa).
Łatwo przekonamy si˛e, ˙ze deformuj ˛
ac
]
;
1
(0 + 1
0)
+
](0 + 1
0)
+
;1
dostaniemy
]
;
1
0
+
;1
. To implikuje trzeci ˛
a to˙zsamo´s´c.
To˙zsamo´sci czwarta, pi ˛
ata i szósta wynikaj ˛
a natychmiast z pierwszych trzech.
2
Twierdzenie 3.10 Po obej´sciu punktu
0
dostajemy
J
m
(e
i2
z) = e
i
m
2
J
m
(
z)
H
(1)
m
(e
i
z) =
;
e
;i
m
2
H
(2)
m
(
z)
H
(2)
m
(e
i
z) =
;
e
i
m
2
H
(1)
m
(
z):
20
Drugi wzór wynika z pierwszego:
H
(1)
m
(e
i
z) = ie
;
m
i
J
m
(e
i
z)
;
i
J
;
m
(e
i
z)
sin
m
= iJ
m
(
z)
;
ie
;i
m
J
;
m
(
z)
sin
m
=
;
e
;i
m
H
(2)
m
(
z):
Mo˙zna go te˙z dowie´s´c przez zamian˛e zmiennych
w =
;
t
w reprezentacji całkowej.
2
Twierdzenie 3.11 Mamy nast˛epuj ˛
ace wzory asymptotyczne słuszne dla
;
+ < argz < 2
;
,
> 0
:
lim
z
!1
H
(1)
m
(
z)
;
2
z
1
2
e
i
z
e
;
i
m
2
;
i
4
= 1
lim
z
!1
H
(2)
m
(
z)
;
2
z
1
2
e
;i
z
e
i
m
2
+
i
4
= 1
:
Dowód. Mamy
H
(1)
m
(
z) =
;
1
i
Z
];1
(0+10)
;
e
(
t
)
d
t
t
m
+1
gdzie
(t) =
z
2
(
t
;
t
;1
)
0
(
t) =
z
2
(1 +
t
;2
)
00
(
t) =
;
zt
;3
:
Punkty stacjonarne
(t)
s ˛
a dla
t
=
i
. Mamy
(
i) =
zi
00
(
i) =
zi:
Mo˙zemy wybra´c kontur dla
H
(1)
tak, ˙zeby przechodził przez
t
+
= i
, i prócz
t = t
+
mie´c
Re
(t)
;
(t
+
) =
Re
z
2
(
t
;
i
)
2
t
< 0
. Dostajemy wtedy
H
(1)
m
(
z)
;
1
i
e
(
i
)
i
m
+1
R
1
;1
e
1
2
00
(
i
)(
t
;
i
)
2
d
t
=
;
1
i
e
i
z
e
i
(
m
+1)
slash
2
q
2
i
z
=
;
2
z
1
2
e
i
z
e
;
i
m
2
;
i
4
:
(Je´sli
0
< argz <
, to jako ten kontur mo˙zna wzi ˛
a ´c
0
1
; je´sli
;
< argz < 0
, to
0
;
i]
f
e
i
:
2
;
2
;
5
2
]
g
;
i
;
i
1
, je´sli
< argz < 2
, to
0
;
i]
f
e
i
:
2
;
2
3
2
]
g
;
i
;
i
1
.
2
Wybór odpowiednich konturów prowadzi do reprezentacji
H
(1)
m
(
z) =
;
ie
;
i
m
2
R
1
;1
e
i
z
c
h
t
;
mt
d
t 0 < argz <
H
(2)
m
(
z) =
2ie
i
m
2
R
1
0
e
i
z
c
h
t
ch(
mt
;
i
m)dt
;
i
R
0
e
;i
z
cos
t
cos
mtdt
0 < argz <
H
(1)
m
(
z) =
;
2ie
;i
m
2
R
1
0
e
;i
z
c
h
t
ch(
mt + im)dt + i
R
0
e
i
z
cos
t
cos
mtdt
;
< argz < 0
H
(2)
m
(
z) =
ie
i
m
2
R
1
;1
e
;i
z
c
h
t
;
mt
d
t
;
< argz < 0
Oto reprezentacje konturowe typu Poissona:
H
(1)
m
(
z) = ;(
1
2
;
m)
i
p
(
z
2)
m
Z
]i1
1
+
i1
e
i
zt
(
t
;
1)
m
;
1
2
(
t + 1)
m
;
1
2
d
t
21
H
(2)
m
(
z) = ;(
1
2
;
m)
i
p
(
z
2)
m
Z
]i1
;1
;
i1
e
i
zt
(
t
;
1)
m
;
1
2
(
t + 1)
m
;
1
2
d
t
Mamy te˙z reprezentacje typu Poissona prawdziwe je´sli
m
;
1
2
.
