Kolokwium z Analizy matematycznej I - 21.IV.2006 r.

Zestaw A

Czas rozwiązywania - 90 min. Zadania 1-4 punktowane są jednakowo - po 10 punktów. Za poprawne
rozwiązanie zadania 5

∗

można dostać 15 punktów. Należy rozwiązać cztery spośród pięciu zadań. Wszystkie

czynności należy dokładnie uzasadniać.

1. W zależności od parametru a

> 0 zbadaj zbieżność następującego ciągu funkcyjnego:

f

n

: R

+

→ R, f

n

(x) =

√

x + an + 2 −

√

x + n.

Znajdź obszar zbieżności punktowej, funkcję graniczną. Sprawdź czy zbieżność jest jednostajna. Jeśli nie
jest, podaj przykład „możliwie dużego” podzbioru, na którym zbieżność jest jednostajna.

2. Zbadaj ciągłość i różniczkowalność funkcji g : R

2

→ R

g(x, y) =

tan(x

2

y)

x

2

+ y

2

.

3. Dane jest odwzorowanie f : (0, ∞) × R → R

2

, f (x, y) = (u, v) = ((y

2

+ 2y)e

x+sin x

, ln x). Znajdź punkty w

których odwzorowanie to jest lokalnie odwracalne . Znajdź „możliwie duży” zbiór, po obcięciu do którego
otrzymane odwzorowanie jest globalnie odwracalne. Podaj dziedzinę odwzorowania odwrotnego (uzasadnij).
Korzystając z Twierdzenia o pochodnej odwzorowania odwrotnego wyznacz macierz pochodnej
odwzorowania odwrotnego w punkcie p = (0, e).

4. Dany jest zbiór na płaszczyźnie zadany przez równanie we współrzędnych biegunowych

r = 2 − 2 sin φ.

W jakich punktach to równanie zadaje funkcję x = x(y)? Policz pochodną tej funkcji w punktach o
współrzędnej y = 0.

Wsk. x = r cos φ; y = r sin φ.

5.* Udowodnij, że obraz zbioru zwartego przy odwzorowaniu ciągłym jest zbiorem zwartym. Czy obraz zbioru

domkniętego musi być zbiorem domkniętym? A otwartego?

Powodzenia!