1 Ruch drgający.
Wahadło sprężyste to układ który zawiera: ciało o masie m +
sprężyna o współczynniku sprężystości k.
Rys.
Siła tarcia i oporu wynosi 0.
Rozpatrzmy charakter ruchu pod wpływem siły Hooke’a.
Wiadomo że siła Hooke’a jest wprost proporcjonalna do wartości
wychylenia X.
F = -kx
(1) znak minus oznacza że siła jest skierowana w
kierunku przeciwnym do kierunku wychylenia x. Wychylmy teraz
ciężar lub ciał o odcinek +x
Rys
Punkt O jest położeniem równowagi w którym wychylenie i siła
Ho
oke’a równa się 0. Na ciężar będzie działać siła Hooke’a
skierowana ku położeniu równowagi. Pod wpływem takiej siły
ciężar zacznie się poruszać w kierunku równowagi gdy ciężar
znajdzie się w położeniu równowagi siła F = 0 ciężar będzie
jednak posiadał zapas prędkości V w skutek tego przejdzie
położenie równowagi i będzie się poruszać w lewo i zacznie
działać siła Hooke’a i będzie hamować ciężar tak długo aż nastąpi
zatrzymanie
Rys
Po zatrzymaniu ciężar zacznie się poruszać z powrotem w
kierunku równo
wagi w ten sposób ustali się ruch drgający ciężaru
względem punktu równowagi O.
Według I Zasady Newtona siła jest równa F=ma (2).
Podstawiając siłę hooke’a (1) do prawa Newtona mamy
ma = -kx (3).
Wiadomo że przyśpieszenie to druga pochodna wychylenia
względem czasu.
)
5
(
,
0
,
),
4
(
,
2
2
2
2
=
+
=
x
m
k
dt
x
d
dt
x
d
a
Wprowadźmy oznaczenia ω²=k/m
)
6
(
,
0
2
2
=
+ x
dt
x
d
ω
Z punktu widzenia matematyki równanie (6) to różniczka.
Rozwiążmy a więc musimy znaleźć związek między wychyleniem
x a czasem t x(t). Przypuśćmy, że wychylenie zależy od czasu
zgodnie z prawem sinusa
x(t)=Asin(ωt+δ) (7).
Znajdując drugą pochodną równania (7) względem czasu
przekonujemy się że zmienia ona równanie ruchu (6) w tożsamość
dx/dt= Aωcos(ωt+δ) d²x/dt²=-Aω²sin(ωt+δ) (8)
Podstawiając (7) i (8) do (6) mamy:
-
Aω²sin(ωt+δ) + ω²Asin(ωt + δ) = 0 ; 0=0
To jest dowód tego że rozwiązanie (7) jest rozwiązaniem
równania ruchu (6).
Wyjaśnimy jaki fizyczny sens posiadają wielkości A, ωt + δ
Ze wzoru (7) wynika, że A-max wartość wychylenia (amplituda)
α
= ωt + δ -nosi nazwę fazy. Faza to jest kąt który określa
położenia punktu drgającego dla dowolnej chwili czasu.
δ-faza początkowa jest to kąt który określa położenie punktu w
chwili początkowej t = 0
ω - częstość kątowa [ω] = rad/s
oprócz częstości kątowej można wprowadzić zwykłą
częstotliwość √, ω = 2Π√ (9).
√ - częstotliwość to jest liczba drgań w jednostce czasu jest ona
związana z okresem √=1/T (10). Okres to czas jednego pełnego
drgania.
Wykorzystując wzór ω²=k/m zrobimy obliczenia wartości okresu
wahadła sprężystego.
(10) do (9) mamy:
ω²=4Π²/T² (11).
Na porównanie
k/m=4Π²/T² => T=2Π
k
m
(12)
Okres zależy od masy i współczynnika sprężystości
2 DRGANA ELEKTRYCZNE W OBWODZIE LC
Rozpatrzmy obwód składający się z cewki o indukcyjności L i kondensator o
pojem C połącz szeregowego
1)
Załóżmy że opór omowy cewki jest tak mały że można go pominąć. Jeżeli do C
włączymy na krótki moment baterię która naładuje się do napięcia U
k
to na
okładzinach C zgromadzi się ładunek Q = U
k
C (1)
Po wyłączeniu baterii C zaczyna się rozładowywać i przez obwód płynie prąd I
2)
Prąd elektr płynący przez cewkę wytwarza wewnątrz cewki strumień
magnetyczny.
Zmiana natężenia prądu (natężenie prądu rośnie) powoduje również zmiany
strumienia magnet w wyniku tego we własnych uzwojeniach cewki pojawiasie
SEM samoindukcji
( )
2
dt
dI
L
E
s
−
=
przeciwstawiająca się wzrostowi prądu I zgodnie z prawem Lorentza. Znak „-„
oznacza że siła SEM zawsze skierowana jest przeciw wzrostowi prądu. W
momencie kiedy natężenie prądu osiągnie wart max kondensator będzie
całkowicie rozładowany
3)
Po rozładowaniu C prąd w obwodzie nie przestaje płynąć ponieważ jest
podtrzymywany przez SEM E
s
. Prąd ten ponownie ładuje C przy czym
powstające między okładkami pole elektrycz ma zwrot przeciwny. Po
naładowaniu C ponownie rozładowuje się i ten proces powtarza się lecz w
przeciwnym kierunku.
4)
Wnioskujemy, że zjawisko okresowe zachodzące w obw LC nazywamy
drganiami elektr, a obwód
gen drgań elektr.