H
(1)
m
(
z) =
;
2
p
;(m +
1
2
)(
z
2)
m
Z
]1
i1
e
i
zt
(1
;
t
2
)
m
;
1
2
d
t
H
(2)
m
(
z) =
2
p
;(m +
1
2
)(
z
2)
m
Z
];1
i1
e
i
zt
(1
;
t
2
)
m
;
1
2
d
t
Przez wybór odpowiedniego konturu dostaniemy
H
(1)
m
(
z) =
q
2
z
m
e
i(
z
;
m
2
;
4
)
;(
m
+
1
2
)
R
1
0
e
;
zt
t
m
;
1
2
(1 +
i
t
2
)
m
;
1
2
d
t
H
(2)
m
(
z) =
q
2
z
m
e
;i(
z
;
m
2
;
4
)
;(
m
+
1
2
)
R
1
0
e
;
zt
t
m
;
1
2
(1
;
i
t
2
)
m
;
1
2
d
t:
3.6
Dodatkowe reprezentacje całkowe
Przyjmujemy konwencj˛e, ˙ze
lim
u
!1
p
1 +
u
2
u = 1
(3.36)
co ustala gał ˛
a´z funkcji
u
7!
p
1 +
u
2
na
Cn
;
i
i]
.
Rozwa˙zmy odwzorowanie
Cnf
0
g
3
t
7!
u(t) = 12(t
;
t
;1
)
:
(3.37)
Podzielmy
Cnf
0
g
na 3 sektory:
+
:=
f
t
2
C
:
j
t
j
> 1
g
0
:=
f
t
2
C
:
j
t
j
= 1
g
;
:=
f
t
2
C
:
j
t
j
< 1
g
:
Obrazem
+
i
;
wzgl˛edem funkcji (3.37) jest
Cn
;
i
i]
. Obrazem
0
jest
;
i
i]
. Mamy w szczególno´sci
u(
;
1) =
u(1) = 0
,
u(
;
i) =
;
i
i
u(i) = i
.
Funkcja odwrotna
u
7!
t(u)
jest wieloznaczna. Wyró˙znimy w niej dwie jednoznaczne gał˛ezie
Cn
;
i
i]
3
u
7!
t
+
(
u) = u +
p
1 +
u
2
2
+
Cn
;
i
i]
3
u
7!
t
;
(
u) = u
;
p
1 +
u
2
2
;
(pami˛etajmy o konwencji (3.36)).
Poni˙zej omówimy reprezentacje całkowe które otrzymujemy z reprezentacji typu Bessela-Schläfli po zastoso-
waniu zamiany zmiennych
t
7!
u(t)
.
Twierdzenie 3.12 Je´sli
Re
z > 0
, to
J
m
(
z) =
1
2
i
R
;1
;i
+
i
+
;1]
e
zu
d
u
p
1+
u
2
(
u
+
p
1+
u
2
)
m
22
Dowód. Stosujemy zamian˛e zmiennych
t
7!
u(t)
omówion ˛
a w dowodzie nast˛epnego twierdzenia(Tw. 3.6). Wtedy kontur
]
;
1
;
i]
f
e
i
:
2
;
2
2]
g
i
1
b˛ed ˛
acy przykładem konturu typu
]
;
1
0
+
;1
przechodzi w kontur
]
;
1
;
i
+
i
+
;1
:
Zauwa˙zmy przy tym, ˙ze osobliwo´s´c funkcji podcałkowej w
i
jest całkowalna.
2
Twierdzenie 3.13 Niech
m
2
Z
. Wtedy
J
m
(
z) =
1
2
i
R
;i
i
+
;i
+
]
e
zu
d
u
p
1+
u
2
(
u
+
p
1+
u
2
)
m
=
1
2
i
R
;i
i
+
;i
+
]
e
zu
d
u
p
1+
u
2
(
u
;
p
1+
u
2
)
m
:
Dowód. Dla dowolnego
r > 0
mamy
J
m
(
z) = 1
2
i
Z
@K
(0
r
)
exp
z
2(t
;
t
;1
)
d
t
t
m
+1
Je´sli
r > 1
, to
@K(0r)
+
. Zamiana zmiennych
t
7!
u(t)
prowadzi od konturu
@K(0r)
do konturu typu
;
i
i
+
;
i
+
]
. Poza tym, dla
t
2
+
mamy
d
u
d
t =
u +
p
1 +
u
2
p
1 +
u
2
:
St ˛
ad prawdziwa jest pierwsza reprezentacja całkowa.
