10.VI.2005 r.
Kolokwium nr 2 z Analizy matematycznej I
Czas rozwiązywania - 90 min.
Zadania 1-5 punktowane są jednakowo - po 10 punktów. Za poprawne rozwiązanie zadania 6
∗
można
dostać 15 punktów.
Należy rozwiązać cztery spośród sześciu zadań.
1. Zbadaj ekstrema lokalne funkcji:
f (x, y) = x
3
+ y
3
− 3axy
w zależności od parametru a ∈ R.
2. Oblicz:
lim
n→∞
Z
∞
1
cos e
πnx
2
x
2
+ nx
dx
Uwaga: Podaj dokładnie z jakiego twierdzenia korzystasz, uzasadnij dokładnie poprawność
rozumowania.
3. Niech A = {(x, y) ∈ R
2
: x
2
< y < 2x
2
∧ 2y
2
< x < 4y
2
}. Oblicz całki:
a)
ZZ
A
y
x
2
dxdy
b)
Z Z
A
f (x, y)dxdy
gdzie:
f (x, y) =
(
0
jeśli (x, y) ∈ Q
+
× Q,
y
x
2
w przeciwnym przypadku.
4. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach:
x = y
2
, z = x
2
+ y
2
, x = 1, z = 0. Wykonaj odpowiedni rysunek.
5. Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Dla każdego A ⊂ X kładziemy:
µ(A) =
(
0
jeśli zbiór A jest co najwyżej przeliczalny,
+∞ jeśli zbiór A jest nieprzeliczalny.
Czy funkcja ta jest miarą na σ-ciele wszystkich podzbiorów X?
6* Niech (f
n
) będzie ciągiem funkcji rzeczywistych ciągłych określonych na R. Wykaż, że
borelowskie są zbiory:
a) A = {x ∈ R : lim
n→∞
f
n
(x) = 1};
b) B = {x ∈ R : f
n
(x) jest zbieżny do granicy skończonej}.
Uwaga: w punkcie b) pomocne może być skorzystanie z zupełności przestrzeni R.
Powodzenia!