Zrobimy oblicz częstości drgań własnych tego obw Wykorzystujemy w tym
celu 2 prawo Kirchhoffa:
W dowolnym obw zamkniętym suma algebraiczna SEM zawartych w tym
obwodzie równa się sumie iloczynów natężeń prądów i oporów
poszczególnych gałęzi obwodu
( )
3
∑
∑
=
k
k
k
k
k
R
I
E
Zauważmy że w obwodzie I~ do SEM dochodzą nap na okładkach C i
uogólnione 2 prawo Kirhchoffa ma postać
( )
∑
∑
∑
=
+
k
k
k
k
k
k
k
R
I
U
E
4
Napiszmy 2 prawo Kirhchoffa dla obw LC
( )
5
0
=
−
−
k
U
dt
dI
L
Po zróżniczkowaniu czasu mamy
( )
6
0
1
2
2
=
+
dt
dQ
C
dt
I
d
L
C
Q
U
R
=
Zgodnie z określeniem
( )
7
I
dt
dQ =
Podst (7) do (6) mamy
( )
( )
9
0
1
8
0
1
2
2
2
2
=
+
=
+
I
LC
dt
I
d
I
C
dt
I
d
L
z punktu widzenia matem równanie 9 jest równ różniczkowym i zrobimy porów
z równ ruchu wah sprężystego
( )
(
)
δ
ω
ω
+
=
=
+
0
0
2
0
2
2
cos
10
0
t
I
I
x
dt
x
d
prąd zmienia się zgodnie z prawem sin lub cos
( )
( )
12
2
11
1
0
2
0
T
LC
π
ω
ω
=
=
podst (12) do(11) mamy że okres drgań w obw LC wynosi
LC
T
π
2
=
wzór Thomsona
3 DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)
Rozpatrzmy drgania wah sprężystego które znajduje się w
ośrodku lepkim (siła oporu lub siła tarcia równa się 0). Wiadomo
że siła oporu zależy od prędkości ciała i skierowana jest zawsze
przeciwnie do kier V i jest wprost proporcjonalna do kier V
( )
1
V
F
op
γ
−
=
gdzie
γ
współcz oporu
Całk siła działająca na ciało (wah sprężyste) równa się sumie siły
oporu i siły sprężystej Q Hooka
( )
2
V
kx
F
γ
−
−
=
wg 2 zas Newtona siła wypad równa
( )
3
ma
F
=
W naszym przypadku
( )
4
V
kx
ma
γ
−
−
=
wiadomo że
x
dt
x
d
a
=
=
2
2
x
dt
dx
V
=
=
pods do (4) mamy
( )
( )
6
0
lub
5
=
+
+
−
−
=
x
m
x
m
k
x
x
kx
x
m
γ
γ
wprowadźmy oznaczenia
β
γ
ω
2
;
2
=
=
m
m
k
o
mamy
( )
7
0
2
2
0
=
+
+
x
x
x
β
ω
Z punktu widzenia matem równ (70 jest równ różniczkowym.
Zauważmy że jeżeli siła oporu = 0 to częstość drgań
wynosi
ϖ=ϖ
0
(drgania własne)
Zrobimy rozw równ (7) , dlatego wprowadzimy nową zmienną
( )
t
t
xe
z
ze
x
β
β
=
=
−
lub
8
Zróżniczkujemy wzór (8)
(
)
...
7
,
2
exp
=
=
−
=
−
e
t
e
t
β
β
różniczkujemy
( )
( )
10
9
2
t
t
t
t
t
t
e
e
z
e
z
e
z
x
z
t
ze
x
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
−
−
−
−
−
−
+
−
−
−
=
−
=
podst (8) (9) (10) do rów (7) mamy
( )
(
)
( )
12
0
11
0
2
2
0
2
0
2
=
−
+
=
+
−
z
z
z
z
z
β
ω
ω
β
wprowadźmy oznaczenia
( )
( )
14
0
13
2
2
2
0
2
=
+
−
=
z
z
ω
β
ω
ω
Równ (14) jest identyczne z równ ruchu wah bez oporu . stąd
wynika że rozw tego równ ma postać
(
)( )
15
cos
0
δ
ω
+
=
t
A
z
gdzie A
0
–
ampl początk dla t=0
ϖ -
częst drgań tłumionych
Ze wzoru (13) wynika że częstość drgań tłumionych jest zawsze
mniejsza niż częstość drgań własnych
Wiadomo że
t
ze
x
β
−
=
Podst (15) do wzoru (8)mamy, że
wychylenie x zależy od czasu w sposób następujący
(
)( )
16
cos
0
δ
ω
β
−
=
−
t
e
A
x
t
i jest to rozwiązaniem równ różniczkowego (14)
Wyjaśnijmy jaki fiz sens ma czynnik
t
e
A
β
−
0
ampl drgań tłumionych
( )( )
17
0
t
A
e
A
t
=
−
β
Zzyli ampl maleje ze wzrostem czasu t.
Zrobimy wykres zależności (16)
Wprowadźmy pojęcie dekrementu drgań tłumionych:
Log stosunek dwóch kolejnych wart amplitud z których druga
następuje po pierwszej w odstępie czasu = T nazywa się
dekrementem log tłumienia
Zgodnie z określeniem dekrement ma postać
( )
(
)( )
18
T
t
A
t
A
Ln
+
=
λ
podst wart amplit (17) mamy
(
)
( )
19
0
0
T
Lne
e
A
e
A
Ln
t
T
t
t
β
λ
λ
β
β
β
=
=
=
+
−
−
e
Log
Ln
⇒
4 Drgania elektryczne w obwodzie RLC
W taki sam sposób jak w LC zachodzą drgania elektryczne w
RLC, ale w skutek straty energii (w postaci ciepła na oporze R)
drgania te są drganiami tłumionymi.
II prawo Kirchhoffa dla dowolnej chwili czasu
)
3
(
,
0
)
2
(
,
.
1
=
+
+
=
=
−
−
JR
L
Uk
JR
Uk
L
C
Q
dt
dJ
C
Q
dt
dJ
Po zróżniczkowaniu względem czasu mamy
.
4
0
2
2
0
0
0
2
0
2
0
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
=>
=
=
=
+
+
=
+
+
=
=
+
+
dt
dJ
dt
J
d
L
R
LC
dt
dJ
L
R
LC
dt
J
d
dt
dJ
C
dt
J
d
dt
dQ
dt
dJ
dt
dQ
C
dt
J
d
J
J
R
J
L
J
R
L
β
ω
β
ω
Zrobimy porównanie z równaniem ruchu wahadła w lepkim
ustroju
: drgania tłumione
.
5
0
2
2
0
2
2
=
+
+
dt
dx
dt
x
d
x
β
ω
Z porównania wynika, że równanie ma postać:
)
6
(
,
),
cos(
)
(
0
δ
ω
β
+
=
−
t
e
J
t
J
t
W obwodzie RLC wartość prądu maleje ze wzrostem czasu.