Je´sli
1
> r > 0
, to
@K(0r)
;
. Zamiana zmiennych
t
7!
u(t)
prowadzi od konturu
@K(0r)
do konturu
typu
;
i
i
;
;
i
;
]
. Poza tym, dla
t
2
;
mamy
d
u
d
t =
u
;
p
1 +
u
2
;
p
1 +
u
2
:
Zamiana konturu
;
i
i
;
;
i
;
]
na
;
i
i
+
;
i
+
]
wprowadza dodatkowy znak minus. St ˛
ad prawdziwa jest druga
reprezentacja całkowa.
2
Podajmy jeszcze dodatkowe reprezentacje funkcji Hankela.
Twierdzenie 3.14
H
(1)
m
=
1
i
R
;1
i
+
;1]
e
zu
d
u
p
1+
u
2
(
u
+
p
1+
u
2
)
m
=
1
i
R
;1
i
;
;1]
e
zu
d
u
p
1+
u
2
(
u
+
p
1+
u
2
)
m
=
1
i
R
;1
i]
e
zu
d
u
p
1+
u
2
(
u
+
p
1+
u
2
)
m
+
1
i
R
;1
i]
e
zu
d
u
p
1+
u
2
(
u
;
p
1+
u
2
)
m
H
(2)
m
=
;
1
i
R
;1
;i
+
;1]
e
zu
d
u
p
1+
u
2
(
u
+
p
1+
u
2
)
m
=
;
1
i
R
;1
;i
;
;1]
e
zu
d
u
p
1+
u
2
(
u
+
p
1+
u
2
)
m
=
;
1
i
R
;1
;i]
e
zu
d
u
p
1+
u
2
(
u
+
p
1+
u
2
)
m
;
1
i
R
;1
;i]
e
zu
d
u
p
1+
u
2
(
u
;
p
1+
u
2
)
m
23
Dowód. Reprezentacje te dostajemy przez zastosowanie zamiany zmiennych
t
7!
u(t):
Zauwa˙zmy przy tym, ˙ze nie ma znaczenia, czy punkty rozgał˛ezienia
i
omijamy zgodnie czy przeciwnie do ruchu
wskazówek. Mo˙zemy nawet przeci ˛
agn ˛
ac kontur przez
i
, poniewa˙z funkcja podcałkowa jest w tych punktach
całkowalna. Musimy jednak zawsze wej´s´c na drug ˛
a gał ˛
a´z funkcji
p
1 +
u
2
. Na tej drugiej gał˛ezi
p
1 +
u
2
zmienia
znak na przeciwny, st ˛
ad dostajemy trzeci wzór na
H
(1)
m
(
z)
i
H
(2)
m
(
z)
.
Poni˙zej podamy alternatywny dowód pierwszych dwóch to˙zsamo ´sci z Twierdzenia 3.9, tzn.
H
(1)
;
m
(
z) = e
m
i
H
(1)
m
(
z)
H
(2)
;
m
(
z) = e
;
m
i
H
(2)
m
(
z):
Dowód. Poka˙zmy pierwsz ˛
a to˙zsamo´s´c. Korzystamy z reprezentacji całkowej z Twierdzenia 3.14.
H
(1)
;
m
(
z) =
1
i
R
;1
i
+
;1]
e
zu
(
u
+
p
1+
u
2
)
m
d
u
p
1+
u
2
=
1
i
R
;1
i
+
;1]
;1
u
;
p
1+
u
2
m
e
zu
d
u
p
1+
u
2
:
(3.38)
Zauwa˙zmy, ˙ze w danym wypadku
(
;
1)
m
= e
i
m
. Funkcj˛e
;
p
1 +
u
2
mo˙zna traktowa´c jako przedłu˙zenie anali-
tyczne
p
1 +
u
2
, mo˙zna te˙z odwróci´c kontur
]
;
1
i
+
;1
startuj ˛
ac z drugiej gał˛ezi funkcji
p
1 +
u
2
, dostaj ˛
ac
kontur
]
;
1
i
;
;1
i dodatkowy znak minus. Zatem (3.38) jest równe
e
i
m
i
Z
;1
i
;
;1]
e
zu
d
u
p
1 +
u
2
(
u +
p
1 +
u
2
)
m
= e
i
m
H
(1)
m
(
z):
To ko ´nczy dowód pierwszej to˙zsamo´sci. Dowód drugiej to˙zsamo´sci jest analogiczny.
