1

METODY STATYSTYCZNE I

ĆWICZENIA 2

Zad. 1

Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości

( )

⎩

⎨

⎧

<

<

=

−

poza

,

0

1

0

,

1

x

x

x

f

θ

θ

θ

,

0

>

θ

.

Badamy hipotezę

1

:

0

=

θ

H

wobec hipotezy alternatywnej

2

:

1

=

θ

H

. Obszar odrzucenia

hipotezy

0

H jest wyznaczony nierównością

c

X

>

,

( )

1

,

0

∈

c

i jest ustalone. Obliczyć

prawdopodobieństwo błędu I i II rodzaju oraz wyznaczyć moc tego testu.

Zad. 2*
Niech

(

)

n

X

X

,

,

1

K

będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu wykładniczego o funkcji

gęstości

( )

⎩

⎨

⎧

≤

>

=

−

0

,

0

0

,

x

x

e

x

f

x

θ

θ

z nieznanym parametrem

θ . Weryfikujemy hipotezę

1

:

0

=

θ

H

wobec hipotezy alternatywnej

2

:

1

=

θ

H

, przy pomocy statystyki testowej

∑

=

=

n

i

i

X

T

1

.

a) Korzystając z lematu Neymana – Pearsona, wyznaczyć zbiór krytyczny testu

najmocniejszego.

b) Przy założeniu, ze

1

=

n

wyznaczyć taki zbiór krytyczny testu najmocniejszego,

przy którym prawdopodobieństwo błędu I rodzaju równa się 0,01.

Zad. 3
Z populacji, w której cecha X ma rozkład normalny

( )

4

,

m

N

wylosowano n-elementową

próbę prostą. Wysunięto hipotezę

2

:

0

=

m

H

wobec hipotezy alternatywnej

8

:

1

=

m

H

.

Do zweryfikowania tej hipotezy proponuje się test o obszarze krytycznym postaci

(

) (

)

{

}

t

n

x

x

x

w

n

>

−

=

2

:

,

,

1

K

. Wyznaczyć t, tak aby otrzymać test o prawdopodobieństwie

błędu I rodzaju 0,05. Jak liczna powinna być próba losowa, aby prawdopodobieństwo błędu II
rodzaju nie było większe niż 0,05.

Zad. 4
Niech

n

X

X

,

,

1

K

będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu normalnego

( )

1

,

m

N

.

Testujemy hipotezę

1

:

0

=

m

H

wobec hipotezy alternatywnej

1

:

1

>

m

H

, przy czym obszar

krytyczny testu jest postaci

(

)

{

}

n

n

c

x

x

x

w

>

=

:

,

,

1

K

. Wyznaczyć stałą

n

c tak, aby poziom

istotności

1

,

0

=

α

. Wyznaczyć funkcję mocy tego testu w zależności od m. Czy test ten jest

nieobciążony? Czy test ten jest zgodny?

Zad. 5
Niech

n

X

X

,

,

1

K

będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu normalnego

( )

1

,

m

N

.

Przypuśćmy, że weryfikujemy hipotezę

0

:

0

=

m

H

za pomocą testu z obszarem odrzucenia

(

)

{

}

1

:

,

,

1

>

=

n

x

x

x

w

n

K

.

Jaka jest moc tego testu przy

2

:

1

=

m

H

i

16

=

n

?

2

Zad. 6
Niech X będzie zmienną losową z rozkładu Erlanga o gęstości

( )

( )

(

)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>

−

=

−

−

poza

,

0

0

,

!

1

2

2

;

2

1

x

e

x

x

f

x

θ

θ

θ

.

a) Testujemy hipotezę

1

:

0

=

θ

H

wobec hipotezy alternatywnej

2

:

1

=

θ

H

. Dysponując

pojedynczą obserwacją, znaleźć test najmocniejszy przy

01

,

0

=

α

.

b) Wyznaczyć moc tego testu.

Zad. 7
Podać końcową postać statystyki

λ używanej do testu ilorazu wiarygodności służącego do

testowania hipotezy

1

:

0

=

θ

H

wobec hipotezy alternatywnej

1

:

1

≠

θ

H

, jeżeli n-elementowa

próba prosta pochodzi z rozkładu wykładniczego o funkcji gęstości

( )

⎩

⎨

⎧

≤

>

=

−

0

,

0

0

,

x

x

e

x

f

x

θ

θ

.

Zad. 8

Zmienna losowa X ma rozkład Pascala o funkcji prawdopodobieństwa

( )

(

)

x

x

x

p

+

+

=

1

1

;

θ

θ

θ

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

x

,

0

>

θ

. Z rozkładu tego została wylosowana dwustuelementowa próba

prosta, w której zaobserwowano

5

,

2

=

x

. Przyjmując poziom istotności

05

,

0

=

α

należy

zweryfikować hipotezę

3

:

0

=

θ

H

wobec hipotezy alternatywnej

3

:

1

≠

θ

H

.

Zad. 9
Niech

n

X

X

,

,

1

K

będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu Poissona o funkcji

prawdopodobieństwa

( )

!

;

x

e

x

p

x

θ

θ

θ

−

=

,

K

,

2

,

1

,

0

=

x

. Rozważmy zagadnienie weryfikacji

hipotezy 1

:

0

=

θ

H

przeciwko

1

:

1

≠

θ

H

. Znaleźć obszar krytyczny testu ilorazu

wiarogodności na poziomie istotności

05

,

0

=

α

, jeśli n jest duże.

Zad. 10
Niech

n

X

X

,

,

1

K

będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu geometrycznego o funkcji

prawdopodobieństwa

( ) (

)

x

x

p

θ

θ

θ

−

= 1

;

,

K

,

2

,

1

,

0

=

x

. Rozważmy zagadnienie weryfikacji

hipotezy

2

1

:

0

=

θ

H

wobec hipotezy

2

1

:

1

≠

θ

H

. Znaleźć obszar krytyczny testu ilorazu

wiarogodności na poziomie istotności 01

,

0

=

α

, jeśli n jest duże.