Mamy drgania gasnące. Jo - maksymalna wartość natężenia prądu
przy czym częstotliwość drgań tłumionych wynosi :
.
7
2
2
4
1
2
2
0
1
2
2
0
2
2
0
2
L
R
LC
L
R
LC
−
=
=>
=
=
−
=
=>
−
=
ω
β
ω
β
ω
ω
β
ω
ω
Logarytmiczny dekrement tłumienia dla obwodu RLC
ω
β
β
λ
Π
=
=
=
2
2
T
t
L
R
.
8
2
4
2
1
2
2
L
R
LC
l
R
−
Π
=
λ
5. Drgania wymuszone
Rozpatrzmy drgania wykonywane przez punkt materialny w
warunkach gdy oprócz sił sprężystości i sił oporu działa na niego
dodatkowa siła okresowo zmienna.
Załóżmy, że ta dodatkowa siła wymuszająca zmienia się w
zależności od czasu według prawa sinusa.
Fw
= P cos
ϖt (1)
Wielkość p jest największą wartością tej siły
F
s
= -kx (2)
Siła sprężystości
F
op
= -
γV (3)
siła oporu
Punkt drga wzdłuż osi X
Wedłóg II zasady dynamiki Newtona siła wypadkowa
F =ma (4) w naszym przypadku
F = -kx –
γV + Fw (5)
Podstawiając (5) do (4) -kx –γV + Fw = ma
x
a
•
•
=
x
v
•
=
t
P
kx
m
x
x
ω
γ
cos
+
−
−
=
•
•
•
)
6
(
,
,
0
cos
=
−
=
+
•
•
•
t
m
P
m
x
k
x
x
ω
γ
(6) Rownanie ruchu pktu materialnego
α
β
ω
γ
=
=
=
m
P
m
m
k
2
2
0
)
7
(
0
cos
2
2
=
−
+
+
•
•
•
t
x
x
x
o
ω
α
β
ω
Z punktu widzenia matematyki równanie (7) jest równaniem
różniczkowym. Zauważmy, że jeżeli nie występuje siła
wy
muszająca α = 0 oraz siła oporu β = 0 to częstość drgan punktu
materialnego wynosi
ϖ
ο
ϖ
ο
jest częstością drgań własnych układu.
Rozwiązanie tego równania ma postać
X = A cos (
ϖt + δ ) (8)
ale amplituda drgań wymuszonych
zależy od częstości siły zewnętrznej (1) mianowicie amplituda
)
9
(
2
2
2
2
4
(
ω
β
ω
ω
α
+
−
=
o
A
Faza początkowa δ
tg
δ =
)
10
(
2
2
2
o
ω
ω
βω
−
11a. Zjawisko rezonansu
Z równania (9) wynika, że amplituda drgań wymuszonych zależy
od stosunku częstości ϖ (siły wymuszającej) i częstości ϖ
ο
drg
ań
własnych. Jeżeli częstość ϖ siły wymuszającej zmienia się a
częstość ϖ
o
drgań własnych pozostaje stała, to będzie się zmieniać
amplituda drgań wymuszonych. Według wzoru (9) znajdziemy A
max amplitudy drgań wymuszonych.
Aby się o tym przekonać należy znaleźć minimum mianownika w
(9)
w tym celu pochodną mianownika przyrównujemy do zera
Z = (
ϖ
o
2
-
ϖ
2
)
2
+ 4
β
2
ϖ
2
0
8
2
)
(
2
2
2
2
0
=
+
−
−
=
ω
β
ω
ω
ω
ω
d
dz
0
)
2
(
4
=
+
+
−
β
ω
ω
ω
o
1.wartość ϖ = 0 nie posiada sensu fizycznego
ϖ
2
=
ϖ
o
2
– 2
β
2
=>
)
11
(
2
2
2
0
β
ω
ω
−
=
mianown
ik (9) osiąga minimum gdy
2
2
0
2
β
ω
ω
−
=
maksimum amplitudy ze wzoru
(9) drgań wymuszonych występuje wówczas gdy częstość siły
wymuszającej jest
2
2
0
2
β
ω
ω
−
=
rez
Zrobimy wykres zależności (9)
Określenie
Zjawisko ostrego po
większenia amplitudy drgań nazywa się
zjawiskiem rezonansu.
Widzimy, że im większy jest współczynnik tłumienia β to tym
ostrzej zarysowuje się Maximum amplitudy. W wypadku gdy opór
ośrodka =0 (β=0) maksimum amplitudy będzie występować gdy
ϖ = ϖ
0
(12)
tzn.
wówczas gdy częstość ϖ siły wymuszającej
stanie się równe częstości drgań własnych ϖ
0
nastąpi zjawisko
rezonansu
W tym przypadku zgodnie z równaniem (9) amplituda drgań
stanie się nieskończenie wielka.
Zjawiska rezonansu odgrywają dużą rolę w procesach fizycznych
oraz w radiotechnice, przy czym występowanie rezonansu w
pewnych przypadkach jest szkodliwe np. silnik(częstość obrotów)
i jego podstawa gdy wejdą w rezonans może dojść do uszkodzenia
6 Drgania Elektryczne wymuszone w obwodzie RLC.
Rozpatrzmy drgania elektryczne w obwodzie RLC gdy oprócz
elementów RLC obwód zawiera dodatkowo siłę
elektromotoryczną okresowo zmienną. Załóżmy, że SEM zmienia
się w zależności od czasu według prawa sinusa
Ez = Emax sin
ϖt
(1)
Wykorzystajmy uogólnione prawo Kirchoffa dla obwodu
)
3
(
)
2
(
C
Q
dt
dJ
Uk
JR
Ez
Uk
L
=
=
+
−
−
Podstawiając (1)(2)(3) otrzymujemy
)
4
(
,
,
0
sin
=
−
+
−
−
JR
t
E
L
m
C
Q
dt
dJ
ω
Zróżniczkujemy dodatkowo równanie względem czasu
0
cos
2
2
=
−
−
+
+
t
E
R
L
m
dt
dJ
dt
dQ
C
J
dt
J
d
ω
ω
)
5
(
,
0
cos
1
2
2
=
−
−
+
+
t
L
E
dt
dJ
L
R
dt
dQ
LC
dt
J
d
m
ω
ω
)
6
(
2
1
2
J
dt
dQ
L
E
L
R
LC
o
m
=
=
=
=
α
β
ω
ω
podstawiając (6) do (5) otrzymujemy
)
7
(
,
0
cos
2
2
0
=
−
+
+
•
•
•
t
J
J
J
ω
α
β
ω
równanie (7) jest rónaniem drgań wymuszonych elektrycznych w
obwodzie RLC. Zauważmy , że jeżeli nie występuje SEM α=0
oraz opór omowy
β
=0 to częstość drgań elektrycznych
wynosi
)
8
(
1
2
LC
o
=
ω
drgania własne.