2
Oto alternatywny obliczenie asymptotyki funkcji Bessela, tzn.
lim
z
!1
H
(1)
m
(
z)
;
2
z
1
2
e
i
z
e
;
i
m
2
;
i
4
= 1
j
arg
z
j
< 2
;
lim
z
!1
H
(2)
m
(
z)
;
2
z
1
2
e
;i
z
e
i
m
2
+
4
= 1
j
arg
z
j
< 2
;
:
Dowód. Naszkicujmy dowód pierwszego wzoru. Podstawiamy
u = i
;
w
2
2
do reprezentacji całkowej z Twierdzenia 3.14. Wtedy kontur
]
;
1
i
+
;1
mo˙zna ˙zozgi ˛
a´c" otrzymuj ˛
ac kontur
]
;
1
1
. Dlatego prowadzi do
H
(1)
m
(
z) = 1i
Z
1
;1
f(w)e
z
(i;
w
2
2
)
d
w
gdzie
f(w) :=
1
q
;
i +
w
2
4
i
;
w
2
2
+
w
q
;
i +
w
2
4
m
:
24
i gał ˛
a´z pierwiastka jest ustalona warunkiem
lim
w
!1
p
;i+
w
2
4
w
=
1
2
. Mamy
f(0) = 1
p
ii
m
= e
i
4
;
i
m
2
:
Warto´s´c
H
(1)
m
(
z)
przybli˙zamy przez
1
if(0)e
i
z
Z
1
;1
e
;
zw
2
2
2
d
w = 1ie
i
4
;
i
m
2
e
i
z
2
z
1
2
=
2
z
1
2
e
i
z
e
;
i
m
2
;
i
4
:
2
3.7
Funkcja Neumanna
Funkcj˛e Neumanna definiujemy jako
Y
m
(
z) =
1
2i
;
H
(1)
m
(
z)
;
H
(2)
m
(
z)
=
cos
mJ
m
(
z
);
J
;
m
(
z
)
sin
m
:
Mamy wtedy
H
(1)
m
(
z) = J
m
(
z) + iY
m
(
z) H
(2)
m
(
z) = J
m
(
z)
;
i
Y
m
(
z):
Twierdzenie 3.15 Dla
m
2
Z
mamy
Y
m
(
z) =
2
(log(
z
2
) +
)J
m
(
z)
;
1
m
;1
P
k
=0
(
m
;
k
;1)!
k
!
(
z
2
)
2
k
;
m
;
1
1
P
k
=0
(;1)
k
k
!(
m
+
k
)!
(
z
2
)
m
+2
k
;
h(k) + h(m + k)
gdzie
h(k) :=
P
k
j
=1
1
k
.
Dowód. Połó˙zmy
(z) := ddz
1
;(
z) =
;
1
;(
z)@
z
log;(
z):
Wtedy
(
;
n) = (
;
1)
n
n! n = 012:::
(n + 1) =
;
h
(
n
)
n
!
n = 012:::
Poza tym
@
m
J
m
(
z) = log(
z
2
)
J
m
(
z) +
P
1
k
=0
(;1)
k
(
m
+
k
+1)
k
!
(
z
2
)
m
+2
k
:
Zatem dla
n = 012:::
@
m
J
m
(
z)
m
=
n
= (log
z
2
+
)J
n
(
z)
;
P
1
k
=0
(;1)
k
h
(
n
+
k
)
(
n
+
k
)!
k
!
(
z
2
)
n
+2
k
@
m
J
m
(
z)
m
=;
n
= (log
z
2
+
)J
;
n
(
z)
;
(
;
1)
n
P
n
;1
k
=0
(
n
;
k
;1)!
k
!
(
z
2
)
2
k
;
n
;
P
1
k
=
n
(;1)
k
h
(;
n
+
k
)
(;
n
+
k
)!
k
!
(
z
2
)
;
n
+2
k
:
25
Ostatni ˛
a sum˛e mo˙zna zamieni´c na
;
(
;
1)
n
1
X
k
=
n
(
;
1)
k
h(k)
k!(k + n)! (
z
2)
n
+2
k
:
Stosuj ˛
ac reguł˛e de l’Hospitala dostajemy
Y
n
(
z) =
@
m
;
cos
mJ
m
(
z
);
J
;
m
(
z
)
@
m
sin
m
m
=
n
=
cos
m@
m
J
m
(
z
)+
@
(;
m
)
J
;
m
(
z
)
cos
m
m
=
n
=
1
@
m
J
m
(
z)
m
=
n
+ (
;
1)
m
@
m
J
m
(
z)
m
=;
n
:
2
3.8
Zmodyfikowane równanie Bessela
Otrzymujemy je przez podstawienie
~
z = iz
w równaniu Bessela:
(
z
2
@
2
z
+
z@
z
;
z
2
;
m
2
)
u(z):
Je´sli
v(z)
jest rozwi ˛
azaniem równania Bessela, to
v(iz)
jest rozwi ˛
azaniem zmodyfikowanego równania Bes-
sela. W szczególno´sci wprowadza si˛e zmodyfikowan ˛
a funkcj˛e Bessela
I
m
(
z) = i
;
m
J
m
(i
z)
=
P
1
n
=0
1
n
!;(
n
+
m
+1)
(
z
2
)
2
n
+
m
=
1
2
i
R
];1
0
+
;1
exp(
z
2
(
t + t
;1
))
t
;
m
;1
d
t
=
1
;(
m
+1)
(
z
2
)
m
F(m + 1
z
2
4
)
=
1
;(
m
+1)
(
z
2
)
m
e
;
z
F(m +
1
2
2
m + 1 2z):
Wprowadza si˛e równie˙z funkcj˛e Basseta
K
m
(
z) = K
;
m
(
z) =
2
sin
m
(
I
;
m
(
z)
;
I
m
(
z))
=
1
2
R
1
0
exp(
;
z
2
(
t + t
;1
))
t
;
m
;1
d
t
= i
m
+1
2
H
(1)
m
(i
z) = i
;
m
;1
2
H
(2)
m
(
;
i
z):
Mamy przy tym
H
(1)
m
(
z) =
;
2i
K
m
(
;
i
z)
H
(2)
m
(
z) =
2i
K
m
(i
z):
Dla
n = 012:::
mamy
I
n
(
z) = I
;
n
(
z)
K
n
(
z) = (
;
1)
n
+1
(log
z
2
+
)I
n
(
z)
+
1
2
P
n
;1
m
=0
(
;
1)
m
(
z
2
)
2
m
;
n
(
n
;
m
;1)!
