Kolokwium nr 2 z Analizy matematycznej I Czas rozwiązywania - 90 min.
Zadania 1-5 punktowane są jednakowo - po 10 punktów. Za poprawne rozwiązanie zadania 6 ∗ można dostać 15 punktów.
Należy rozwiązać cztery spośród sześciu zadań.
1. Zbadaj ekstrema lokalne funkcji: f ( x, y) = x 3 + y 2 − 6 xy − 48 x.
2. Oblicz:
Z
2 q
lim
n |x + sin n x| d x n→∞
0
3. Stosując odpowiednią zamianę zmiennych oblicz całkę: ZZ
x 5 y 5d x d y A
gdzie A = {( x, y) ∈
2
R : 1 < xy < 2 ∧ x < y 4 < x e2 }.
4. Oblicz objętość bryły wyznaczonej danej nierównościami: z 0 , z ¬ 8 − x 2 − y 2 , x 2 + y 2 ¬ 6.
Wykonaj odpowiedni rysunek.
5. Dane są dwie miary µ, ν określone na σ-ciele M zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a na prostej R w następujący sposób:
dla każdego zbioru A ∈ M : Z
1
1
µ( A) =
e −|x| d x,
ν( A) =
δ− 1( A) + δ 1 A, A∩( − 1 , 1) 2
2
(
1 jeśli x ∈ A
gdzie δx( A) =
.
0 jeśli x /
∈ A
Dla jakich c ∈ R funkcja
1
P ( A) = cµ( A) +
ν( A)
2
jest miarą na M? Czy istnieje c takie, że jest to miara probabilistyczna? Jeśli tak, to dla znalezionego c oblicz R x d P (wartość oczekiwaną x względem miary P ).
R
6 ∗ Rozpatrzmy następującą definicję: Definicja Niech ( X, M , µ) - przestrzeń z miara unormowaną. Dane jest odwzorowanie T : X → X, takie że, dla każdego zbioru A ∈ M mamy T − 1( A) ∈ M. Powiemy, że miara µ jest T niezmiennicza, jeśli:
∀A∈ M µ( A) = µ( T − 1( A)) .
Rozpatrzmy odcinek (0 , 1) z miara Lebesgue’a określoną na σ-ciele zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a na (0 , 1). Wykaż, że miara ta jest niezmiennicza dla przekształcenia: (
y = 2 x
dla x ∈ (0 , 1 );
T ( x) =
2
y = 2 x − 1 dla x ∈ ( 1 , 1) 2
Podaj przykład innych odwzorowań T : (0 , 1) → (0 , 1) względem których µ jest niezmiennicza.
Wskazówka: Zacznij od wykazania niezmienniczości tej miary dla zbiorów ”prostych” - np.
przedziałów. Potem spróbuj uzasadnić, że to już wystarczy...
Powodzenia!