Z równania drgań wymuszonych punktu materialnego
0
cos
2
2
=
−
+
+
•
•
•
t
x
x
x
o
ω
α
β
ω
oraz
)
7
(
0
cos
2
2
0
=
−
+
+
•
•
•
t
J
J
J
ω
α
β
ω
z tego porównania wynika, że rozwiązanie równania
różniczkowego (7) można zrobić w taki sam sposób jak
rozwiązanie równania punktu materialnego. Rozwiązanie ma
postać
J=J
o
cos (
ϖt = δ) (9)
Natężenie prądu jest równe
)
10
(
2
2
2
2
2
4
)
(
ω
β
ω
ω
α
+
−
=
o
o
J
Zgodnie z (9) z paragrafu 1 faza początkowa
)
11
(
2
2
2
o
ω
ω
βω
δ
−
=
Zrobimy obliczenia wartości amplitudy natężenia prądu Jo
Wykorzystując
LC
o
L
E
L
R
m
1
2
2
=
=
=
ω
α
β
ω
Podstawiając dane oznaczenia do (10) otrzymujemy
)
12
(
2
2
1
2
2
4
2
2
2
1
)
(
4
)
(
R
L
E
o
C
m
L
R
LC
L
Em
J
+
−
+
−
=
=
=
ω
ω
ω
ω
ω
(12) Prawo ohma dla prądu zmiennego.
Znajdźmy max wartość natężenia prądu Jo Mianownik osiąga
wartość minimalną w warunkach gdy :
)
13
(
1
C
L
ω
ω
=
Stąd wynika, że zjawisko rezonansu
(ostrego powiększenia amplitudy Jo natężenia prądu nastąpi gdy
częstość SEM
)
14
(
2
1
2
o
LC
ω
ω
ω
=
=
częstość SEM = częstość drgań własnych
Max wartość amplitudy Jo wynosi
)
15
(
,
,
max
R
E
o
m
J
=
Przy rezonansie maksymalne natężenia prądu są kilkaset razy
większe niż Jo Te zjawisko można wykorzystać dla odbioru
potrzebnej częstotliwości.
7. SUPERPOZYCJA DRGAŃ O JEDNAKOWYM OKRESIE
(WZDŁUŻ JEDNEJ PROSTEJ)
Przypuśćmy, że punkt materialny wykonuje jednoczesne drgania
wzdłuż tej samej prostej(osi OX). Występuje wówczas nakładanie
się, czyli superpozycja drgań. Załóżmy, że oba drgania mają ten
sam okres T, lecz różne amplitudy i fazy tzn.
)
cos(
1
1
1
δ
ω
+
=
t
A
X
(1),
)
cos(
2
2
2
δ
ω
+
=
t
A
X
(2).
Wychylenie X ruchu wypadkowego jest sumą wychyleń ruchów
składowych, a mianowicie X=X
1
+X
2
(3). (1) i (2) do (3) mamy
)
cos(
)
cos(
2
2
1
1
δ
ω
δ
ω
+
+
+
=
t
A
t
A
X
(4)
wykorzystując wzór cos (A + B) = cosAcosB - sinAsinB mamy
2
2
2
2
1
1
1
1
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
δ
ω
δ
ω
δ
ω
δ
ω
t
A
t
A
t
A
t
A
X
−
+
+
−
=
wprowzdźmy oznaczenia
(*)
sin
sin
sin
sin
sin
cos
cos
cos
cos
cos
2
2
1
1
2
2
1
1
+
=
+
=
δ
ω
δ
ω
δ
δ
ω
δ
ω
δ
t
A
t
A
A
t
A
t
A
A
)
cos(
sin
sin
cos
cos
δ
ω
δ
ω
δ
ω
+
=
=
−
=
t
A
t
A
t
A
X
(5).
Wnioskujemy:
Mamy, że (5) ruchu wypadkowego jest równaniem
ruchu harmonicznego o amplitudzie A i fazie początkowej δ.
Zrobimy obliczenia wartości amplitudy A oraz fazy początkowej δ
drgania wypadkowego, (5) dlatego wykorzystamy oznaczenie (*).
2
2
1
1
2
2
1
1
cos
cos
sin
sin
δ
δ
δ
δ
δ
A
A
A
A
tg
+
+
=
(6) Podniesiemy do kwadratu i
złożymy stronami
ϖ
A
β
1
β
2
β
3
β
1
<
β
2
<
β
3
R
1
R
2
Jo
β
1
β
2
β
3
)
7
(
,
),
cos(
2
sin
sin
sin
2
sin
cos
cos
cos
2
cos
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
−
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
)
cos(
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
δ
δ −
+
+
=
A
A
A
A
A
Dla stałej różnicy faz δ
2
-
δ
1
drgania są synchroniczne i spójne.
Rozpatrzmy szczególny przypadek, kiedy różnica wielokrotności
równa się 2Π, a mianowicie różnica faz δ
2
-
δ
1
= 2
Π
gdzie
n=0,1,2,…
Ze wzoru (7) wynika, że A=A
1
+A
2
(8)
)
cos(
1
1
1
δ
ω
+
=
t
A
X
(9)
)
cos(
)
2
cos(
1
2
2
2
δ
ω
δ
ω
+
=
=
Π
+
+
=
t
A
n
t
A
X
(10).