m
!
+
(;1)
n
2
P
1
k
=0
h
(
k
)+
h
(
n
+
k
)
k
!(
n
+
k
)!
(
z
2
)
2
m
+
n
:
26
3.9
Relacje rekurencyjne
Funkcje Bessela o parametrach ró˙zni ˛
acych si˛e całkowitymi liczbami powi ˛
azane s ˛
a zwi ˛
azkami rekurencyjnymi.
Twierdzenie 3.16 Mamy to˙zsamo´sci
2
@
z
J
m
(
z) = J
m
;1
(
z)
;
J
m
+1
(
z)
2
mJ
m
(
z) = zJ
m
;1
(
z) + zJ
m
+1
(
z):
Analogiczne to˙zsamo´sci s ˛
a prawdziwe dla
H
(1)
m
(
z)
,
H
(2)
m
(
z)
i
Y
m
(
z)
.
Dowód. Obie to˙zsamo´sci wynikaj ˛
a z reprezentacji całkowych dla funkcji Bessela i Hankela. Zakładamy, ˙ze
jest odpowiednim konturem.
Aby dowie´s´c pierwszej to˙zsamo´sci stosujemy ró˙zniczkowanie całki po parametrze:
2
@
z
R
exp
;
z
2
(
t
;
t
;1
)
d
t
t
m
+1
=
R
exp
;
z
2
(
t
;
t
;1
)
d
t
t
m
;
R
exp
;
z
2
(
t
;
t
;1
)
d
t
t
m
;2
:
Aby dowie´s´c drugiej to˙zsamo´sci korzystamy z tego, ˙ze dla u˙zywanych przez nas konturów funkcja
t
7!
exp
z
2(t
;
t
;1
)
1
t
m
ma te same warto´sci na ko´ncach
i dlatego
0 = 2
R
@
t
;
exp
;
z
2
(
t
;
t
;1
)
1
t
m
d
t
=
;
2
m
R
exp
;
z
2
(
t
;
t
;1
)
d
t
t
m
+1
+
z
R
exp
;
z
2
(
t
;
t
;1
)
d
t
t
m
+
z
R
exp
;
z
2
(
t
;
t
;1
)
d
t
t
m
+2
:
2
Cz˛esto wygodniejsze s ˛
a nast˛epuj ˛
ace postaci zwi ˛
azków rekurencyjnych:
Wniosek 3.17
1
z@
z
(
z
m
J
m
(
z)) = z
m
;1
J
m
;1
(
z)
czyli
@
z
+ mz
J
m
(
z) = J
m
;1
(
z)
;
1
z@
z
;
z
;
m
J
m
(
z)
=
z
;
m
;1
J
m
+1
(
z)
czyli
;
@
z
+ mz
J
m
(
z) = J
m
+1
(
z):
Poza tym
1
z@
z
n
z
m
J
m
(
z) = z
m
;
n
J
m
;
n
(
z)
;
1
z@
z
n
z
;
m
J
m
(
z) = z
;
m
;
n
J
m
+
n
(
z):
27
3.10
Funkcje Bessela połówkowe
Korzystaj ˛
ac z (3.27) lub (3.28) sprawdzamy, ˙ze je´sli
m =
;
1
2
, to podstawienie
v(z) =
p
z~v(z)
prowadzi do
równania o stałych współczynnikach na
~
v
:
(
@
2
z
+ 1)~
v = 0
które ma rozwi ˛
azania
e
i
z
,
e
;i
z
. Dlatego przestrze ´n rozwi ˛
aza ´n równania Bessela dla
m =
1
2
jest rozpi˛eta przez
funkcje
z
;
1
2
e
i
z
,
z
;
1
2
e
;i
z
. Jedynym rozwi ˛
azaniem zachowuj ˛
acym si˛e w zerze jak
;
z
2
1
2
1
;(1+
1
2
)
jest
J
1
2
(
z) =
z
2
1
2
1
;(1 +
1
2
)
sin
z
z =
2
z
1
2
sin
z:
Mamy poza tym
J
;
1
2
(
z) =
z
2
;
1
2
1
;(1
;
1
2
) cosz =
2
z
1
2
cos
z:
H
(1
2)
1
2
(
z) =
;
2
z
1
2
e
i
(
z
;
2
)
H
(1
2)
;
1
2
(
z) =
;
2
z
1
2
e
i
z
Zatem korzystaj ˛
ac z Wniosku 3.17 widzimy, ˙ze funkcje Bessela z parametrem
m
b˛ed ˛
acym połow ˛
a liczby niepa-
rzystej daj ˛
a si˛e wyrazi´c przez funkcje elementarne, na przykład
H
(1)
n
+
1
2
(
z) =
2
z
1
2
e
i
z
p
n
1
i
z
gdzie
p
n
jest pewnym wielomianem.
