05 01 11 01 01 49 kol2a

background image

10.VI.2005 r.

Kolokwium nr 2 z Analizy matematycznej I

Czas rozwiązywania - 90 min.
Zadania 1-5 punktowane są jednakowo - po 10 punktów. Za poprawne rozwiązanie zadania 6

można

dostać 15 punktów.
Należy rozwiązać cztery spośród sześciu zadań.

1. Zbadaj ekstrema lokalne funkcji:

f (x, y) = x

3

+ y

3

3axy

w zależności od parametru a ∈ R.

2. Oblicz:

lim

n→∞

Z

1

cos e

πnx

2

x

2

+ nx

dx

Uwaga: Podaj dokładnie z jakiego twierdzenia korzystasz, uzasadnij dokładnie poprawność
rozumowania.

3. Niech A = {(x, y) R

2

: x

2

< y < 2x

2

2y

2

< x < 4y

2

}. Oblicz całki:

a)

ZZ

A

y

x

2

dxdy

b)

Z Z

A

f (x, y)dxdy

gdzie:

f (x, y) =

(

0

jeśli (x, y) Q

+

× Q,

y

x

2

w przeciwnym przypadku.

4. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach:

x = y

2

, z = x

2

+ y

2

, x = 1, z = 0. Wykonaj odpowiedni rysunek.

5. Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Dla każdego A ⊂ X kładziemy:

µ(A) =

(

0

jeśli zbiór A jest co najwyżej przeliczalny,

+jeśli zbiór A jest nieprzeliczalny.

Czy funkcja ta jest miarą na σ-ciele wszystkich podzbiorów X?

6* Niech (f

n

) będzie ciągiem funkcji rzeczywistych ciągłych określonych na R. Wykaż, że

borelowskie są zbiory:

a) A = {x ∈ R : lim

n→∞

f

n

(x) = 1};

b) B = {x ∈ R : f

n

(x) jest zbieżny do granicy skończonej}.

Uwaga: w punkcie b) pomocne może być skorzystanie z zupełności przestrzeni R.

Powodzenia!


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2015 08 20 08 11 05 01
11 01 05 01 xxx Schifff z o L
05-01-11 01 01 37 kol2
05 01 11 01 01 35 kol1
05 01 11 01 01 21 kol1a
02 01 11 12 01 49 718
2011 12 11 05 01 09id 27400 Nieznany
2015 08 20 07 49 05 01
02 01 11 11 01 49 an kol3 1 7
11 01 05 01 Schifff z m L
2015 08 20 08 11 05 01
2015 08 20 07 49 05 01

więcej podobnych podstron