Zrobimy wykres zależności (9) i (10) i drgania wypadkowego:
8 SUPERPOZYCJA DRGAŃ O RÓŻNYCH OKRESACH
(WZDŁUŻ JEDNEJ PROSTEJ)
Rozpatrzmy nakładanie się drgań o różnych okresach T1,T2.
Załóżmy dla uproszczenia, że fazy początkowe drgań równają się
0.
)
1
(
),
cos(
1
1
1
t
A
X
ω
=
)
2
(
),
cos(
2
2
2
t
A
X
ω
=
Wychylenie X ruchu wypadkowego jest sumą wychyleń ruchów
składowych, a mianowicie X=X
1
+X
2
(3).
(1)
i (2) do (3)
(2)
)
cos(
)
cos(
2
2
1
1
t
A
t
A
X
ω
ω
+
=
(4)
Przypuśćmy T1<T2 tzn. ω1>ω2. Dodając i odejmując od prawej
strony (4) wyraz
t
A
1
2
cos
ω
|
2
cos
2
cos
2
cos
cos
|
cos
)
(
)
cos
(cos
)
cos(
)
cos(
)
cos(
)
cos(
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
B
A
B
A
B
A
t
A
A
t
t
A
t
A
t
A
t
A
t
A
X
−
+
=
+
=
−
+
+
+
=
=
−
+
+
+
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
t
A
A
t
t
A
X
1
2
1
2
1
2
1
2
cos
)
(
2
cos
2
cos
2
ω
ω
ω
ω
ω
−
+
+
−
+
=
(5)
Wnioskujemy, Ruch wypadkowy nie jest harmoniczny. Np. T1 i
T2 mało się różnią
2
2
1
2
2
1
T
T
T
T
+
<<
−
(6)
Wówczas otrzymujemy drgania modulowane.
II. Rozpatrzmy dodawanie dwu drgań o jednakowych amplitudach
A1=A2=A0
t
t
A
X
2
cos
2
cos
2
2
1
2
1
0
ω
ω
ω
ω
+
−
=
(7)
gdzie A wypadkowe
|
2
cos
|
2
2
1
0
t
A
A
ω
ω
−
=
(8)
Wiadomo, że A jest dodatnie, dlatego wykorzystano bezwzględną
wartość cos, a częstość zmiany drgania wypadkowego równa jest
różnicy drgań składowych. Wtedy wychylenie wypadkowe równa
się
2
cos
2
1
ω
ω
+
= A
X
(9).
Wg założenia, że ω2 różni się mało od ω1 to ω1+ω2>>ω1−ω2.
Drgania wypadkowe (9) można traktować w pierwszym
przybliżeniu jako ruch harmoniczny
2
2
1
ω
ω −
.
Wykres
Widać, że amplituda okresowa zmienia się powoli zgodnie z
równaniem osi. Zjawisko to nazywamy dudnieniem.
Dudnieniem
są drgania o modulowanej amplitudzie, przy czym
głębokość modulacji wynosi 100%.
9.Fale.
Przypuśćmy, że punkt drgający znajduje się w ośrodku, którego
cząsteczki są ze sobą związane, wówczas energia drgania punktu
może być przekazywana otaczającym go punktom i wykonywać
ich drgania.
Def.1. Proces rozchodzenia się drgań w ośrodku nazywa się
falą.
Np: jeżeli jednemu z końców sznurka, którego drugi koniec
jest zamocowany na dany ruch drgający to drganie będzie się
przenosić po sznurku, czyli wzdłuż niego pobiegnie fala.
Def.
2. Jeżeli drgania cząsteczki i wychylenie się drgań
zachodzi wzdłuż kierunku prędkości to falę nazywamy
podłużną.
Def.3. Jeżeli drgania cząsteczki są prostopadłe do kierunku
prędkości falę nazywamy poprzeczną.
Schemat rozchodzenia się fali poprzecznej.
1.
Wykres przedstawia położenie cząsteczki w chwili początku t
= 0, gdy wszystkie cząsteczki znajdują się w położeniu
równowagi do skaczącej cząsteczki t przyłożono się zew.
2.
wykres daje położenia cząsteczek po upływie czasu równego
½ okresu punktu A w tym momencie przechodzi przez położenie
równowagi wychylenie równe 0, punkt B osiąga max. Wychylenie
3.
Wykres przedstawia położenie cząsteczek po upływie czasu
równego okresowi przy czym cząsteczka A przechodzi znów w
położenie równowagi ale w innym punkcie, cząsteczka B osiąga
max. wychylenie ku dołowi. W ten sposób można obserwować
dalsze rozchodzenie się fal.
Wykres rozchodzenia się fali podłużnej.
1) . . . . . .
2) …. . . . .
3) . . ….. . .
4) . . . …….
Wykaż, ze w przypadku fal podłużnych obserwujemy zbliżanie i
oddalanie wzajemne cząsteczek, wskutek czego w środku
powstaje zagęszczenia i rozchodzenia.
Odradzają własności sprężyste ośrodka zależy czy fale
rozchodzące się są falami podłużnymi czy poprzecznymi.
W cieczy i w gazie rozchodzą się tylko fale podłużne.
W ciałach stałych powstać zarówno fale poprzeczne jak i fale
podłużne.
Prędkość rozchodzenia się fal zależy: od rodzaju substancji np.:
prędkość rozcodzenia się fal podłużnych równa się
)
1
(
,
g
E
V
L
=
long
gdzie E -
moduł Younga, g – gęstość
Prędkość rozchodzenia się fal poprzecznych równa się
)
2
(
,
g
N
V
T
=
T – trans
N –
moduł sztywności
Długość fali jest najmniejszą odległością między drgającymi
punktami znajdującymi się w jednakowych fazach.
Np.: dla fali poprzecznej, która rozchodzi się wzdłuż osi y i
wysokości x.
Przez rozch
odzenie się fali należy rozumieć prędkość
rozchodzenia się fazy (prędkość fazowa). Wobec tego faza
początkowa w ciągu czasu równego T przebiega odległość równą
długości fali λ.
Otrzymujemy v = λ/T (3)
Lub
v = λ v v- częstotliwość
Przypuśćmy, że punkt drgający znajduje się w ośrodku ciągłym i
drgania rozchodzą się z koła punktu na wszystkie strony. Miejsce
geometryczne punktu do których dochodzą drgania nazywamy
czołem fali.