3.11
Wro ´nskiany rozwi ˛
aza´n równania Bessela
Wronskian dwóch rozwi ˛
aza ´n równania Bessela spełnia równanie
@
z
+ 1z
W(z) = 0:
Zatem
W(z)
jest proporcjonalny do
1
z
. Korzystaj ˛
ac z
J
m
(
z)
1
;(
m
+1)
(
z
2
)
m
J
0
m
(
z)
1
;(
m
)
(
z
2
)
m
;1
mo˙zemy policzy´c Wro´nskian
J
m
(
z)
,
J
;
m
(
z)
:
W(J
m
J
;
m
) =
;
2
z
sin
m
W(H
(1)
m
H
(2)
m
) =
;
4i
z
W(J
m
Y
m
) =
2
z
:
28
3.12
Równanie Helmholtza w 2 wymiarach
Laplasjan
=
@
2
x
+
@
2
y
we współrz˛ednych biegunowych
x = r cos y = r sin
jest równy
@
2
r
+ 1r@
r
+ 1r
2
@
2
:
Równanie Helmholtza
( + 1)
f = 0
mo˙zna rozwi ˛
aza´c w postaci fali płaskiej biegn ˛
acej pod k ˛
atem
, która w układzie kartezja ´nskim jest równa
f
(
xy) := e
i(
x
cos
+
y
sin
)
a w układzie biegunowym jest równa
f
(
r) = e
i
r
cos(
;
)
:
Wprowad´zmy generator obrotów
L := x@
x
;
y@
x
równy w układzie biegunowym
L = @
:
L
komutuje z
, dlatego mo˙zna jednocze´snie szuka´c rozwi ˛
azania
( + 1)
f = 0 Lf = imf:
Jest to spełnione przez fal˛e kolist ˛
a, która w układzie biegunowym jest równa
f
m
(
r) = J
m
(
r)e
i
m
:
Twierdzenie 3.18 Fal˛e płask ˛
a mo˙zna rozło˙zy´c na koliste:
f
(
r) =
1
X
m
=;1
f
m
(
r)i
m
e
;i
m
:
(3.39)
Fal˛e kolist ˛
a mo˙zna rozło˙zy´c na fale płaskie:
f
m
(
r) = 12
Z
2
0
f
(
r)(
;
i)
m
e
i
m
d
:
(3.40)
Dowód. (3.39) jest przeformułowaniem wzoru na funkcj˛e tworz ˛
ac ˛
a:
e
i
r
sin
=
1
X
m
=;1
e
i
m
J
m
(
r)
a (3.40) jest przeformułowaniem wzoru Bessela
J
m
(
r) = 12
Z
2
0
e
i
r
+i
m
d
:
2
29
3.13
Wzór składania Grafa
Poni˙zszy wzór mo˙zna zinterpretowa ´c nast˛epuj ˛
aco: fale kolist ˛
a w jednym układzie biegunowym mo˙zna rozó˙zy ´cna
fale koliste w drugim przesuni˛etym układzie biegunowym.
