ĆWICZENIA 2
Zad. 1
⎧
θ −1
θ x , 0 < x < 1
Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości f θ >
θ ( x) = ⎨
,
0 .
⎩
,
0
poza
Badamy hipotezę H :θ = 1 wobec hipotezy alternatywnej H :θ = 2 . Obszar odrzucenia 0
1
hipotezy H jest wyznaczony nierównością
, c ∈( )
1
,
0 i jest ustalone. Obliczyć
0
X > c
prawdopodobieństwo błędu I i II rodzaju oraz wyznaczyć moc tego testu.
Zad. 2*
Niech ( X , , X
1 K
będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu wykładniczego o funkcji n )
gęstości
− x
θ
θ
f ( x)
⎧ e , x > 0
= ⎨
z nieznanym parametrem θ . Weryfikujemy hipotezę H :θ = 1
0
⎩
,
0
x ≤ 0
n
wobec hipotezy alternatywnej H :θ = 2 , przy pomocy statystyki testowej T = ∑ .
1
X i
i=1
a) Korzystając z lematu Neymana – Pearsona, wyznaczyć zbiór krytyczny testu najmocniejszego.
b) Przy założeniu, ze n = 1 wyznaczyć taki zbiór krytyczny testu najmocniejszego, przy którym prawdopodobieństwo błędu I rodzaju równa się 0,01.
Zad. 3
Z populacji, w której cecha X ma rozkład normalny N( , m 4) wylosowano n-elementową próbę prostą. Wysunięto hipotezę H : m = 2 wobec hipotezy alternatywnej H : m = 8 .
0
1
Do zweryfikowania tej hipotezy proponuje się test o obszarze krytycznym postaci w = (
{ x , , x : −2 >
1 K
. Wyznaczyć t, tak aby otrzymać test o prawdopodobieństwie n ) ( x
) n t}
błędu I rodzaju 0,05. Jak liczna powinna być próba losowa, aby prawdopodobieństwo błędu II rodzaju nie było większe niż 0,05.
Zad. 4
Niech X , , X
.
1 K
będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu normalnego N ( m ) 1
,
n
Testujemy hipotezę H : m = 1 wobec hipotezy alternatywnej H : m > 1, przy czym obszar 0
1
krytyczny testu jest postaci w = (
{ x , , x : x > c 1 K
. Wyznaczyć stałą c tak, aby poziom n )
n }
n
istotności α = 1
,
0 . Wyznaczyć funkcję mocy tego testu w zależności od m. Czy test ten jest nieobciążony? Czy test ten jest zgodny?
Zad. 5
Niech X , , X
.
1 K
będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu normalnego N ( m ) 1
,
n
Przypuśćmy, że weryfikujemy hipotezę H : m = 0 za pomocą testu z obszarem odrzucenia 0
w = (
{ x ,K, x x n > .
1
n ) :
}1
Jaka jest moc tego testu przy H : m = 2 i n = 16 ?
1
1
Niech X będzie zmienną losową z rozkładu Erlanga o gęstości
⎧ (2 θ
x) −1
x
f (
2
;
x θ )
⎪
−
2
e
, x >
=
0
⎨ (θ − )
1 !
.
⎪⎩
,
0
poza
a) Testujemy hipotezę H :θ = 1 wobec hipotezy alternatywnej H :θ = 2 . Dysponując 0
1
pojedynczą obserwacją, znaleźć test najmocniejszy przy α = 01
,
0
.
b) Wyznaczyć moc tego testu.
Zad. 7
Podać końcową postać statystyki λ używanej do testu ilorazu wiarygodności służącego do testowania hipotezy H :θ = 1 wobec hipotezy alternatywnej H :θ ≠ 1, jeżeli 0
1
n-elementowa
⎧ −
e x
θ
θ
, x > 0
próba prosta pochodzi z rozkładu wykładniczego o funkcji gęstości f ( x) = ⎨
.
⎩
,
0
x ≤ 0
Zad. 8
x
θ
Zmienna losowa X ma rozkład Pascala o funkcji prawdopodobieństwa p( x;θ ) = (
1+ θ ) +
1 x
dla x =
,
1
,
0
,
2 K, θ > 0 . Z rozkładu tego została wylosowana dwustuelementowa próba prosta, w której zaobserwowano x = 5
,
2 . Przyjmując poziom istotności α = 05
,
0
należy
zweryfikować hipotezę H :θ = 3 wobec hipotezy alternatywnej H :θ ≠ 3 .
0
1
Zad. 9
Niech X , , X
1 K
będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu Poissona o funkcji n
x
θ
− θ
prawdopodobieństwa p( ;
x θ ) = e
, x =
,
1
,
0
,
2 K. Rozważmy zagadnienie weryfikacji
!
x
hipotezy 1
H : θ = przeciwko H : θ ≠ 1. Znaleźć obszar krytyczny testu ilorazu 0
1
wiarogodności na poziomie istotności α = 05
,
0
, jeśli n jest duże.
Zad. 10
Niech X , , X
1 K
będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu geometrycznego o funkcji n
prawdopodobieństwa p( ;θ ) = (1−θ ) x x
θ , x = ,
1
,
0
,
2 K. Rozważmy zagadnienie weryfikacji
1
1
hipotezy H :θ =
wobec hipotezy H :θ ≠ . Znaleźć obszar krytyczny testu ilorazu 0
2
1
2
wiarogodności na poziomie istotności 01
α = ,
0
, jeśli n jest duże.
2