Jeżeli ośrodek jest izotropowy (właściwości nie zależą od
kierunku) to drgania wychodzące z ośrodka drgań rozchodzą się
jednakowo we wszystkie strony. W tym przypadku czoło fali jest
powierzchnia kuli
Kształt czoła fali określa typy fali
Np. falą płaską nazywamy falą, której czoło jest płaszczyzną
Fala kulista płaska
Równanie fali płaskiej
Rozpatrzmy falę biegnącą wzdłuż jednej prostej np. wzdłuż osi X.
Oznaczmy X wychylenie punktu z położenia równowagi
X = f * ( l,y)
Proces falowy
jest znaczny, jeżeli wartości x każdego punktu
prostej, wzdłuż której rozchodzi się fala są w każdym momencie
czasu znaczne. Innymi słowy należy znać wychylenie x punktu
jako funkcje czasu i współrzędne y.
0 –
jest środkiem drgań lub źródłem i drganie zachodzi w tym
punkcie według wzoru.
X = A cos ωt (1)
Weźmy dowolny punkt B leżący na linii prostej w odległości y od
początku układu. Drgania rozchodzą się z punktu 0, dojdą do
punktu B po upływie czasu T
T = y/v (2)
Wobec tego punkt B zacznie drgać o T później niż punkt 0. To
znaczy, że pkt. B w chwili dojścia do niego fali zacznie drgać z
częstością ω i amplitudą A.
Wychylenie X punktu B z płożenia można wyrazić wzorem: x =
A cos ω (t – T) (5)
Podstawiając (2) do (5) mamy:
x
= A cos ω ( t – y/v ) (6). Równanie fali płaskiej
rozchodzące się w kierunku x.
W tym przypadku dowolna płaszczyzna prostopadła do osi Y jest
czołem fali.
Równanie fali płaskiej można przedstawić w następujący sposób:
x = A cos 2Π (vt – vy/v) (7)
v =
λ v (8), v/v = 1/λ (9).
(9) do (10)
x = A cos 2
Π (vt – y/ λ) (10)
x = A cos (ωt – ky) (11); k = 2Π/ λ k-liczba falowa (12)
10.FALE STOJĄCE
Są wynikiem nałożenia się dwóch spotykających się fal płaskich o
jednakowych amplitudach. Przypuśćmy że dwie fale płaskie o
jednakowych amplitudach rozchodzą się: jedna w kier. dodatniej
osi Y, a druga w kier. ujemnej osi Y. Obie fale można przedstawić
następującymi równaniami:
Równanie fali płaskiej wzdłuż dodatniej osi Y ma
postać:
( )
1
2
cos
0
1
−
=
λ
ν
π
Y
t
A
x
Rów
nanie fali biegnącej wzdłuż ujemnej osi Y:
( )
2
2
cos
0
2
+
=
λ
ν
π
Y
t
A
x
suma tych fal równa się
x
1
+x
2
=x (3)- wychylenie wypadkowe
podst (1) (2) do (3)
( )
4
2
cos
2
cos
+
+
−
=
λ
ν
π
λ
ν
π
Y
t
Y
t
A
x
o
(
)
(
)
( )
5
cos
cos
2
cos
cos
β
α
β
α
β
α
=
−
+
+
λ
π
β
πν
α
Y
t
2
,
2
=
=
( )
6
2
cos
2
cos
2
0
t
Y
A
x
πν
λ
π
=
Czynniki cos2
πν
t wskazuje na to że w p ośrodka powstaje drganie
o częstości równej częstościom spotykających się fal.
Czynnik
λ
π Y
A
2
cos
2
0
nie zależy od czasu i reprezentuje
amplitudę drgania wypadkowego
( )
7
2
cos
2
0
λ
π
Y
A
A
=
Zauważmy że amplituda jako wielk w zasadzie dodatnia równa się
wart bezwzględnej tego czynnika
Drgania wg (6) nazywa się falą stojącą
Zgodnie ze wzorem (7) amplituda fali stojącej zależy od Y. widać
że w określ p Y amplituda fali stojącej równa się sumie amplitud
obydwu drgań
A
MAX
=2A
0
(8)- gdy cos=1
Punkty takie nazywamy strzałkami, w innych punktach Y amplit
wypadkowa równa się 0
A
MIN
=0 (9)- gdy cos=0
Takie punkty nazywają się węzłami fali stojącej
Obliczmy współ Y strzałek i węzłów
Dla strzałek
1
2
cos
=
λ
π Y
,...
2
,
1
,
0
,
2
=
±
=
n
n
Y
π
λ
π
( )
10
2
n
Y
n
λ
±
=
wsp strzałek
amplituda fali w węzłach równa się 0
0
2
cos
=
λ
π Y
(
)
...
2
,
1
,
0
,
2
1
2
2
=
+
±
=
n
n
Y
π
λ
π
(
) ( )
11
4
1
2
λ
+
±
=
n
Y
n
współ węzła
a
t = 0
1) x
B t = T/2
2)
A C x
D t = T
3) A C x
B
X λ
1 2
y
λ
x T t
X
B y
y
A
st
Równanie różnicowe fali płaskiej
Dla
otrzymania rów. róż. wykorzystujemy rów. fali płaskiej w
postaci:
x = A cos (ωt – ky) (1).
Różniczkujemy równanie (1) dwa razy względem czasu t, i dwa
razy względem współrzędnej y.
dx/dt = - A
ω sin (ωt – ky)
d
2
x/dt
2
= - A
ω
2
sin (
ωt – ky) (2)
dx/dy = A k sin (
ωt – ky)
d
2
x/dy
2
= - Ak
2
cos (
ωt – ky) (3)
Podzielimy stronami (2), (3).
d
2
x/dt
2
: d
2
x/dy
2
= ω
2
/k
2
(4)
ω = 2Πv ; k = 2Π/ λ
ω
2
/k
2
= λ
2
v
2
= v
2
(5)
Podstawi
ając (5) do (4) mamy:
d
2
x/dy
2
= t/v
2
d
2
x/dt
2
(6)
Równanie różniczkowe fali płaskiej.