Twierdzenie 3.19 Załó˙zmy, ˙ze
R
,
r
,
oraz
,
,
s ˛
a powi ˛
azane relacjami
R =
q
(
re
i
+
e
i
)(
re
;i
+
e
;i
)
e
i
=
s
re
i
+
e
i
re
;i
+
e
;i
:
Wtedy
J
m
(
R)e
i
m
=
1
X
n
=;1
J
m
;
n
(
r)e
i(
m
;
n
)
J
n
(
)e
i
n
:
Je´sli
m
2
Z
, to nie ma ˙zadnych ogranicze´n na parametry wyst˛epuj ˛
ace w tym wzorze. Je´sli
m
jest niecałkowite a
wszystkie zmienne rzeczywiste, to trzeba zało˙zy´c, ˙ze
< r
(lub, równowa˙znie,
j
;
j
<
2
). Mo˙zna te˙z wtedy
zast ˛
api´c funkcje Bessela w
J
m
(
R)
i
J
m
;
n
(
r)
przez
H
(
i
)
m
albo
Y
m
Dowód. Kład ˛
ac
~ =
;
,
~ =
;
mo˙zna problem sprowadzi ´c do przypadku
= 0
.
P
1
n
=;1
J
m
;
n
(
r)J
n
(
)e
i
n
=
1
2
i
P
1
n
=;1
R
exp
;
r
2
(
t
;
t
;1
)
t
;
m
;1
J
n
(
)(te
i
)
n
=
1
2
i
R
exp
r
2
(
t
;
t
;1
)
+
2
;
te
i
;
(
te
i
)
;1
t
;
m
;1
d
t
=
1
2
i
R
exp
;
R
2
(
s
;
s
;1
)
s
;
m
;1
d
se
i
m
= e
i
m
J
m
(
R)
gdzie w ostatnim kroku podstawili´smy
s = te
i
, skorzystali´smy z
r + e
i
=
Re
i
i obrócili´smy kontur.
2
Podstawiaj ˛
ac
x
1
=
r cos y = r sin
x
2
=
cos y
2
=
sin
x = Rcos y = Rsin
mamy
(
x
1
y
1
) + (
x
2
y
2
) = (
x + y)
i wzór składania mo˙zemy przepisa´c jako
J
m
(
p
x
2
+
y
2
)
x
+i
y
p
x
2
+
y
2
m
=
P
n
2Z
J
m
;
n
(
p
x
2
1
+
y
2
1
)
x
1
+i
y
1
p
x
2
1
+
y
2
1
m
;
n
J
n
(
p
x
2
2
+
y
2
2
)
x
2
+i
y
2
p
x
2
2
+
y
2
2
n
:
Zdefiniujmy operator w
L
2
(
Z
)
zadany macierz ˛
a
U
m n
(
xy) := J
m
;
n
(
p
x
2
+
y
2
)
x
+i
y
p
x
2
+
y
2
m
;
n
Wtedy
U(xy)
;1
=
U(
;
x
;
y)
,
U(xy)
jest macierz ˛
a unitarn ˛
a, czyli
U
n m
(
xy) = U
m n
(
;
x
;
y)
30
oraz
R
2
3
(
xy)
7!
U(xy)
jest reprezentacj ˛
a, czyli
U
k n
(
x
2
+
x
1
y
2
+
y
1
) =
1
X
m
=;1
U
k m
(
x
2
y
2
)
U
m n
(
x
1
y
1
)
:
Rozszerzymy teraz t˛e reprezentacj˛e do afinicznej grupy ortogonalnej w
R
2
. Grup˛e t˛e mo˙zemy parametryzowa ´c
przez
R
2
S
1
. Działanie w niej definiujemy jako
(
x
2
y
2
2
)(
x
1
y
1
1
) = (
x
2
cos
1
+
y
2
sin
1
+
x
1
;
x
2
sin
1
+
y
2
sin
1
+
y
1
2
+
1
)
:
Reprezentacj˛e definiujemy nast˛epuj ˛
aco:
R
2
S
1
3
(
xy)
7!
U(xy)
U
m n
(
xy) := e
i
m
J
m
;
n
(
p
x
2
+
y
2
)
x
+i
y
p
x
2
+
y
2
m
;
n
:
Wtedy
U(xy)
jest macierz ˛
a unitarn ˛
a i jest to reprezentacja, czyli
U
k n
(
x
2
y
2
2
)(
x
1
y
1
1
)
=
1
X
m
=;1
U
k m
(
x
2
y
2
2
)
U
m n
(
x
1
y
1
1
)
:
3.14
Równanie Airy’ego
Równanie Airy’ego ma posta´c
(
@
2
z
;
z
2
)
u(z) = 0:
Twierdzenie 3.20 Je´sli
u(z)
jest rozwi ˛
azaniem równania Airy’ego, to
u(e
2
i
3
jest te˙z jego rozwi ˛
azaniem.
Twierdzenie 3.21 Niech krzywa
spełnia
e
i
3
t
3
+i
tz
(1)
(0)
= 0
:
Wtedy
C
Z
e
i
3
t
3
+i
tz
d
t
jest rozwi ˛
azaniem równania Airy’ego.
