05.IV.2004 r.

Kolokwium z Analizy matematycznej I

Czas rozwiązywania - 90 min.
Zadania 1-4 punktowane są jednakowo - po 10 punktów.
Za poprawne rozwiązanie zadania 5

∗

można dostać 15 punktów.

Należy rozwiązać cztery spośród pięciu zadań.
Wszystkie czynności należy dokładnie uzasadniać.

1. Dany jest ciąg funkcyjny:

f

n

: R → R, f

n

(x) = n

α

xe

−n

2

x

2

,

α ∈ [0, ∞).

Znajdź obszar zbieżności punktowej, funkcję graniczną w zależności od parametru α.
Dla jakich α zbieżność jest jednostajna?

2. Dana jest funkcja f : R

2

→ R określona wzorem:

f (x, y) = cos y cos x + y + y

2

− 1.

Sprawdź, czy w otoczeniu punktu (x, y) = (0, 0) funkcja ta zadaje funkcję uwikłaną
x = ψ(y) lub y = ϕ(x). Uzasadnij różniczkowalność odpowiedniej funkcji uwikłanej w
tym punkcie. Stwierdź, czy funkcja uwikłana ma w nim ekstremum, jeśli tak to jakie.

3. Dane jest odwzorowanie g : R

2

→ R

2

, g(x, y) = (u, v) = ((x

2

+ 2x)e

y

, y − 1). Znajdź

punkty w których odwzorowanie to jest lokalnie odwracalne. Znajdź ”możliwie duży”
obszar, po obcięciu do którego otrzymane odwzorowanie jest globalnie odwracalne (do
odwzorowania klasy C

1

). Podaj jego dziedzinę i zbiór wartości. Znajdź macierz

pochodnej odwzorowania odwrotnego w punkcie p = (3, −1).

4. Zbadaj różniczkowalność funkcji f : R

2

→ R danej wzorem:

f (x, y) =







x

2

3

y

x

2

+y

2

dla (x, y) 6= (0, 0)

0

dla x = y = 0

5

∗

Dany jest zbiór wypukły ograniczony B ⊂ R

n

zawierający otoczenie zera. Udowodnij, że

jeśli B jest środkowosymetryczny tzn. jeśli x ∈ B to −x ∈ B, to funkcja || · || : R

n

→ R

+

określona wzorem:

||x|| = sup{t ∈ R

+

: x /

∈ tB},

gdzie zbiór tB definiujemy: tB = {t · x : x ∈ B}

jest normą w R

n

.

Uwagi: Przyjmij sup ∅ = 0. Zauważ, że można założyć, że B domknięty.

Powodzenia!