11. INTERFERENCJA FAL
Po pow wody rozchodzi się fala o dowolnym kształcie, na drodze
tej fali postawmy przegrodę z otworem małym w porów z dł falia
Fala po dojściu do przegrody P odbije się od niej, a otwór d
stanie się źródłem fal rozchodzących się po drugiej stroni
przegrody.
Zjawisko Huygensa
Każdy punkt ośrodka do którego dochodzi czoło fali można
traktować jako nowe źródło fali np.: w pewnym momencie
czasu t znane jest czoło fali
W pewnum momencie czasu znane jest czoło fali AB
Trzeba skonstruować nowe czoło fali odpow. momentowi t’
wykorzystujemy zasadę huygensa. Dlatego trzeba przyjąć że
każdy punkt leżący na czole fali AB jest niezależnym źródłem
tzw fal elementarnych.
Obwiednia A’B’ wszystkich elementarnych pow falo
wych będzie
nowym czołem fali.
Rozpatrzmy raz fale wychodzące z różnych źródeł , w obszarze
przenikania się fal ,drgania nakładają się na siebie i zachodzi
nakładanie się fal (interferencja). W wyniku czego w jednym
miejscy powstaną drgania silniejsze a w innym słabsze.
Zjawisko interferencji zachodzi wówczas gdy
drgające z jednakową częstością źródło drgań
mają jednakowo skierowane drgania i stałą
różnicę faz.
Takie źródła nazywa się koherentnymi, albo
spójnymi. Dla fal niespójnych gdy różnica faz
szybko
się zmienia zjawisko interferencji nie
występuje.
Jnterferencja fal akustycznych
SPOSOBY OTRZYMYWANIA SPÓJNYCH ŹRÓDEŁ
Jeden ze sposobów otrzymywania koherentnych lub spójnych
źródeł drgań jest następujący:
bierzemy punktowe źródło S z którego rozchodzi się fala
sferyczna
Na drodze fali umieścimy przegrodę z dwoma otworami S1 i S2.
otwory S1 i S2 stają się zgodnie z zasadą Huygensa niezależnymi
źródłami drgań przy czym mają one jednakowe amplitudy i fazy.
Po prawej str
onie przegrody będą rozchodziły się fale sferyczne.
Rozpatrzmy drgania wypadkowe w pewnym punkcie A
oddalonym od źródeł S1 i S2 odpow o odległ R1 i R2 . drgania
dochodzące do p A mają równe fazy które zależą od różnicy R1 –
R2. Jeżeli drgania źródeł S1 i S2 mają jednakowe drgania to
można je przedstawić za pomocą wzoru
t
A
x
t
A
x
ω
ω
cos
cos
0
2
0
1
=
=
wówczas drgania które dochodzą do p A ze źródeł S1 i S2 można
przedstawić w sposób następujący
( )
( )
2
2
2
cos
1
1
2
cos
0
2
0
1
−
=
−
=
λ
ν
π
λ
ν
π
R
t
A
x
R
t
A
x
x
1
–
wychylenie cząstki drgającej znajdującej się w p A w odległ
o R1
x
2
–
wychylenie cząstki drgającej znajdującej się w p A w odległ
o R2
Jeżeli cząstka bierze udział jednocześnie w obu drganiach
wychylenie wypadkowe x można wyrazić jako sumę algebraiczną
wychyleń x1 i x2
X = x1 + x2 (3)
12.ZJAWISKO DOPPLERA
Zjawisko Dopplera występuje wtedy, gdy obserwator porusza się względem
źródła dźwięku lub źródło dźwięku porusza się względem obserwatora. Polega
ono na tym, że obserwator odbiera falę o innej częstotliwości niż częstotliwość
dr
gań źródła np. obniżenie wysokości tonu sygnału samochodowego lub
pociągu, gdy nas on mijają.
1)
Rozpatrzmy pierwszy przypadek: Źródło dźwięku porusza się wzg. ośrodka
z prędkością U. Prędkość rozchodzenia się fal w ośrodku wynosi V.
Obserwator jest nieruchomy.
Wiadomo, że prędkość rozchodzenia się fali zależy tylko od właściwości
ośrodka np. prędkości fali podłużnej dla powietrza
g
E
V
L
=
(1) E -
wł.sprężyste, g-gęstość
tzn. że w ciągu jednego okresu T rozejdzie się drganie o dł. fali:
T
V *
=
λ
(2) niezależnie od tego czy źródło się porusza czy
zostaje nie ruchome. Jednak w ciągu czasu T źródło przejedzie drogę S.
T
U
S
*
=
(3) w kierunku ruchu fali wobec tego dł., fali
S
I
−
=
λ
λ
(4)
(2) i (3) do (4) mamy:
T
U
V
I
)
(
−
=
λ
(5)
W związku z tym liczba drgań odebranych przez obserwatora w jednostce
czasu zwiększy się w skutek skracania się dł. fali.
Częstość odebrana przez obserwatora:
I
I
V
λ
υ
=
(6)
(5) do (6) mamy:
T
U
V
V
I
)
(
−
=
υ
T
1
=
υ
υ
υ
U
V
V
I
−
=
(7)
υ
υ
>
⇒
I
Zauważmy gdyby źródło oddalało się od obserwatora U<0 to częstotliwość
drgań odebrana od obserwatora była by mniejsza:
υ
υ
U
V
V
I
+
=
υ
υ
<
⇒
I
2)
Rozpatrzmy drugi przypadek. Obserwator porusza się z prędkością U
względem źródła, źródło jest nie ruchome.
W tym przypadku koło obserwatora więcej jednostce czasu przebiegnie więcej
dł. fal niż w przypadku gdy obserwator nie porusza się wzg. ośrodka. Ten
przypadek jest równoważny temu w którym fale przebiegają koło obserwatora z
prędkością równą sumie prędkości fali i prędkości obserwatora V+U. Liczba dł.
fal przechodzących w jednostce czasu wzg. obserwatora równa się:
λ
υ
U
V
I
+
=
(1)
T
V *
=
λ
(2)
(2) do (1) mamy:
υ
υ
V
U
V
T
V
U
V
I
+
=
+
=
*
(3)
W tym przypadku mamy powiększenie częstości
υ
υ
>
I
Jeżeli obserwator oddala się od źródła U<0 mamy:
υ
υ
V
U
V
I
−
=
(4)
υ
υ
<
⇒
I
13.Zasada Huygensa-
Fresnela prawa odbicia i załamania fali.