Dowód.
(
@
2
z
;
z)
R
e
i
3
t
3
+i
tz
d
t
=
R
(
;
t
2
;
z)e
i
3
t
3
+i
tz
d
t =
R
i
@
t
e
i
3
t
3
+i
tz
d
t = 0:
2
Podstawienie
t = is
daje analogiczne twierdzenie z funkcj ˛
a
e
1
3
t
3
;
tz
.
Funkcja Airy’ego jest zdefiniowana wzorem
Ai(
z) :=
1
2
R
];1
1
e
i
3
t
3
+i
tz
d
t =
1
2i
R
];i1
i1
e
;
1
3
t
3
+
tz
d
t
=
1
R
];1
1
cos(
;
1
3
t
3
+
tz)dt
=
e
i
3
2
i
R
1
0
e
;
s
3
3
;
sz
e
i
3
d
s
;
e
;i
3
2
i
R
1
0
e
;
s
3
3
;
sz
e
;i
3
d
s
31
Punkt
0
jest regularnym punktem równania. Szukaj ˛
ac rozwi ˛
azania w postaci
u(z) =
P
1
m
=0
u
m
z
m
dostajemy
równanie rekurencyjne
n(n
;
1)
u
n
=
u
n
;3
:
Zatem ogólne rozwi ˛
azanie jest kombinacj ˛
a liniow ˛
a funkcji
Ai
(0)
(
z) :=
1
X
m
=0
m
j
=1
1
3
j(3j
;
1)z
3
m
Ai
(1)
(
z) :=
1
X
m
=0
m
j
=1
1
3
j(3j + 1)z
3
m
+1
gdzie
Ai
(0)
(0) = 1
Ai
(0)
0
(0) = 0
Ai
(1)
(0) = 0
Ai
(1)
0
(0) = 1
:
Twierdzenie 3.22
Ai(
z) = 3
;
2
3
;(
2
3
)Ai
(0)
(
z) + 3
;
1
3
;(
1
3
)Ai
(1)
(
z):
Dowód.
Ai(0) =
sin
3
R
1
0
e
s
3
3
d
s =
3
;
2
3
;(
2
3
)
Ai
0
(0) =
;
sin
2
3
R
1
0
e
s
3
3
sds =
3
;
1
3
;(
1
3
)
:
2
Zwi ˛
azki z funkcjami Bessela:
Ai
(0)
(
z) = I
;
1
3
(
2
3
z
3
2
)
z
1
2
(
2
3
)
1
3
;(
2
3
)
=
J
;
1
3
(
2
3
(
;
z)
3
2
)(
;
z)
1
2
(
2
3
)
1
3
;(
2
3
)
Ai
(1)
(
z) = I
1
3
(
2
3
z
3
2
)
z
1
2
(
2
3
)
;
1
3
;(
4
3
)
=
;
J
1
3
(
2
3
(
;
z)
3
2
)(
;
z)
1
2
(
2
3
)
;
1
3
;(
4
3
)
Ai(
z) =
;1
(
z
3
)
1
3
K
1
3
(
2
3
z
3
2
) =
1
3
z
1
2
I
;
1
3
(
2
3
z
3
2
)
;
I
1
3
(
2
3
z
3
2
)
=
1
3
(
;
z)
1
2
J
;
1
3
(
2
3
(
;
z)
3
2
) +
J
1
3
(
2
3
(
;
z)
3
2
)
32
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Zagadnienia egzaminacyjne PF3-09, SKRYPTY, NOTATKI, WYKŁADY, Podstawy Fizyki 3, wykład
Skrypt(2), II ROK, SEMESTR II, psychologia różnic indywidualnych, opracowania
teoria polityki skrypt II
prawo cywilne skrypt II wersja mini
MKG Falkowski Skrypt II
DOKTRYNY MOJE PANSTWO2, Materiały Prawo UMCS, skrypty II semestr
Skrypt I, II
6 row rozn rz n, zadania
Prawo cywilne część ogólna SKRYPT II 29 stron, PRAWO, Prawo cywilne
Ustruj organów państwoywch (UOP), Studia Prawnicze- notatki,wykłady,skrypty, II Rok Prawa
Socjologia skrypt, II semestr, Skrypty
skrypt (2), II ROK, SEMESTR II, psychologia różnic indywidualnych, opracowania
doktryny skrypt II i III czesc, Politologia, 1 rok UJ
Skrypt II - Etyka, UKSW politologia, etyka - Filipowicz
skrypt II rok, HK najnowsza - rok II sem II
Teoria bytu skrypt II
Skrypt!, II ROK, SEMESTR II, psychologia różnic indywidualnych, opracowania
prawo cywilne - skrypt II wersja mini, prawo cywilne z umowami w administracji(1)
więcej podobnych podstron