10.VI.2005 r.

Kolokwium nr 2 z Analizy matematycznej I

Czas rozwiązywania - 90 min.
Zadania 1-5 punktowane są jednakowo - po 10 punktów. Za poprawne rozwiązanie zadania 6

∗

można

dostać 15 punktów.
Należy rozwiązać cztery spośród sześciu zadań.

1. Zbadaj ekstrema lokalne funkcji:

f (x, y) = x

3

+ y

3

− 3axy

w zależności od parametru a ∈ R.

2. Oblicz:

lim

n→∞

Z

∞

1

cos e

πnx

2

x

2

+ nx

dx

Uwaga: Podaj dokładnie z jakiego twierdzenia korzystasz, uzasadnij dokładnie poprawność
rozumowania.

3. Niech A = {(x, y) ∈ R

2

: x

2

< y < 2x

2

∧ 2y

2

< x < 4y

2

}. Oblicz całki:

a)

ZZ

A

y

x

2

dxdy

b)

Z Z

A

f (x, y)dxdy

gdzie:

f (x, y) =

(

0

jeśli (x, y) ∈ Q

+

× Q,

y

x

2

w przeciwnym przypadku.

4. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach:

x = y

2

, z = x

2

+ y

2

, x = 1, z = 0. Wykonaj odpowiedni rysunek.

5. Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Dla każdego A ⊂ X kładziemy:

µ(A) =

(

0

jeśli zbiór A jest co najwyżej przeliczalny,

+∞ jeśli zbiór A jest nieprzeliczalny.

Czy funkcja ta jest miarą na σ-ciele wszystkich podzbiorów X?

6* Niech (f

n

) będzie ciągiem funkcji rzeczywistych ciągłych określonych na R. Wykaż, że

borelowskie są zbiory:

a) A = {x ∈ R : lim

n→∞

f

n

(x) = 1};

b) B = {x ∈ R : f

n

(x) jest zbieżny do granicy skończonej}.

Uwaga: w punkcie b) pomocne może być skorzystanie z zupełności przestrzeni R.

Powodzenia!