Zgodnie z zasadą H wszystkie punkty czoła fali wysyłają
równocześnie kuliste fale elementarne.]
Def.
I.
Prosta prostopadła w każdym punkcie do czoła fali
nazywa się promieniem fali. Połączenie zasady
Huygen
sa z zasadą interferencji fal elementarnych
zostało dokonane przez Fresnela i nosi nazwę
zasady H-F.
II.
Każdy punkt ośrodka w którym rozchodzi się fala
jest źródłem fal elementarnych które w skutek
interferencji dają falę obserwowaną.
Za pomocą zasady H-F wyjaśnimy zagadnienia prostoliniowego
rozchodzenia się fal np. w jaki sposób fale docierają od punktu 0
do punktu B.
Przypuśćmy że po upływie pewnego czasu czoło fali ma kształt
kuli. Zgodnie z metodą F rysujemy kolejne strefy na powierzchni
czoła.
Pomiędzy odcinkami AB, CB, DB, EB istnieje związek a
mianowicie:
CB=AB+
λ/2
DB=CB+
λ/2
EB=DB+
λ
/2 tzn. że różnica dróg pomiędzy
kolejnymi strefami F wynosi
λ/2.
Rozpatrzmy teraz wyniki interferencji fal
elementarnych w punkcie B. Wiadomo że
amp
lituda drgań w wyniku interferencji
równa się 0 wówczas gdy różnica dróg równa
się nieparzystej liczbie długości półfali.
W naszym przypadku różnice dróg sąsiednich
punktów czoła fali (A,C,D..) wynoszą λ/2
wobec czego fale ze stref sąsiednich dają w
punkc
ie B wartość zerową i do punktu B
docierają tylko fale z połowy I-szej strefy
Fresnela (CAC-I strefa F).
Udowodnimy:
Aw=Ao-Ac+Ad-Ae+...(1)
znak (-
) oznacza że amplituda drgań sąsiednich punktów
kompensują się.
Aw=Ao/2+(Ao/2-Ac+Ad/2)+(Ao/2-Ae+Ae/2)+....
Aw=Ao/2
Innymi słowy działania całego czoła fali jest więc takie jak
działanie połowy I strefy F.
Rozpatrzmy przypadki:
a.)
fale optyczne (świetlne) długości fali λ∼(0,4÷0,8)µm stąd
wynika że rozmiary I-szej strefy F są małe i możemy
traktować że światło rozchodzi się wzdłuż linii prostej OB.
Inaczej mówiąc można uważać że światło z punktu O do
punktu B rozchodzi się po linii prostej.
b.)
fale głosowe długości fali λ∼1m wobec tego rozmiary I-
szej strefy F wynoszą kilka metrów kwadratowych gdy
rozmiary przeszkody są porównywalne z długością fali λ
fala omija częściowo przeszkodę i nie można mówić o
prostoliniowym rozchodzeniu się fali.
Prawo odbicia i załamania fali.
Fala padająca na granicą dwóch ośrodków częściowo odbije się a
częściowo przeniknie do drugiego ośrodka.
•
Prawa odbicia promieni fal:
1.
promień padający promień odbity i normalna do
powierzchni granicznej leżą w jednej płaszczyźnie
2.
kąt padania równa się kątowi odbicia.
•
Prawa załamania promieni fal:
1.
promień padający promień załamany i normalna do
p
owierzchni granicznej leżą w jednej płaszczyźnie
2.
stosunek sin kąta padania do sin kąta załamania jest
wielkością stałą równą współczynnikowi załamania tzn
sin
α/sinβ=n (1.)
Wartość n nazywamy współczynnikiem załamania ośrodka 2
względem 1 n21.
Za pomocą zasady H-F zrobimy wyprowadzenie 2 prawa
załamania: niech w ośrodku 1 prędkość rozchodzenia się fal
wynosi V1 w ośrodku 2 V2.
λ/4
λ
4
3
w
w
Y
B
A
A’
B’
A
R1
R2
S1
S2
E
D
C
A B
O C
D
E
F
A V1
α
α
1
β 2
β V2
W czasie
τ
gdy w 1 ośrodku od punktu A do punktu C przemieści
się faza fali padającej z punktu O rozejdzie się fala elementarna na
odległości OB.
AC=V1*
τ (2.)
OB=V2*
τ (3.)
Rozpatrzmy
∆OAC i ∆OCB
AC=OC*sin
α (4.)
OB=OC*sin
β (5.)
Podstawiając (4) (5) do (2) (3) mamy:
OC*sin
α=V1*τ
OC*sin
β=V2*τ (6.)
sin
α/sinβ=V1/V2 (7)
stosunek V1/V2 nazywany jest
współczynnikiem załamania
n=V1/V2 ośrodka 2 względem 1
•
Zasada Farmata:
Droga obrana przez promień fali przy przejściu od jednego punktu
do drugiego jest taka że czas potrzebny na przebycie tej drogi jest
najkrótszy.
Za pomocą tej zasady zrobimy wyprowadzenie 2 prawa odbicia
fal. Niech promień fali wychodzącej z punktu A odbije się od
płaszczyzny CD i trafia do punktu B.
C D
Zgodnie z zasadą Fermata w którym promień fali przebywa drogę
AOB ma być min. innymi słowy zmianie może ulegać tylko
odcinek x tzn. musimy znaleźć położenie punktu O aby czas był
min.
T = AO/V + OB/V
V
x
h
V
x
a
h
x
t
x
h
B
x
a
h
A
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
0
)
(
0
+
+
−
+
=
+
=
−
+
=
dlatego I pochodna t względem x = 0
dt(x)/dx = 0
0
]
2
2
)
(
)
(
2
[
1
)
(
2
2
2
2
=
+
+
−
+
−
−
=
x
h
x
x
a
h
x
a
V
dx
x
dt
stąd wynika. że
(a-x)2 (h2+x2) = x2 [h2 + (a-x)2]
po opuszczeniu nawiasów
x = a/2
α = β
A B
α
β
α β x h
0
a
Document Outline